Theorem 3brtr3d 4124

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 18-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr3d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr3d.2	|- ( ph -> A = C )
3brtr3d.3	|- ( ph -> B = D )

Assertion

Ref	Expression
3brtr3d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr3d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr3d.2	. . 3 |- ( ph -> A = C )
3		3brtr3d.3	. . 3 |- ( ph -> B = D )
4	2, 3	breq12d 4106	. 2 |- ( ph -> ( A R B <-> C R D ) )
5	1, 4	mpbid 147	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094

This theorem is referenced by:  ofrval  6255  phplem2  7082  ltaddnq  7670  prarloclemarch2  7682  prmuloclemcalc  7828  axcaucvglemcau  8161  apreap  8809  ltmul1  8814  divap1d  9023  div2subap  9059  lemul2a  9081  mul2lt0rlt0  10038  xleadd2a  10153  monoord2  10794  expubnd  10904  bernneq2  10969  nn0ltexp2  11017  apexp1  11026  resqrexlemcalc2  11638  resqrexlemcalc3  11639  abs2dif2  11730  bdtrilem  11862  bdtri  11863  xrmaxaddlem  11883  fsum00  12086  iserabs  12099  geosergap  12130  mertenslemi1  12159  eftlub  12314  eirraplem  12401  bitscmp  12582  unitmulcl  14191  unitgrp  14194  xblss2  15199  xmstri2  15264  mstri2  15265  xmstri  15266  mstri  15267  xmstri3  15268  mstri3  15269  msrtri  15270  logdivlti  15675  perfectlem2  15797  2sqlem8  15925  apdifflemr  16762