ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz1 Unicode version

Theorem elnnz1 9028
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnnz1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )

Proof of Theorem elnnz1
StepHypRef Expression
1 nnz 9024 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 nnge1 8700 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
31, 2jca 302 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
4 0lt1 7853 . . . . 5  |-  0  <  1
5 zre 9009 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 0re 7730 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
7 1re 7729 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
8 ltletr 7817 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
96, 7, 8mp3an12 1288 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
105, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
114, 10mpani 424 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <_  N  ->  0  <  N ) )
1211imdistani 439 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  0  <  N ) )
13 elnnz 9015 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
1412, 13sylibr 133 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
153, 14impbii 125 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1463   class class class wbr 3897   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765   NNcn 8677   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-z 9006
This theorem is referenced by:  nnzrab  9029  znnnlt1  9053  eluz2b2  9346  elfznn  9774  flqge1nn  10007  resqrexlemdecn  10724  cvgratz  11241  oddennn  11800
  Copyright terms: Public domain W3C validator