Theorem 9nn 9275

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9172	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9274	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9118	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  1c1 7996   + caddc 7998  ℕcn 9106  8c8 9163  9c9 9164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172

This theorem is referenced by:  9nn0  9389  9p1e10  9576  10nn  9589  3dvdsdec  12371  tsetndx  13214  tsetid  13215  tsetslid  13216  tsetndxnn  13217  topgrpstrd  13224  imasvalstrd  13298  cnfldstr  14516  psrvalstrd  14626  eltpsg  14708  setsmsbasg  15147  2logb9irr  15639  sqrt2cxp2logb9e3  15643  2logb9irrap  15645  ex-gcd  16053