Theorem z2ge 9795

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3	1	zred 9346	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	leidd 8445	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑁)
5		breq2 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6		breq2 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
8	7	rspcev 2839	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1236	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
10		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zred 9346	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	leidd 8445	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑀)
13		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		breq2 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
15		breq2 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
17	16	rspcev 2839	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1236	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
19		zletric 9268	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	9, 18, 19	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ∃wrex 2454   class class class wbr 3998   ≤ cle 7967  ℤcz 9224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-n0 9148  df-z 9225

This theorem is referenced by: (None)