ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txbasval GIF version

Theorem txbasval 13737
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘š 𝑛 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txbasex 13727 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
3 bastg 13531 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…))
4 bastg 13531 . . . . . 6 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†))
5 resmpo 5972 . . . . . 6 ((𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 289 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
7 resss 4931 . . . . 5 ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 3208 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
9 rnss 4857 . . . 4 ((𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
108, 9syl 14 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
11 eltg3 13527 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š)))
12 eltg3 13527 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 606 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛))))
14 exdistrv 1910 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
15 an4 586 . . . . . . . . . . 11 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
16 uniiun 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘š = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯
17 uniiun 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ 𝑛 = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 4648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
19 xpiundir 4685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
20 xpiundi 4684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2120a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ π‘š β†’ (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦))
2221iuneq2i 3904 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2202 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
24 txvalex 13724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V)
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V)
2624ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V)
27 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
28 ssel2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
2927, 28anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
3029an4s 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
31 txopn 13735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3230, 31sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛))) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3332anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3433anassrs 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3534ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
36 tgiun 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
3726, 35, 36syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
38 tgidm 13544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
392, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
401txval 13725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
4140fveq2d 5519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))))
4239, 41, 403eqtr4d 2220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4537, 44eleqtrd 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4645ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
47 tgiun 13543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4825, 46, 47syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4948, 43eleqtrd 2256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
5023, 49eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
51 xpeq12 4645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛))
5251eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5350, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5453expimpd 363 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5515, 54biimtrid 152 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5655exlimdvv 1897 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5714, 56biimtrrid 153 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5813, 57sylbid 150 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5958ralrimivv 2558 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
60 eqid 2177 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6160fmpo 6201 . . . . . 6 (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6259, 61sylib 122 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6362frnd 5375 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
6463, 40sseqtrd 3193 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
65 2basgeng 13552 . . 3 ((ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V ∧ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∧ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
662, 10, 64, 65syl3anc 1238 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
67 tgvalex 12711 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (topGenβ€˜π‘…) ∈ V)
68 tgvalex 12711 . . 3 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (topGenβ€˜π‘†) ∈ V)
69 eqid 2177 . . . 4 ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
7069txval 13725 . . 3 (((topGenβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (topGenβ€˜π‘†) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
7167, 68, 70syl2an 289 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
7266, 40, 713eqtr4rd 2221 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2737   βŠ† wss 3129  βˆͺ cuni 3809  βˆͺ ciun 3886   Γ— cxp 4624  ran crn 4627   β†Ύ cres 4628  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  topGenctg 12702   Γ—t ctx 13722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-topgen 12708  df-tx 13723
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator