Theorem ex-gcd 16344

Description: Example for df-gcd 12527. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9309	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9500	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9312	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9500	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 12556	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 9225	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 9218	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9294	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8324	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6029	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9508	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 12546	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9286	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2235	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6029	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2252	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 12558	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 12559	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 12558	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 9217	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9237	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8282	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11633	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2260	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2260	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2252	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2252	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032   + caddc 8035   ≤ cle 8215  -cneg 8351  3c3 9195  6c6 9198  9c9 9201  ℤcz 9479  abscabs 11559   gcd cgcd 12526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-sup 7183  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-dvds 12351  df-gcd 12527

This theorem is referenced by: (None)