Theorem 3brtr3d 4156

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4138	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126

This theorem is referenced by:  ofrval  6303  phplem2  7144  ltaddnq  7764  prarloclemarch2  7776  prmuloclemcalc  7922  axcaucvglemcau  8255  apreap  8905  ltmul1  8910  divap1d  9121  div2subap  9157  lemul2a  9179  mul2lt0rlt0  10139  xleadd2a  10255  monoord2  10901  expubnd  11011  bernneq2  11077  nn0ltexp2  11125  apexp1  11134  resqrexlemcalc2  11759  resqrexlemcalc3  11760  abs2dif2  11851  bdtrilem  11983  bdtri  11984  xrmaxaddlem  12004  fsum00  12207  iserabs  12220  geosergap  12251  mertenslemi1  12280  eftlub  12435  eirraplem  12522  bitscmp  12703  unitmulcl  14393  unitgrp  14396  xblss2  15429  xmstri2  15494  mstri2  15495  xmstri  15496  mstri  15497  xmstri3  15498  mstri3  15499  msrtri  15500  logdivlti  15905  perfectlem2  16028  2sqlem8  16156  apdifflemr  17001