Theorem ex-gcd 14403

Description: Example for df-gcd 11938. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9082	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9272	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9085	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9272	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 11978	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 8999	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 8992	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9067	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8100	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5885	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9280	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 11968	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9059	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2181	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5885	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 11980	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 11981	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 11980	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 8991	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 7956	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9011	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8058	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11075	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2206	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2206	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2198	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2198	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4003  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℝcr 7809  0cc0 7810   + caddc 7813   ≤ cle 7991  -cneg 8127  3c3 8969  6c6 8972  9c9 8975  ℤcz 9251  abscabs 11001   gcd cgcd 11937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-gcd 11938

This theorem is referenced by: (None)