Theorem 9nn 9290

Description: 9 is a positive integer. (Contributed by NM, 21-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
9nn	⊢ 9 ∈ ℕ

Proof of Theorem 9nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-9 9187	. 2 ⊢ 9 = (8 + 1)
2		8nn 9289	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℕ
3		peano2nn 9133	. . 3 ⊢ (8 ∈ ℕ → (8 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (8 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2302	1 ⊢ 9 ∈ ℕ

Syntax hints:   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  1c1 8011   + caddc 8013  ℕcn 9121  8c8 9178  9c9 9179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187

This theorem is referenced by:  9nn0  9404  9p1e10  9591  10nn  9604  3dvdsdec  12391  tsetndx  13234  tsetid  13235  tsetslid  13236  tsetndxnn  13237  topgrpstrd  13244  imasvalstrd  13318  cnfldstr  14537  psrvalstrd  14647  eltpsg  14729  setsmsbasg  15168  2logb9irr  15660  sqrt2cxp2logb9e3  15664  2logb9irrap  15666  ex-gcd  16150