ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  z2ge GIF version

Theorem z2ge 9638
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 simplr 520 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 simpr 109 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
31zred 9196 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
43leidd 8299 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁𝑁)
5 breq2 3940 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
6 breq2 3940 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘𝑁𝑁))
75, 6anbi12d 465 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑁)))
87rspcev 2792 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝑁𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
91, 2, 4, 8syl12anc 1215 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
10 simpll 519 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1110zred 9196 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211leidd 8299 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀𝑀)
13 simpr 109 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
14 breq2 3940 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑀𝑘𝑀𝑀))
15 breq2 3940 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑁𝑘𝑁𝑀))
1614, 15anbi12d 465 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀𝑀𝑁𝑀)))
1716rspcev 2792 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝑁𝑀)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
1810, 12, 13, 17syl12anc 1215 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
19 zletric 9121 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
209, 18, 19mpjaodan 788 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418   class class class wbr 3936  cle 7824  cz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator