Theorem 3brtr3d 4161

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4143	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  ofrval  6313  phplem2  7154  ltaddnq  7774  prarloclemarch2  7786  prmuloclemcalc  7932  axcaucvglemcau  8265  apreap  8915  ltmul1  8920  divap1d  9131  div2subap  9167  lemul2a  9189  mul2lt0rlt0  10160  xleadd2a  10276  monoord2  10923  expubnd  11033  bernneq2  11099  nn0ltexp2  11147  apexp1  11156  resqrexlemcalc2  11781  resqrexlemcalc3  11782  abs2dif2  11873  bdtrilem  12005  bdtri  12006  xrmaxaddlem  12026  fsum00  12229  iserabs  12242  geosergap  12273  mertenslemi1  12302  eftlub  12457  eirraplem  12544  bitscmp  12725  unitmulcl  14420  unitgrp  14423  xblss2  15506  xmstri2  15571  mstri2  15572  xmstri  15573  mstri  15574  xmstri3  15575  mstri3  15576  msrtri  15577  logdivlti  15982  perfectlem2  16114  2sqlem8  16242  apdifflemr  17096