Theorem z2ge 9826

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑁)
3	1	zred 9375	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4	3	leidd 8471	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑁)
5		breq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
6		breq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑁))
7	5, 6	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)))
8	7	rspcev 2842	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
9	1, 2, 4, 8	syl12anc 1236	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
10		simpll 527	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	10	zred 9375	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	leidd 8471	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑀)
13		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → 𝑁 ≤ 𝑀)
14		breq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ 𝑀))
15		breq2 4008	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	14, 15	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
17	16	rspcev 2842	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
18	10, 12, 13, 17	syl12anc 1236	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
19		zletric 9297	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∨ 𝑁 ≤ 𝑀))
20	9, 18, 19	mpjaodan 798	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4004   ≤ cle 7993  ℤcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by: (None)