ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgqioo GIF version

Theorem tgqioo 14507
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
Assertion
Ref Expression
tgqioo (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2 iooex 9937 . . . 4 (,) ∈ V
32imaex 5001 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
4 imassrn 4999 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
5 ioof 10001 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
6 ffn 5384 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
75, 6ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
8 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9 elioo1 9941 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
109biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
1110simp1d 1011 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
1210simp2d 1012 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
13 qbtwnxr 10288 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
148, 11, 12, 13syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
15 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1610simp3d 1013 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
17 qbtwnxr 10288 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
1811, 15, 16, 17syl3anc 1249 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
19 reeanv 2660 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)))
20 df-ov 5899 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
21 opelxpi 4676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
22213ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
23 ffun 5387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (,)
25 qssre 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ
26 ressxr 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
2725, 26sstri 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ⊆ ℝ*
28 xpss12 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2927, 27, 28mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
305fdmi 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
3129, 30sseqtrri 3205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
32 funfvima2 5770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
3324, 31, 32mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3422, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3520, 34eqeltrid 2276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
36113ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
37 simp3lr 1071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
38 simp3rl 1072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
39 simp2l 1025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
4027, 39sselid 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
41 simp2r 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
4227, 41sselid 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
43 elioo1 9941 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4440, 42, 43syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4536, 37, 38, 44mpbir3and 1182 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
4683ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47 simp3ll 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
4846, 40, 47xrltled 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥𝑢)
49 iooss1 9946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
5046, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
51153ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52 simp3rr 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
5342, 51, 52xrltled 9829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣𝑦)
54 iooss2 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑣𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5551, 53, 54syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5650, 55sstrd 3180 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
57 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
58 sseq1 3193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
5957, 58anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6059rspcev 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6135, 45, 56, 60syl12anc 1247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
62613exp 1204 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
6362rexlimdvv 2614 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6419, 63biimtrrid 153 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6514, 18, 64mp2and 433 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6665ralrimiva 2563 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
67 qtopbas 14482 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
68 eltg2b 14014 . . . . . . . 8 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6967, 68ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
7066, 69sylibr 134 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7170rgen2a 2544 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72 ffnov 6000 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
737, 71, 72mpbir2an 944 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74 frn 5393 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7573, 74ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
76 2basgeng 14042 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
773, 4, 75, 76mp3an 1348 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
781, 77eqtr2i 2211 1 (topGen‘ran (,)) = 𝑄
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  wss 3144  𝒫 cpw 3590  cop 3610   class class class wbr 4018   × cxp 4642  dom cdm 4644  ran crn 4645  cima 4647  Fun wfun 5229   Fn wfn 5230  wf 5231  cfv 5235  (class class class)co 5896  cr 7840  *cxr 8021   < clt 8022  cle 8023  cq 9649  (,)cioo 9918  topGenctg 12759  TopBasesctb 14002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-ioo 9922  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-topgen 12765  df-bases 14003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator