Theorem tgqioo 15420

Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgqioo.1	⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))

Assertion

Ref	Expression
tgqioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo.1	. 2 ⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2		iooex 10240	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
3	2	imaex 5116	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
4		imassrn 5112	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
5		ioof 10304	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
6		ffn 5508	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
8		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		elioo1 10244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
10	9	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
11	10	simp1d 1036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12	10	simp2d 1037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
13		qbtwnxr 10617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
14	8, 11, 12, 13	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
15		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
16	10	simp3d 1038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
17		qbtwnxr 10617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
19		reeanv 2713	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
20		df-ov 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
21		opelxpi 4781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
22	21	3ad2ant2 1046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
23		ffun 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Fun (,)
25		qssre 9962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
26		ressxr 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
27	25, 26	sstri 3247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
28		xpss12 4857	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
29	27, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	5	fdmi 5516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
31	29, 30	sseqtrri 3273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
32		funfvima2 5919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
33	24, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
34	22, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
35	20, 34	eqeltrid 2319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
36	11	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
37		simp3lr 1096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
38		simp3rl 1097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
39		simp2l 1050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
40	27, 39	sselid 3236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
41		simp2r 1051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
42	27, 41	sselid 3236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
43		elioo1 10244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
45	36, 37, 38, 44	mpbir3and 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
46	8	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		simp3ll 1095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
48	46, 40, 47	xrltled 10132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ≤ 𝑢)
49		iooss1 10249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
50	46, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
51	15	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52		simp3rr 1098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
53	42, 51, 52	xrltled 10132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ≤ 𝑦)
54		iooss2 10250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≤ 𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
56	50, 55	sstrd 3248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
57		eleq2 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
58		sseq1 3261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
59	57, 58	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
60	59	rspcev 2921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
61	35, 45, 56, 60	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
62	61	3exp 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
63	62	rexlimdvv 2667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
64	19, 63	biimtrrid 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
65	14, 18, 64	mp2and 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
66	65	ralrimiva 2615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
67		qtopbas 15387	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
68		eltg2b 14919	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
70	66, 69	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
71	70	rgen2a 2596	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72		ffnov 6157	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
73	7, 71, 72	mpbir2an 951	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74		frn 5517	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
76		2basgeng 14947	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
77	3, 4, 75, 76	mp3an 1374	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
78	1, 77	eqtr2i 2254	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109   × cxp 4747  dom cdm 4749  ran crn 4750   “ cima 4752  Fun wfun 5346   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℝcr 8126  ℝ^*cxr 8307   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℚcq 9951  (,)cioo 10221  topGenctg 13467  TopBasesctb 14907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-ioo 10225  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-topgen 13473  df-bases 14908

This theorem is referenced by: (None)