Theorem ex-gcd 16757

Description: Example for df-gcd 12733. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9472	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9667	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9475	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9667	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 12762	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 430	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 9387	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 9380	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9456	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8471	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2242	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6096	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9675	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 12752	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9448	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2242	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6096	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2259	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 12764	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 12765	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 12764	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 9379	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 8326	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9399	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8428	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11839	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2267	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2267	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2259	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2259	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  0cc0 8179   + caddc 8182   ≤ cle 8361  -cneg 8498  3c3 9357  6c6 9360  9c9 9363  ℤcz 9646  abscabs 11765   gcd cgcd 12732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-sup 7324  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-dvds 12557  df-gcd 12733

This theorem is used by: (None)