Theorem 2logb9irr 15965

Description: Example for logbgcd1irr 15961. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15971 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9625	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		9nn 9426	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	2	nnzi 9618	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
4		2re 9327	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		9re 9344	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
6		2lt9 9461	. . . 4 ⊢ 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8392	. . 3 ⊢ 2 ≤ 9
8		eluz2 9880	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1206	. 2 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
10		uzid 9889	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		sq3 11025	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
13	12	eqcomi 2238	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
14	13	oveq1i 6068	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15		2lt3 9428	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8385	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
17		3prm 12853	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
18		2prm 12852	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
19		prmrp 12870	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
22		3z 9626	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		2nn0 9533	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		rpexp1i 12879	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1374	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
27	14, 26	eqtri 2255	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
28		logbgcd1irr 15961	. 2 ⊢ ((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1374	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3211   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  1c1 8144   ≤ cle 8325  2c2 9308  3c3 9309  9c9 9315  ℕ₀cn0 9516  ℤcz 9597  ℤ_≥cuz 9874  ℚcq 9972  ↑cexp 10927   gcd cgcd 12677  ℙcprime 12832   log_b clogb 15937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-pre-suploc 8264  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-disj 4091  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-of 6275  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-map 6897  df-pm 6898  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-uz 9875  df-q 9973  df-rp 10008  df-xneg 10127  df-xadd 10128  df-ioo 10247  df-ico 10249  df-icc 10250  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-fl 10657  df-mod 10712  df-seqfrec 10837  df-exp 10928  df-fac 11116  df-bc 11138  df-ihash 11167  df-shft 11528  df-cj 11555  df-re 11556  df-im 11557  df-rsqrt 11711  df-abs 11712  df-clim 11992  df-sumdc 12067  df-ef 12362  df-e 12363  df-dvds 12502  df-gcd 12678  df-prm 12833  df-rest 13541  df-topgen 13560  df-psmet 14820  df-xmet 14821  df-met 14822  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-top 14992  df-topon 15005  df-bases 15037  df-ntr 15090  df-cn 15182  df-cnp 15183  df-tx 15247  df-cncf 15565  df-limced 15650  df-dvap 15651  df-relog 15852  df-rpcxp 15853  df-logb 15938

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15970  2irrexpqap  15972