Theorem 9nn 9311

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9208	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9310	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9154	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2304	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6017  1c1 8032   + caddc 8034  ℕcn 9142  8c8 9199  9c9 9200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-iota 5286  df-fv 5334  df-ov 6020  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208

This theorem is referenced by:  9nn0  9425  9p1e10  9612  10nn  9625  3dvdsdec  12425  tsetndx  13268  tsetid  13269  tsetslid  13270  tsetndxnn  13271  topgrpstrd  13278  imasvalstrd  13352  cnfldstr  14571  psrvalstrd  14681  eltpsg  14763  setsmsbasg  15202  2logb9irr  15694  sqrt2cxp2logb9e3  15698  2logb9irrap  15700  ex-gcd  16327