Theorem 9nn 9089

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 8987	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9088	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 8933	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2250	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  1c1 7814   + caddc 7816  ℕcn 8921  8c8 8978  9c9 8979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987

This theorem is referenced by:  9nn0  9202  9p1e10  9388  10nn  9401  3dvdsdec  11872  tsetndx  12646  tsetid  12647  tsetslid  12648  tsetndxnn  12649  topgrpstrd  12656  eltpsg  13625  setsmsbasg  14064  2logb9irr  14474  sqrt2cxp2logb9e3  14478  2logb9irrap  14480  ex-gcd  14568