ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleadd2a GIF version

Theorem xleadd2a 9861
Description: Commuted form of xleadd1a 9860. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleadd2a (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))

Proof of Theorem xleadd2a
StepHypRef Expression
1 xleadd1a 9860 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐵 +𝑒 𝐶))
2 xaddcom 9848 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐴))
323adant2 1016 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐴))
43adantr 276 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐴))
5 xaddcom 9848 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐵))
653adant1 1015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐵))
76adantr 276 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐶 +𝑒 𝐵))
81, 4, 73brtr3d 4031 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 +𝑒 𝐴) ≤ (𝐶 +𝑒 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  *cxr 7981  cle 7983   +𝑒 cxad 9757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-i2m1 7907  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-xadd 9760
This theorem is referenced by:  xle2add  9866  xrmaxaddlem  11252
  Copyright terms: Public domain W3C validator