Theorem 3brtr3d 4061

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4043	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031

This theorem is referenced by:  ofrval  6143  phplem2  6911  ltaddnq  7469  prarloclemarch2  7481  prmuloclemcalc  7627  axcaucvglemcau  7960  apreap  8608  ltmul1  8613  divap1d  8822  div2subap  8858  lemul2a  8880  mul2lt0rlt0  9828  xleadd2a  9943  monoord2  10560  expubnd  10670  bernneq2  10735  nn0ltexp2  10783  apexp1  10792  resqrexlemcalc2  11162  resqrexlemcalc3  11163  abs2dif2  11254  bdtrilem  11385  bdtri  11386  xrmaxaddlem  11406  fsum00  11608  iserabs  11621  geosergap  11652  mertenslemi1  11681  eftlub  11836  eirraplem  11923  unitmulcl  13612  unitgrp  13615  xblss2  14584  xmstri2  14649  mstri2  14650  xmstri  14651  mstri  14652  xmstri3  14653  mstri3  14654  msrtri  14655  logdivlti  15057  2sqlem8  15280  apdifflemr  15607