Theorem 9nn 9484

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9379	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9483	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9325	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6088  1c1 8186   + caddc 8188  ℕcn 9313  8c8 9370  9c9 9371

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-iota 5340  df-fv 5388  df-ov 6091  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379

This theorem is used by:  9nn0  9598  9p1e10  9790  10nn  9807  3dvdsdec  12657  19prm  13261  prmlem2  13263  37prm  13264  43prm  13265  83prm  13266  139prm  13267  163prm  13268  317prm  13269  631prm  13270  1259lem1  13271  1259lem2  13272  1259lem3  13273  1259lem4  13274  1259lem5  13275  tsetndx  13599  tsetid  13600  tsetslid  13601  tsetndxnn  13602  topgrpstrd  13609  imasvalstrd  13678  cnfldstr  15004  psrvalstrd  15161  eltpsg  15266  setsmsbasg  15705  2logb9irr  16207  sqrt2cxp2logb9e3  16211  2logb9irrap  16213  log2tlbndlog2  16220  log2ublem2  16222  log2ublog2  16224  bposlem7  16317  bposlem8  16318  bposlem9  16319  ex-gcd  16950