Theorem ex-gcd 16277

Description: Example for df-gcd 12518. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-gcd	⊢ (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 9302	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	nnzi 9493	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℤ
3		9nn 9305	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
4	3	nnzi 9493	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
5		neggcd 12547	. . 3 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
6	2, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7		6cn 9218	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
8		3cn 9211	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
9		6p3e9 9287	. . . . . 6 ⊢ (6 + 3) = 9
10	7, 8, 9	addcomli 8317	. . . . 5 ⊢ (3 + 6) = 9
11	10	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ 9 = (3 + 6)
12	11	oveq2i 6024	. . 3 ⊢ (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13		3z 9501	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
14		gcdcom 12537	. . . . . 6 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
15	2, 13, 14	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16		3p3e6 9279	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 3) = 6
17	16	eqcomi 2233	. . . . . 6 ⊢ 6 = (3 + 3)
18	17	oveq2i 6024	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
19	15, 18	eqtri 2250	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20		gcdadd 12549	. . . . 5 ⊢ ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
21	2, 13, 20	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22		gcdid 12550	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
23	13, 22	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (abs‘3)
24		gcdadd 12549	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
25	13, 13, 24	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26		3re 9210	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℝ
27		0re 8172	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		3pos 9230	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 3
29	27, 26, 28	ltleii 8275	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 3
30		absid 11625	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
31	26, 29, 30	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ (abs‘3) = 3
32	23, 25, 31	3eqtr3i 2258	. . . 4 ⊢ (3 gcd (3 + 3)) = 3
33	19, 21, 32	3eqtr3i 2258	. . 3 ⊢ (6 gcd (3 + 6)) = 3
34	12, 33	eqtri 2250	. 2 ⊢ (6 gcd 9) = 3
35	6, 34	eqtri 2250	1 ⊢ (-6 gcd 9) = 3

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025   + caddc 8028   ≤ cle 8208  -cneg 8344  3c3 9188  6c6 9191  9c9 9194  ℤcz 9472  abscabs 11551   gcd cgcd 12517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7177  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-fl 10523  df-mod 10578  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-dvds 12342  df-gcd 12518

This theorem is referenced by: (None)