Theorem sqrt2cxp2logb9e3 15297

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are not rational (see sqrt2irr0 12359 resp. 2logb9irr 15293), satisfying the statement in 2irrexpq 15298. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 9752	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpcxpsqrt 15244	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2200	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 5935	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		halfre 9223	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7		2z 9373	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 9634	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		9nn 9178	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
11		nnrp 9757	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
13		relogbzcl 15274	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
15		cxpcom 15260	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
16	1, 6, 14, 15	mp3an 1348	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
17		rpcxpcl 15225	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+)
18	1, 14, 17	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+
19		rpcxpsqrt 15244	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
21	5, 16, 20	3eqtri 2221	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
22		1re 8044	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 9079	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		1lt2 9179	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
25	22, 23, 24	gtapii 8680	. . . 4 ⊢ 2 # 1
26		rpcxplogb 15286	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
27	1, 25, 12, 26	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
28	27	fveq2i 5564	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
29		sqrt9 11232	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
30	21, 28, 29	3eqtri 2221	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℝcr 7897  1c1 7899   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  3c3 9061  9c9 9067  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ℝ⁺crp 9747  √csqrt 11180  ↑_𝑐ccxp 15179   log_b clogb 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-pre-suploc 8019  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-ioo 9986  df-ico 9988  df-icc 9989  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-fac 10837  df-bc 10859  df-ihash 10887  df-shft 10999  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538  df-ef 11832  df-e 11833  df-rest 12945  df-topgen 12964  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-met 14179  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-top 14320  df-topon 14333  df-bases 14365  df-ntr 14418  df-cn 14510  df-cnp 14511  df-tx 14575  df-cncf 14893  df-limced 14978  df-dvap 14979  df-relog 15180  df-rpcxp 15181  df-logb 15266

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15298  2irrexpqap  15300