Theorem 9nn 9225

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9122	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9224	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9068	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2279	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5957  1c1 7946   + caddc 7948  ℕcn 9056  8c8 9113  9c9 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1re 8039  ax-addrcl 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-iota 5241  df-fv 5288  df-ov 5960  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-9 9122

This theorem is referenced by:  9nn0  9339  9p1e10  9526  10nn  9539  3dvdsdec  12251  tsetndx  13093  tsetid  13094  tsetslid  13095  tsetndxnn  13096  topgrpstrd  13103  imasvalstrd  13177  cnfldstr  14395  psrvalstrd  14505  eltpsg  14587  setsmsbasg  15026  2logb9irr  15518  sqrt2cxp2logb9e3  15522  2logb9irrap  15524  ex-gcd  15806