ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-gcd GIF version

Theorem ex-gcd 14568
Description: Example for df-gcd 11946. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 9086 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 9276 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 9089 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 9276 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 11986 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 426 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 9003 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 8996 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 9071 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 8104 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2181 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 5888 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 9284 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 11976 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 426 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 9063 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2181 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 5888 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2198 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 11988 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 426 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 11989 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 11988 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 426 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 8995 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 7959 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 9015 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 8062 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 11082 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 426 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2206 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2206 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2198 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2198 1 (-6 gcd 9) = 3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5877  cr 7812  0cc0 7813   + caddc 7816  cle 7995  -cneg 8131  3c3 8973  6c6 8976  9c9 8979  cz 9255  abscabs 11008   gcd cgcd 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-gcd 11946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator