Theorem 9nn 9150

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9048	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9149	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 8994	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2266	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  1c1 7873   + caddc 7875  ℕcn 8982  8c8 9039  9c9 9040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048

This theorem is referenced by:  9nn0  9264  9p1e10  9450  10nn  9463  3dvdsdec  12006  tsetndx  12803  tsetid  12804  tsetslid  12805  tsetndxnn  12806  topgrpstrd  12813  psrvalstrd  14154  eltpsg  14208  setsmsbasg  14647  2logb9irr  15103  sqrt2cxp2logb9e3  15107  2logb9irrap  15109  ex-gcd  15223