Theorem ex-gcd 15387

Description: Example for df-gcd 12131. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9158	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9349	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9161	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9349	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 12160	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 9074	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 9067	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9143	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8173	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2200	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5934	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9357	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 12150	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9135	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2200	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5934	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2217	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 12162	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 12163	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 12162	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 9066	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 8028	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9086	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8131	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11238	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2225	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2225	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2217	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2217	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℝcr 7880  0cc0 7881   + caddc 7884   ≤ cle 8064  -cneg 8200  3c3 9044  6c6 9047  9c9 9050  ℤcz 9328  abscabs 11164   gcd cgcd 12130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-sup 7051  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-fl 10362  df-mod 10417  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-dvds 11955  df-gcd 12131

This theorem is referenced by: (None)