Theorem 9nn 9406

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9303	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9405	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9249	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2305	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2203  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130  ℕcn 9237  8c8 9294  9c9 9295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1re 8221  ax-addrcl 8224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-iota 5312  df-fv 5360  df-ov 6053  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303

This theorem is referenced by:  9nn0  9520  9p1e10  9711  10nn  9724  3dvdsdec  12551  tsetndx  13399  tsetid  13400  tsetslid  13401  tsetndxnn  13402  topgrpstrd  13409  imasvalstrd  13483  cnfldstr  14706  psrvalstrd  14816  eltpsg  14905  setsmsbasg  15344  2logb9irr  15836  sqrt2cxp2logb9e3  15840  2logb9irrap  15842  ex-gcd  16499