Theorem eltpsg 12678

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 12663	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		eltpsi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		df-tset 12476	. . . . . 6 ⊢ TopSet = Slot 9
4		1lt9 9061	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
5		9nn 9025	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
6	2, 3, 4, 5	2stropg 12497	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
7	1, 6	mpancom 419	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 12496	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
9	1, 8	mpancom 419	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
10	9	fveq2d 5490	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
11	7, 10	eleq12d 2237	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
12	11	ibi 175	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
13		eqid 2165	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2165	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
15	13, 14	tsettps 12676	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
16	12, 15	syl 14	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cpr 3577  ⟨cop 3579  ‘cfv 5188  9c9 8915  ndxcnx 12391  Basecbs 12394  TopSetcts 12463  TopOnctopon 12648  TopSpctps 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-tset 12476  df-rest 12558  df-topn 12559  df-top 12636  df-topon 12649  df-topsp 12669

This theorem is referenced by:  eltpsi  12679  stoig  12813