Theorem 9nn 9423

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9320	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9422	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9266	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2307	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9254  8c8 9311  9c9 9312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320

This theorem is referenced by:  9nn0  9537  9p1e10  9729  10nn  9742  3dvdsdec  12576  tsetndx  13483  tsetid  13484  tsetslid  13485  tsetndxnn  13486  topgrpstrd  13493  imasvalstrd  13562  cnfldstr  14832  psrvalstrd  14942  eltpsg  15031  setsmsbasg  15470  2logb9irr  15962  sqrt2cxp2logb9e3  15966  2logb9irrap  15968  ex-gcd  16625