Theorem eltpsg 15064

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 15049	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		eltpsi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		df-tset 13427	. . . . . 6 ⊢ TopSet = Slot 9
4		1lt9 9488	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
5		9nn 9452	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
6	2, 3, 4, 5	2stropg 13452	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
7	1, 6	mpancom 426	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 13451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
9	1, 8	mpancom 426	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
10	9	fveq2d 5694	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
11	7, 10	eleq12d 2309	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
12	11	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
13		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2238	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
15	13, 14	tsettps 15062	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
16	12, 15	syl 14	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3706  ⟨cop 3708  ‘cfv 5372  9c9 9341  ndxcnx 13327  Basecbs 13330  TopSetcts 13414  TopOnctopon 15034  TopSpctps 15054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573  df-top 15022  df-topon 15035  df-topsp 15055

This theorem is referenced by:  eltpsi  15065  stoig  15197