Theorem 2logb9irr 15653

Description: Example for logbgcd1irr 15649. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15659 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9482	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		9nn 9287	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	2	nnzi 9475	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
4		2re 9188	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		9re 9205	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
6		2lt9 9322	. . . 4 ⊢ 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8257	. . 3 ⊢ 2 ≤ 9
8		eluz2 9736	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1203	. 2 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
10		uzid 9744	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		sq3 10866	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
13	12	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
14	13	oveq1i 6017	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15		2lt3 9289	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8250	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
17		3prm 12658	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
18		2prm 12657	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
19		prmrp 12675	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
22		3z 9483	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		2nn0 9394	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		rpexp1i 12684	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1371	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
27	14, 26	eqtri 2250	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
28		logbgcd1irr 15649	. 2 ⊢ ((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1371	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ∖ cdif 3194   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℝcr 8006  1c1 8008   ≤ cle 8190  2c2 9169  3c3 9170  9c9 9176  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ℚcq 9822  ↑cexp 10768   gcd cgcd 12482  ℙcprime 12637   log_b clogb 15625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-pre-suploc 8128  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-ioo 10096  df-ico 10098  df-icc 10099  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-fac 10956  df-bc 10978  df-ihash 11006  df-shft 11334  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ef 12167  df-e 12168  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339  df-relog 15540  df-rpcxp 15541  df-logb 15626

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15658  2irrexpqap  15660