Theorem 2logb9irr 15823

Description: Example for logbgcd1irr 15819. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15829 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9601	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		9nn 9402	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	2	nnzi 9594	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
4		2re 9303	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		9re 9320	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
6		2lt9 9437	. . . 4 ⊢ 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8372	. . 3 ⊢ 2 ≤ 9
8		eluz2 9855	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1206	. 2 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
10		uzid 9864	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		sq3 10994	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
13	12	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
14	13	oveq1i 6059	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15		2lt3 9404	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8365	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
17		3prm 12818	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
18		2prm 12817	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
19		prmrp 12835	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
22		3z 9602	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		2nn0 9509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		rpexp1i 12844	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1374	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
27	14, 26	eqtri 2253	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
28		logbgcd1irr 15819	. 2 ⊢ ((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1374	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   ∖ cdif 3207   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  1c1 8124   ≤ cle 8305  2c2 9284  3c3 9285  9c9 9291  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573  ℤ_≥cuz 9849  ℚcq 9947  ↑cexp 10896   gcd cgcd 12642  ℙcprime 12797   log_b clogb 15795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243  ax-pre-suploc 8244  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-disj 4085  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-of 6265  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-2o 6647  df-oadd 6650  df-er 6766  df-map 6883  df-pm 6884  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-xneg 10101  df-xadd 10102  df-ioo 10221  df-ico 10223  df-icc 10224  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-fl 10626  df-mod 10681  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-fac 11084  df-bc 11106  df-ihash 11134  df-shft 11493  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-sumdc 12032  df-ef 12327  df-e 12328  df-dvds 12467  df-gcd 12643  df-prm 12798  df-rest 13443  df-topgen 13462  df-psmet 14678  df-xmet 14679  df-met 14680  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-top 14850  df-topon 14863  df-bases 14895  df-ntr 14948  df-cn 15040  df-cnp 15041  df-tx 15105  df-cncf 15423  df-limced 15508  df-dvap 15509  df-relog 15710  df-rpcxp 15711  df-logb 15796

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15828  2irrexpqap  15830