Theorem tgqioo 15278

Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgqioo.1	⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))

Assertion

Ref	Expression
tgqioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo.1	. 2 ⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2		iooex 10141	. . . 4 ⊢ (,) ∈ V
3	2	imaex 5091	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V
4		imassrn 5087	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
5		ioof 10205	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
6		ffn 5482	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
8		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
9		elioo1 10145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
10	9	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
11	10	simp1d 1035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
12	10	simp2d 1036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
13		qbtwnxr 10516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
14	8, 11, 12, 13	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
15		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
16	10	simp3d 1037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
17		qbtwnxr 10516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
18	11, 15, 16, 17	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
19		reeanv 2703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
20		df-ov 6020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
21		opelxpi 4757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
22	21	3ad2ant2 1045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
23		ffun 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
24	5, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Fun (,)
25		qssre 9863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
26		ressxr 8222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
27	25, 26	sstri 3236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
28		xpss12 4833	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
29	27, 27, 28	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
30	5	fdmi 5490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
31	29, 30	sseqtrri 3262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
32		funfvima2 5886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
33	24, 31, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
34	22, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
35	20, 34	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
36	11	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
37		simp3lr 1095	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
38		simp3rl 1096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
39		simp2l 1049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
40	27, 39	sselid 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
41		simp2r 1050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
42	27, 41	sselid 3225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
43		elioo1 10145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
44	40, 42, 43	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
45	36, 37, 38, 44	mpbir3and 1206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
46	8	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
47		simp3ll 1094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
48	46, 40, 47	xrltled 10033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ≤ 𝑢)
49		iooss1 10150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
50	46, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
51	15	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52		simp3rr 1097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
53	42, 51, 52	xrltled 10033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ≤ 𝑦)
54		iooss2 10151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≤ 𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
56	50, 55	sstrd 3237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
57		eleq2 2295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
58		sseq1 3250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
59	57, 58	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
60	59	rspcev 2910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
61	35, 45, 56, 60	syl12anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
62	61	3exp 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
63	62	rexlimdvv 2657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
64	19, 63	biimtrrid 153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
65	14, 18, 64	mp2and 433	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
66	65	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
67		qtopbas 15245	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
68		eltg2b 14777	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
69	67, 68	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
70	66, 69	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
71	70	rgen2a 2586	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72		ffnov 6124	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
73	7, 71, 72	mpbir2an 950	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74		frn 5491	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
75	73, 74	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
76		2basgeng 14805	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ V ∧ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
77	3, 4, 75, 76	mp3an 1373	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
78	1, 77	eqtr2i 2253	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   × cxp 4723  dom cdm 4725  ran crn 4726   “ cima 4728  Fun wfun 5320   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℚcq 9852  (,)cioo 10122  topGenctg 13336  TopBasesctb 14765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-ioo 10126  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-topgen 13342  df-bases 14766

This theorem is referenced by: (None)