Theorem 9nn 9473

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9370	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9472	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9316	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182  ℕcn 9304  8c8 9361  9c9 9362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370

This theorem is used by:  9nn0  9587  9p1e10  9779  10nn  9792  3dvdsdec  12632  tsetndx  13540  tsetid  13541  tsetslid  13542  tsetndxnn  13543  topgrpstrd  13550  imasvalstrd  13619  cnfldstr  14895  psrvalstrd  15052  eltpsg  15141  setsmsbasg  15580  2logb9irr  16073  sqrt2cxp2logb9e3  16077  2logb9irrap  16079  log2tlbndlog2  16082  log2ublem2  16084  log2ublog2  16086  ex-gcd  16745