ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ex-gcd GIF version

Theorem ex-gcd 12777
Description: Example for df-gcd 11543. (Contributed by AV, 5-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
ex-gcd (-6 gcd 9) = 3

Proof of Theorem ex-gcd
StepHypRef Expression
1 6nn 8839 . . . 4 6 ∈ ℕ
21nnzi 9029 . . 3 6 ∈ ℤ
3 9nn 8842 . . . 4 9 ∈ ℕ
43nnzi 9029 . . 3 9 ∈ ℤ
5 neggcd 11578 . . 3 ((6 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (-6 gcd 9) = (6 gcd 9))
62, 4, 5mp2an 420 . 2 (-6 gcd 9) = (6 gcd 9)
7 6cn 8762 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
8 3cn 8755 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
9 6p3e9 8824 . . . . . 6 (6 + 3) = 9
107, 8, 9addcomli 7871 . . . . 5 (3 + 6) = 9
1110eqcomi 2119 . . . 4 9 = (3 + 6)
1211oveq2i 5751 . . 3 (6 gcd 9) = (6 gcd (3 + 6))
13 3z 9037 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
14 gcdcom 11569 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (3 gcd 6))
152, 13, 14mp2an 420 . . . . 5 (6 gcd 3) = (3 gcd 6)
16 3p3e6 8816 . . . . . . 7 (3 + 3) = 6
1716eqcomi 2119 . . . . . 6 6 = (3 + 3)
1817oveq2i 5751 . . . . 5 (3 gcd 6) = (3 gcd (3 + 3))
1915, 18eqtri 2136 . . . 4 (6 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
20 gcdadd 11580 . . . . 5 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6)))
212, 13, 20mp2an 420 . . . 4 (6 gcd 3) = (6 gcd (3 + 6))
22 gcdid 11581 . . . . . 6 (3 ∈ ℤ → (3 gcd 3) = (abs‘3))
2313, 22ax-mp 5 . . . . 5 (3 gcd 3) = (abs‘3)
24 gcdadd 11580 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3)))
2513, 13, 24mp2an 420 . . . . 5 (3 gcd 3) = (3 gcd (3 + 3))
26 3re 8754 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
27 0re 7730 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 3pos 8774 . . . . . . 7 0 < 3
2927, 26, 28ltleii 7830 . . . . . 6 0 ≤ 3
30 absid 10794 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) → (abs‘3) = 3)
3126, 29, 30mp2an 420 . . . . 5 (abs‘3) = 3
3223, 25, 313eqtr3i 2144 . . . 4 (3 gcd (3 + 3)) = 3
3319, 21, 323eqtr3i 2144 . . 3 (6 gcd (3 + 6)) = 3
3412, 33eqtri 2136 . 2 (6 gcd 9) = 3
356, 34eqtri 2136 1 (-6 gcd 9) = 3
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1314  wcel 1463   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cr 7583  0cc0 7584   + caddc 7587  cle 7765  -cneg 7898  3c3 8732  6c6 8735  9c9 8738  cz 9008  abscabs 10720   gcd cgcd 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-3 8740  df-4 8741  df-5 8742  df-6 8743  df-7 8744  df-8 8745  df-9 8746  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fz 9742  df-fzo 9871  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401  df-gcd 11543
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator