Theorem 3brtr3d 4161

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4143	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  ofrval  6313  phplem2  7154  ltaddnq  7774  prarloclemarch2  7786  prmuloclemcalc  7932  axcaucvglemcau  8265  apreap  8917  ltmul1  8922  divap1d  9133  div2subap  9169  lemul2a  9191  mul2lt0rlt0  10170  xleadd2a  10286  monoord2  10936  expubnd  11046  bernneq2  11112  nn0ltexp2  11161  apexp1  11170  resqrexlemcalc2  11795  resqrexlemcalc3  11796  abs2dif2  11888  bdtrilem  12021  bdtri  12022  xrmaxaddlem  12042  fsum00  12245  iserabs  12258  geosergap  12289  mertenslemi1  12318  eftlub  12473  eirraplem  12560  bitscmp  12741  unitmulcl  14469  unitgrp  14472  xblss2  15555  xmstri2  15620  mstri2  15621  xmstri  15622  mstri  15623  xmstri3  15624  mstri3  15625  msrtri  15626  logdivlti  16033  ppiqp1le  16173  ppiqeq0  16182  perfectlem2  16198  2sqlem8  16340  apdifflemr  17194