Theorem 3brtr3d 4161

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4143	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  ofrval  6313  phplem2  7154  ltaddnq  7775  prarloclemarch2  7787  prmuloclemcalc  7933  axcaucvglemcau  8266  apreap  8918  ltmul1  8923  divap1d  9134  div2subap  9170  lemul2a  9192  mul2lt0rlt0  10171  xleadd2a  10287  monoord2  10938  expubnd  11048  bernneq2  11114  nn0ltexp2  11163  apexp1  11172  resqrexlemcalc2  11797  resqrexlemcalc3  11798  abs2dif2  11890  bdtrilem  12024  bdtri  12025  xrmaxaddlem  12045  fsum00  12248  iserabs  12261  geosergap  12292  mertenslemi1  12321  eftlub  12476  eirraplem  12563  bitscmp  12744  unitmulcl  14504  unitgrp  14507  xblss2  15597  xmstri2  15662  mstri2  15663  xmstri  15664  mstri  15665  xmstri3  15666  mstri3  15667  msrtri  15668  logdivlti  16075  ppiqp1le  16228  ppiqeq0  16241  chtublem  16256  chtqub  16257  perfectlem2  16261  bposlem9  16280  2sqlem8  16408  apdifflemr  17263