Theorem 9nn 9176

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9073	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9175	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9019	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  1c1 7897   + caddc 7899  ℕcn 9007  8c8 9064  9c9 9065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073

This theorem is referenced by:  9nn0  9290  9p1e10  9476  10nn  9489  3dvdsdec  12047  tsetndx  12888  tsetid  12889  tsetslid  12890  tsetndxnn  12891  topgrpstrd  12898  imasvalstrd  12972  cnfldstr  14190  psrvalstrd  14298  eltpsg  14360  setsmsbasg  14799  2logb9irr  15291  sqrt2cxp2logb9e3  15295  2logb9irrap  15297  ex-gcd  15461