Theorem ex-gcd 12932

Description: Example for df-gcd 11625. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 8878	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9068	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 8881	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9068	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 11660	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 422	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 8795	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 8788	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 8863	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 7900	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2141	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5778	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9076	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 11651	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 8855	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2141	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5778	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2158	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 11662	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 422	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 11663	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 11662	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 8787	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 7759	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 8807	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 7859	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 10836	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 422	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2166	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2166	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2158	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2158	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℝcr 7612  0cc0 7613   + caddc 7616   ≤ cle 7794  -cneg 7927  3c3 8765  6c6 8768  9c9 8771  ℤcz 9047  abscabs 10762   gcd cgcd 11624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-gcd 11625

This theorem is referenced by: (None)