ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  z2ge GIF version

Theorem z2ge 9839
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 simpr 110 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
31zred 9388 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
43leidd 8484 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁𝑁)
5 breq2 4019 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑀𝑘𝑀𝑁))
6 breq2 4019 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝑁𝑘𝑁𝑁))
75, 6anbi12d 473 . . . 4 (𝑘 = 𝑁 → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑁)))
87rspcev 2853 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑁𝑁𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
91, 2, 4, 8syl12anc 1246 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
10 simpll 527 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
1110zred 9388 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
1211leidd 8484 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑀𝑀)
13 simpr 110 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
14 breq2 4019 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑀𝑘𝑀𝑀))
15 breq2 4019 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → (𝑁𝑘𝑁𝑀))
1614, 15anbi12d 473 . . . 4 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀𝑀𝑁𝑀)))
1716rspcev 2853 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀𝑀𝑁𝑀)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
1810, 12, 13, 17syl12anc 1246 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁𝑀) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
19 zletric 9310 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
209, 18, 19mpjaodan 799 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  wrex 2466   class class class wbr 4015  cle 8006  cz 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator