Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2logb9irr GIF version

Theorem 2logb9irr 13097
 Description: Example for logbgcd1irr 13093. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 13103 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2logb9irr (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr
StepHypRef Expression
1 2z 9107 . . 3 2 ∈ ℤ
2 9nn 8913 . . . 4 9 ∈ ℕ
32nnzi 9100 . . 3 9 ∈ ℤ
4 2re 8815 . . . 4 2 ∈ ℝ
5 9re 8832 . . . 4 9 ∈ ℝ
6 2lt9 8948 . . . 4 2 < 9
74, 5, 6ltleii 7891 . . 3 2 ≤ 9
8 eluz2 9357 . . 3 (9 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
91, 3, 7, 8mpbir3an 1164 . 2 9 ∈ (ℤ‘2)
10 uzid 9365 . . 3 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
111, 10ax-mp 5 . 2 2 ∈ (ℤ‘2)
12 sq3 10421 . . . . 5 (3↑2) = 9
1312eqcomi 2144 . . . 4 9 = (3↑2)
1413oveq1i 5792 . . 3 (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15 2lt3 8915 . . . . . 6 2 < 3
164, 15gtneii 7884 . . . . 5 3 ≠ 2
17 3prm 11846 . . . . . 6 3 ∈ ℙ
18 2prm 11845 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
19 prmrp 11860 . . . . . 6 ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
2017, 18, 19mp2an 423 . . . . 5 ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
2116, 20mpbir 145 . . . 4 (3 gcd 2) = 1
22 3z 9108 . . . . 5 3 ∈ ℤ
23 2nn0 9019 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
24 rpexp1i 11869 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
2522, 1, 23, 24mp3an 1316 . . . 4 ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
2621, 25ax-mp 5 . . 3 ((3↑2) gcd 2) = 1
2714, 26eqtri 2161 . 2 (9 gcd 2) = 1
28 logbgcd1irr 13093 . 2 ((9 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
299, 11, 27, 28mp3an 1316 1 (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ∖ cdif 3073   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7644  1c1 7646   ≤ cle 7826  2c2 8796  3c3 8797  9c9 8803  ℕ0cn0 9002  ℤcz 9079  ℤ≥cuz 9351  ℚcq 9439  ↑cexp 10324   gcd cgcd 11672  ℙcprime 11825   logb clogb 13069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765  ax-pre-suploc 7766  ax-addf 7767  ax-mulf 7768 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-5 8807  df-6 8808  df-7 8809  df-8 8810  df-9 8811  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-xneg 9590  df-xadd 9591  df-ioo 9706  df-ico 9708  df-icc 9709  df-fz 9823  df-fzo 9952  df-fl 10075  df-mod 10128  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-fac 10505  df-bc 10527  df-ihash 10555  df-shft 10620  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-clim 11081  df-sumdc 11156  df-ef 11392  df-e 11393  df-dvds 11531  df-gcd 11673  df-prm 11826  df-rest 12162  df-topgen 12181  df-psmet 12196  df-xmet 12197  df-met 12198  df-bl 12199  df-mopn 12200  df-top 12205  df-topon 12218  df-bases 12250  df-ntr 12305  df-cn 12397  df-cnp 12398  df-tx 12462  df-cncf 12767  df-limced 12834  df-dvap 12835  df-relog 12988  df-rpcxp 12989  df-logb 13070 This theorem is referenced by:  2irrexpq  13102  2irrexpqap  13104
 Copyright terms: Public domain W3C validator