Theorem 2logb9irr 15724

Description: Example for logbgcd1irr 15720. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15730 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9512	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		9nn 9317	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	2	nnzi 9505	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
4		2re 9218	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		9re 9235	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
6		2lt9 9352	. . . 4 ⊢ 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8287	. . 3 ⊢ 2 ≤ 9
8		eluz2 9766	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1205	. 2 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
10		uzid 9775	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		sq3 10904	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
13	12	eqcomi 2234	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
14	13	oveq1i 6033	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15		2lt3 9319	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8280	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
17		3prm 12723	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
18		2prm 12722	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
19		prmrp 12740	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
22		3z 9513	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		2nn0 9424	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		rpexp1i 12749	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1373	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
27	14, 26	eqtri 2251	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
28		logbgcd1irr 15720	. 2 ⊢ ((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1373	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401   ∖ cdif 3196   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  1c1 8038   ≤ cle 8220  2c2 9199  3c3 9200  9c9 9206  ℕ₀cn0 9407  ℤcz 9484  ℤ_≥cuz 9760  ℚcq 9858  ↑cexp 10806   gcd cgcd 12547  ℙcprime 12702   log_b clogb 15696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157  ax-pre-suploc 8158  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-disj 4066  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-irdg 6541  df-frec 6562  df-1o 6587  df-2o 6588  df-oadd 6591  df-er 6707  df-map 6824  df-pm 6825  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-xneg 10012  df-xadd 10013  df-ioo 10132  df-ico 10134  df-icc 10135  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-fac 10994  df-bc 11016  df-ihash 11044  df-shft 11398  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-clim 11862  df-sumdc 11937  df-ef 12232  df-e 12233  df-dvds 12372  df-gcd 12548  df-prm 12703  df-rest 13347  df-topgen 13366  df-psmet 14581  df-xmet 14582  df-met 14583  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-top 14751  df-topon 14764  df-bases 14796  df-ntr 14849  df-cn 14941  df-cnp 14942  df-tx 15006  df-cncf 15324  df-limced 15409  df-dvap 15410  df-relog 15611  df-rpcxp 15612  df-logb 15697

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15729  2irrexpqap  15731