Theorem ex-gcd 13612

Description: Example for df-gcd 11876. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9022	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9212	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9025	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9212	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 11916	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 423	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 8939	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 8932	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9007	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8043	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2169	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5853	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9220	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 11906	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 8999	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2169	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5853	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2186	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 11918	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 11919	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 11918	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 8931	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 7899	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 8951	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8001	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11013	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2194	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2194	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2186	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2186	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753   + caddc 7756   ≤ cle 7934  -cneg 8070  3c3 8909  6c6 8912  9c9 8915  ℤcz 9191  abscabs 10939   gcd cgcd 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876

This theorem is referenced by: (None)