Theorem elnnz1 9602

Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elnnz1	|- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Proof of Theorem elnnz1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9598	. . 3 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		nnge1 9262	. . 3 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( N e. NN -> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )
4		0lt1 8402	. . . . 5 |- 0 < 1
5		zre 9583	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
6		0re 8276	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
7		1re 8275	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
8		ltletr 8365	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
9	6, 7, 8	mp3an12 1364	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
10	5, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 0 < 1 /\ 1 <_ N ) -> 0 < N ) )
11	4, 10	mpani 430	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 <_ N -> 0 < N ) )
12	11	imdistani 445	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
13		elnnz 9589	. . 3 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
14	12, 13	sylibr 134	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) -> N e. NN )
15	3, 14	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 1 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   < clt 8310   <_ cle 8311   NNcn 9239   ZZcz 9579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-z 9580

This theorem is referenced by:  nnzrab  9603  znnnlt1  9627  eluz2b2  9938  elfznn  10391  flqge1nn  10658  resqrexlemdecn  11701  cvgratz  12222  prmdc  12831  4sqlem11  13103  oddennn  13160  nninfdclemlt  13219  psrbaglesuppg  14838  zabsle1  15889  gausslemma2dlem1a  15948  gausslemma2dlem4  15954