Theorem sqrt2cxp2logb9e3 14797

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are not rational (see sqrt2irr0 12184 resp. 2logb9irr 14793), satisfying the statement in 2irrexpq 14798. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 9678	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpcxpsqrt 14746	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2193	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 5902	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		halfre 9152	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7		2z 9301	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 9562	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		9nn 9107	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
11		nnrp 9683	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
13		relogbzcl 14774	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
15		cxpcom 14761	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
16	1, 6, 14, 15	mp3an 1348	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
17		rpcxpcl 14728	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+)
18	1, 14, 17	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+
19		rpcxpsqrt 14746	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
21	5, 16, 20	3eqtri 2214	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
22		1re 7976	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 9009	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		1lt2 9108	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
25	22, 23, 24	gtapii 8611	. . . 4 ⊢ 2 # 1
26		rpcxplogb 14786	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
27	1, 25, 12, 26	mp3an 1348	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
28	27	fveq2i 5534	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
29		sqrt9 11077	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
30	21, 28, 29	3eqtri 2214	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  ℝcr 7830  1c1 7832   # cap 8558   / cdiv 8649  ℕcn 8939  2c2 8990  3c3 8991  9c9 8997  ℤcz 9273  ℤ_≥cuz 9548  ℝ⁺crp 9673  √csqrt 11025  ↑_𝑐ccxp 14682   log_b clogb 14765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951  ax-pre-suploc 7952  ax-addf 7953  ax-mulf 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-of 6102  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-irdg 6390  df-frec 6411  df-1o 6436  df-oadd 6440  df-er 6554  df-map 6669  df-pm 6670  df-en 6760  df-dom 6761  df-fin 6762  df-sup 7003  df-inf 7004  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-7 9003  df-8 9004  df-9 9005  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-xneg 9792  df-xadd 9793  df-ioo 9912  df-ico 9914  df-icc 9915  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-fac 10726  df-bc 10748  df-ihash 10776  df-shft 10844  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-clim 11307  df-sumdc 11382  df-ef 11676  df-e 11677  df-rest 12719  df-topgen 12738  df-psmet 13824  df-xmet 13825  df-met 13826  df-bl 13827  df-mopn 13828  df-top 13902  df-topon 13915  df-bases 13947  df-ntr 14000  df-cn 14092  df-cnp 14093  df-tx 14157  df-cncf 14462  df-limced 14529  df-dvap 14530  df-relog 14683  df-rpcxp 14684  df-logb 14766

This theorem is referenced by:  2irrexpq  14798  2irrexpqap  14800