ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgqioo GIF version

Theorem tgqioo 13714
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
Assertion
Ref Expression
tgqioo (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2 iooex 9894 . . . 4 (,) ∈ V
32imaex 4979 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
4 imassrn 4977 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
5 ioof 9958 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
6 ffn 5361 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
8 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 elioo1 9898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
109biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
1110simp1d 1009 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1210simp2d 1010 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
13 qbtwnxr 10244 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
148, 11, 12, 13syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
15 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1610simp3d 1011 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
17 qbtwnxr 10244 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
1811, 15, 16, 17syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
19 reeanv 2646 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)))
20 df-ov 5872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
21 opelxpi 4655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
22213ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
23 ffun 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (,)
25 qssre 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ
26 ressxr 7991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
2725, 26sstri 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ⊆ ℝ*
28 xpss12 4730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2927, 27, 28mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
305fdmi 5369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3129, 30sseqtrri 3190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
32 funfvima2 5744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
3324, 31, 32mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3422, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3520, 34eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
36113ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
37 simp3lr 1069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
38 simp3rl 1070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
39 simp2l 1023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
4027, 39sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
41 simp2r 1024 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
4227, 41sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
43 elioo1 9898 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4536, 37, 38, 44mpbir3and 1180 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
4683ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 simp3ll 1068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
4846, 40, 47xrltled 9786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥𝑢)
49 iooss1 9903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
5046, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
51153ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52 simp3rr 1071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
5342, 51, 52xrltled 9786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣𝑦)
54 iooss2 9904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑣𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5650, 55sstrd 3165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
57 eleq2 2241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
58 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
5957, 58anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6059rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6135, 45, 56, 60syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
62613exp 1202 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
6362rexlimdvv 2601 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6419, 63biimtrrid 153 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6514, 18, 64mp2and 433 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6665ralrimiva 2550 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
67 qtopbas 13689 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
68 eltg2b 13221 . . . . . . . 8 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
7066, 69sylibr 134 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7170rgen2a 2531 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72 ffnov 5973 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
737, 71, 72mpbir2an 942 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74 frn 5370 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7573, 74ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
76 2basgeng 13249 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
773, 4, 75, 76mp3an 1337 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
781, 77eqtr2i 2199 1 (topGen‘ran (,)) = 𝑄
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  wss 3129  𝒫 cpw 3574  cop 3594   class class class wbr 4000   × cxp 4621  dom cdm 4623  ran crn 4624  cima 4626  Fun wfun 5206   Fn wfn 5207  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  cr 7801  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983  cq 9608  (,)cioo 9875  topGenctg 12651  TopBasesctb 13207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-ioo 9879  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-topgen 12657  df-bases 13208
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator