Theorem ex-gcd 13766

Description: Example for df-gcd 11898. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9043	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9233	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9046	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9233	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 11938	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 424	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 8960	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 8953	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9028	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8064	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2174	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 5864	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9241	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 11928	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9020	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2174	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 5864	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 11940	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 424	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 11941	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 11940	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 8952	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 7920	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 8972	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8022	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11035	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2199	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2199	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2191	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2191	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774   + caddc 7777   ≤ cle 7955  -cneg 8091  3c3 8930  6c6 8933  9c9 8936  ℤcz 9212  abscabs 10961   gcd cgcd 11897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898

This theorem is referenced by: (None)