ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz1 Unicode version

Theorem elnnz1 9307
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
elnnz1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )

Proof of Theorem elnnz1
StepHypRef Expression
1 nnz 9303 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 nnge1 8973 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
31, 2jca 306 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
4 0lt1 8115 . . . . 5  |-  0  <  1
5 zre 9288 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 0re 7988 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
7 1re 7987 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
8 ltletr 8078 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
96, 7, 8mp3an12 1338 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
105, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  N )  ->  0  <  N
) )
114, 10mpani 430 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  <_  N  ->  0  <  N ) )
1211imdistani 445 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  0  <  N ) )
13 elnnz 9294 . . 3  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
1412, 13sylibr 134 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N )  ->  N  e.  NN )
153, 14impbii 126 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  <_  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   class class class wbr 4018   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843    < clt 8023    <_ cle 8024   NNcn 8950   ZZcz 9284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-z 9285
This theorem is referenced by:  nnzrab  9308  znnnlt1  9332  eluz2b2  9635  elfznn  10086  flqge1nn  10327  resqrexlemdecn  11056  cvgratz  11575  prmdc  12165  4sqlem11  12436  oddennn  12446  nninfdclemlt  12505  psrbaglesuppg  13967  zabsle1  14878
  Copyright terms: Public domain W3C validator