Theorem 3brtr3d 4140

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4122	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110

This theorem is referenced by:  ofrval  6277  phplem2  7107  ltaddnq  7722  prarloclemarch2  7734  prmuloclemcalc  7880  axcaucvglemcau  8213  apreap  8861  ltmul1  8866  divap1d  9075  div2subap  9111  lemul2a  9133  mul2lt0rlt0  10092  xleadd2a  10207  monoord2  10848  expubnd  10958  bernneq2  11023  nn0ltexp2  11071  apexp1  11080  resqrexlemcalc2  11700  resqrexlemcalc3  11701  abs2dif2  11792  bdtrilem  11924  bdtri  11925  xrmaxaddlem  11945  fsum00  12148  iserabs  12161  geosergap  12192  mertenslemi1  12221  eftlub  12376  eirraplem  12463  bitscmp  12644  unitmulcl  14258  unitgrp  14261  xblss2  15270  xmstri2  15335  mstri2  15336  xmstri  15337  mstri  15338  xmstri3  15339  mstri3  15340  msrtri  15341  logdivlti  15746  perfectlem2  15868  2sqlem8  15996  apdifflemr  16831