Theorem 3brtr3d 4162

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4144	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  ofrval  6317  phplem2  7160  ltaddnq  7780  prarloclemarch2  7792  prmuloclemcalc  7938  axcaucvglemcau  8271  apreap  8923  ltmul1  8928  divap1d  9139  div2subap  9175  lemul2a  9197  mul2lt0rlt0  10176  xleadd2a  10292  monoord2  10943  expubnd  11053  bernneq2  11119  nn0ltexp2  11168  apexp1  11177  resqrexlemcalc2  11802  resqrexlemcalc3  11803  abs2dif2  11895  bdtrilem  12029  bdtri  12030  xrmaxaddlem  12050  fsum00  12253  iserabs  12266  geosergap  12297  mertenslemi1  12326  eftlub  12481  eirraplem  12568  bitscmp  12749  unitmulcl  14528  unitgrp  14531  xblss2  15648  xmstri2  15713  mstri2  15714  xmstri  15715  mstri  15716  xmstri3  15717  mstri3  15718  msrtri  15719  logdivlti  16128  ppiqp1le  16284  ppiqeq0  16297  chtublem  16312  chtqub  16313  perfectlem2  16317  bposlem9  16336  2sqlem8  16464  apdifflemr  17320