Theorem elnnz1 9101

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9097	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		nnge1 8767	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 304	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 7913	. . . . 5 |- 0 < 1
5		zre 9082	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		0re 7790	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 7789	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 7877	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1306	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 427	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 442	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
13		elnnz 9088	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 133	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   < clt 7824   <_ cle 7825   NNcn 8744   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-z 9079

This theorem is referenced by:  nnzrab  9102  znnnlt1  9126  eluz2b2  9424  elfznn  9865  flqge1nn  10098  resqrexlemdecn  10816  cvgratz  11333  oddennn  11941