Theorem elnnz1 9307

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9303	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		nnge1 8973	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8115	. . . . 5 |- 0 < 1
5		zre 9288	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		0re 7988	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7987	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8078	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1338	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 445	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
13		elnnz 9294	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843   < clt 8023   <_ cle 8024   NNcn 8950   ZZcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-z 9285

This theorem is referenced by:  nnzrab  9308  znnnlt1  9332  eluz2b2  9635  elfznn  10086  flqge1nn  10327  resqrexlemdecn  11056  cvgratz  11575  prmdc  12165  4sqlem11  12436  oddennn  12446  nninfdclemlt  12505  psrbaglesuppg  13967  zabsle1  14878