Theorem 3brtr3d 3954

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 3937	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 146	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925

This theorem is referenced by:  ofrval  5985  phplem2  6740  ltaddnq  7208  prarloclemarch2  7220  prmuloclemcalc  7366  axcaucvglemcau  7699  apreap  8342  ltmul1  8347  subap0d  8399  divap1d  8554  div2subap  8589  lemul2a  8610  mul2lt0rlt0  9539  xleadd2a  9650  monoord2  10243  expubnd  10343  bernneq2  10406  resqrexlemcalc2  10780  resqrexlemcalc3  10781  abs2dif2  10872  bdtrilem  11003  bdtri  11004  xrmaxaddlem  11022  fsum00  11224  iserabs  11237  geosergap  11268  mertenslemi1  11297  eftlub  11385  eirraplem  11472  xblss2  12563  xmstri2  12628  mstri2  12629  xmstri  12630  mstri  12631  xmstri3  12632  mstri3  12633  msrtri  12634