Theorem 9nn 9452

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9349	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9451	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9295	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172  ℕcn 9283  8c8 9340  9c9 9341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-iota 5332  df-fv 5380  df-ov 6078  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349

This theorem is referenced by:  9nn0  9566  9p1e10  9758  10nn  9771  3dvdsdec  12610  tsetndx  13517  tsetid  13518  tsetslid  13519  tsetndxnn  13520  topgrpstrd  13527  imasvalstrd  13596  cnfldstr  14867  psrvalstrd  14975  eltpsg  15064  setsmsbasg  15503  2logb9irr  15996  sqrt2cxp2logb9e3  16000  2logb9irrap  16002  ex-gcd  16659