Theorem eltpsg 13400

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}

Assertion

Ref	Expression
eltpsg	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Proof of Theorem eltpsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponmax 13385	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐽)
2		eltpsi.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
3		df-tset 12546	. . . . . 6 ⊢ TopSet = Slot 9
4		1lt9 9118	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
5		9nn 9082	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
6	2, 3, 4, 5	2stropg 12570	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
7	1, 6	mpancom 422	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐽 = (TopSet‘𝐾))
8	2, 3, 4, 5	2strbasg 12569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
9	1, 8	mpancom 422	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝐾))
10	9	fveq2d 5517	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopOn‘𝐴) = (TopOn‘(Base‘𝐾)))
11	7, 10	eleq12d 2248	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) ↔ (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾))))
12	11	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → (TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)))
13		eqid 2177	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14		eqid 2177	. . 3 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
15	13, 14	tsettps 13398	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ TopSp)
16	12, 15	syl 14	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {cpr 3593  ⟨cop 3595  ‘cfv 5214  9c9 8972  ndxcnx 12450  Basecbs 12453  TopSetcts 12533  TopOnctopon 13370  TopSpctps 13390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-addcom 7907  ax-addass 7909  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-ltadd 7923

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-ltxr 7992  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-5 8976  df-6 8977  df-7 8978  df-8 8979  df-9 8980  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-tset 12546  df-rest 12677  df-topn 12678  df-top 13358  df-topon 13371  df-topsp 13391

This theorem is referenced by:  eltpsi  13401  stoig  13535