Theorem 9nn 9159

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9056	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9158	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9002	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2269	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5922  1c1 7880   + caddc 7882  ℕcn 8990  8c8 9047  9c9 9048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-iota 5219  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056

This theorem is referenced by:  9nn0  9273  9p1e10  9459  10nn  9472  3dvdsdec  12030  tsetndx  12863  tsetid  12864  tsetslid  12865  tsetndxnn  12866  topgrpstrd  12873  cnfldstr  14114  psrvalstrd  14222  eltpsg  14276  setsmsbasg  14715  2logb9irr  15207  sqrt2cxp2logb9e3  15211  2logb9irrap  15213  ex-gcd  15377