Theorem eltpsg 14708

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 14693	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		eltpsi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		df-tset 13124	. . . . . 6 ⊢ TopSet = Slot 9
4		1lt9 9311	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
5		9nn 9275	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
6	2, 3, 4, 5	2stropg 13149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 13148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
10	9	fveq2d 5630	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
11	7, 10	eleq12d 2300	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
12	11	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
13		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2229	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
15	13, 14	tsettps 14706	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
16	12, 15	syl 14	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667  ⟨cop 3669  ‘cfv 5317  9c9 9164  ndxcnx 13024  Basecbs 13027  TopSetcts 13111  TopOnctopon 14678  TopSpctps 14698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-tset 13124  df-rest 13269  df-topn 13270  df-top 14666  df-topon 14679  df-topsp 14699

This theorem is referenced by:  eltpsi  14709  stoig  14841