Theorem ex-gcd 16005

Description: Example for df-gcd 12441. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9244	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9435	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9247	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9435	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 12470	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 9160	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 9153	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9229	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8259	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2213	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5985	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9443	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 12460	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9221	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2213	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5985	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2230	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 12472	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 12473	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 12472	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 9152	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 8114	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9172	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8217	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11548	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2238	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2238	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2230	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2230	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1375   ∈ wcel 2180   class class class wbr 4062  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967   + caddc 7970   ≤ cle 8150  -cneg 8286  3c3 9130  6c6 9133  9c9 9136  ℤcz 9414  abscabs 11474   gcd cgcd 12440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-sup 7119  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-dvds 12265  df-gcd 12441

This theorem is referenced by: (None)