Theorem elnnz1 8743

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 8739	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		nnge1 8417	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 300	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 7589	. . . . 5 |- 0 < 1
5		zre 8724	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		0re 7467	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7466	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 7553	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1263	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 421	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 434	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
13		elnnz 8730	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 132	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 124	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1438   class class class wbr 3837   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330   < clt 7501   <_ cle 7502   NNcn 8394   ZZcz 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-z 8721

This theorem is referenced by:  nnzrab  8744  znnnlt1  8768  eluz2b2  9059  elfznn  9437  flqge1nn  9666  resqrexlemdecn  10409  oddennn  11285