Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txbasval GIF version

Theorem txbasval 12495
 Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txbasex 12485 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V)
3 bastg 12289 . . . . . 6 (𝑅𝑉𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅))
4 bastg 12289 . . . . . 6 (𝑆𝑊𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆))
5 resmpo 5878 . . . . . 6 ((𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆)) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 287 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7 resss 4852 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 3156 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
9 rnss 4778 . . . 4 ((𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
108, 9syl 14 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
11 eltg3 12285 . . . . . . . . 9 (𝑅𝑉 → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ↔ ∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚)))
12 eltg3 12285 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑊 → (𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↔ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 596 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛))))
14 exdistrv 1883 . . . . . . . . 9 (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
15 an4 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)))
16 uniiun 3875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 = 𝑥𝑚 𝑥
17 uniiun 3875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛 = 𝑦𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑚 × 𝑛) = ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
19 xpiundir 4607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
20 xpiundi 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2120a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝑚 → (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦))
2221iuneq2i 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2165 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑚 × 𝑛) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
24 txvalex 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)
2624ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V)
27 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑚𝑅𝑥𝑚) → 𝑥𝑅)
28 ssel2 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑛𝑆𝑦𝑛) → 𝑦𝑆)
2927, 28anim12i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚𝑅𝑥𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
3029an4s 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
31 txopn 12493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑆)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3230, 31sylan2 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛))) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3332anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3433anassrs 398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) ∧ 𝑦𝑛) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3534ralrimiva 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
36 tgiun 12301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
3726, 35, 36syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
38 tgidm 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
392, 38syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
401txval 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
4140fveq2d 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))))
4239, 41, 403eqtr4d 2183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4342adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4443adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4537, 44eleqtrd 2219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4645ralrimiva 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
47 tgiun 12301 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4825, 46, 47syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4948, 43eleqtrd 2219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
5023, 49eqeltrid 2227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
51 xpeq12 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) = ( 𝑚 × 𝑛))
5251eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → ((𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5350, 52syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5453expimpd 361 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5515, 54syl5bi 151 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5655exlimdvv 1870 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5714, 56syl5bir 152 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5813, 57sylbid 149 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5958ralrimivv 2517 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
60 eqid 2140 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
6160fmpo 6108 . . . . . 6 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6259, 61sylib 121 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6362frnd 5291 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6463, 40sseqtrd 3141 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
65 2basgeng 12310 . . 3 ((ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V ∧ ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∧ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
662, 10, 64, 65syl3anc 1217 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
67 tgvalex 12278 . . 3 (𝑅𝑉 → (topGen‘𝑅) ∈ V)
68 tgvalex 12278 . . 3 (𝑆𝑊 → (topGen‘𝑆) ∈ V)
69 eqid 2140 . . . 4 ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
7069txval 12483 . . 3 (((topGen‘𝑅) ∈ V ∧ (topGen‘𝑆) ∈ V) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
7167, 68, 70syl2an 287 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
7266, 40, 713eqtr4rd 2184 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  Vcvv 2690   ⊆ wss 3077  ∪ cuni 3745  ∪ ciun 3822   × cxp 4546  ran crn 4549   ↾ cres 4550  ⟶wf 5128  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783   ∈ cmpo 5785  topGenctg 12194   ×t ctx 12480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-topgen 12200  df-tx 12481 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator