Theorem sqrt2cxp2logb9e3 15766

Description: The square root of two to the power of the logarithm of nine to base two is three. (√‘2) and (2 log_b 9) are not rational (see sqrt2irr0 12797 resp. 2logb9irr 15762), satisfying the statement in 2irrexpq 15767. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt2cxp2logb9e3	⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Proof of Theorem sqrt2cxp2logb9e3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 9936	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		rpcxpsqrt 15713	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑐(1 / 2)) = (√‘2)
4	3	eqcomi 2235	. . . 4 ⊢ (√‘2) = (2↑𝑐(1 / 2))
5	4	oveq1i 6038	. . 3 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9))
6		halfre 9400	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
7		2z 9550	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		uzid 9813	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
10		9nn 9355	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
11		nnrp 9941	. . . . . 6 ⊢ (9 ∈ ℕ → 9 ∈ ℝ+)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ+
13		relogbzcl 15743	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2 logb 9) ∈ ℝ)
14	9, 12, 13	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2 logb 9) ∈ ℝ
15		cxpcom 15729	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)))
16	1, 6, 14, 15	mp3an 1374	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(1 / 2))↑𝑐(2 logb 9)) = ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2))
17		rpcxpcl 15694	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 logb 9) ∈ ℝ) → (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+)
18	1, 14, 17	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+
19		rpcxpsqrt 15713	. . . 4 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9)) ∈ ℝ+ → ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))))
20	18, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((2↑𝑐(2 logb 9))↑𝑐(1 / 2)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
21	5, 16, 20	3eqtri 2256	. 2 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = (√‘(2↑𝑐(2 logb 9)))
22		1re 8221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		2re 9256	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		1lt2 9356	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
25	22, 23, 24	gtapii 8857	. . . 4 ⊢ 2 # 1
26		rpcxplogb 15755	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 2 # 1 ∧ 9 ∈ ℝ+) → (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9)
27	1, 25, 12, 26	mp3an 1374	. . 3 ⊢ (2↑𝑐(2 logb 9)) = 9
28	27	fveq2i 5651	. 2 ⊢ (√‘(2↑𝑐(2 logb 9))) = (√‘9)
29		sqrt9 11669	. 2 ⊢ (√‘9) = 3
30	21, 28, 29	3eqtri 2256	1 ⊢ ((√‘2)↑𝑐(2 logb 9)) = 3

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  ℝcr 8074  1c1 8076   # cap 8804   / cdiv 8895  ℕcn 9186  2c2 9237  3c3 9238  9c9 9244  ℤcz 9522  ℤ_≥cuz 9798  ℝ⁺crp 9931  √csqrt 11617  ↑_𝑐ccxp 15648   log_b clogb 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-xneg 10050  df-xadd 10051  df-ioo 10170  df-ico 10172  df-icc 10173  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-fac 11032  df-bc 11054  df-ihash 11082  df-shft 11436  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-sumdc 11975  df-ef 12270  df-e 12271  df-rest 13385  df-topgen 13404  df-psmet 14619  df-xmet 14620  df-met 14621  df-bl 14622  df-mopn 14623  df-top 14789  df-topon 14802  df-bases 14834  df-ntr 14887  df-cn 14979  df-cnp 14980  df-tx 15044  df-cncf 15362  df-limced 15447  df-dvap 15448  df-relog 15649  df-rpcxp 15650  df-logb 15735

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15767  2irrexpqap  15769