Theorem elnnz1 9469

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9465	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		nnge1 9133	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8273	. . . . 5 |- 0 < 1
5		zre 9450	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		0re 8146	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 8145	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8236	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1361	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 445	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
13		elnnz 9456	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   < clt 8181   <_ cle 8182   NNcn 9110   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-z 9447

This theorem is referenced by:  nnzrab  9470  znnnlt1  9494  eluz2b2  9798  elfznn  10250  flqge1nn  10514  resqrexlemdecn  11523  cvgratz  12043  prmdc  12652  4sqlem11  12924  oddennn  12963  nninfdclemlt  13022  psrbaglesuppg  14636  zabsle1  15678  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem4  15743