ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dvdsdec GIF version

Theorem 3dvdsdec 10958
Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g. 𝐴 = 𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdec (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 8849 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 9p1e10 8848 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
32eqcomi 2092 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
43oveq1i 5644 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5 9cn 8481 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6 ax-1cn 7417 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 8655 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
95, 6, 8adddiri 7478 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
108mulid2i 7470 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
1110oveq2i 5645 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
124, 9, 113eqtri 2112 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1312oveq1i 5644 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
145, 8mulcli 7472 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0cni 8655 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1714, 8, 16addassi 7475 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
181, 13, 173eqtri 2112 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1918breq2i 3845 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 3z 8749 . . 3 3 ∈ ℤ
217nn0zi 8742 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2215nn0zi 8742 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
23 zaddcl 8760 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2421, 22, 23mp2an 417 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25 9nn 8554 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2625nnzi 8741 . . . . 5 9 ∈ ℤ
27 zmulcl 8773 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2826, 21, 27mp2an 417 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29 zmulcl 8773 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
3020, 21, 29mp2an 417 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31 dvdsmul1 10911 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3220, 30, 31mp2an 417 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33 3t3e9 8543 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2092 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 5644 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36 3cn 8468 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3736, 36, 8mulassi 7476 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3835, 37eqtri 2108 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3932, 38breqtrri 3862 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
4028, 39pm3.2i 266 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41 dvdsadd2b 10936 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4220, 24, 40, 41mp3an 1273 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4319, 42bitr4i 185 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  0cc0 7329  1c1 7330   + caddc 7332   · cmul 7334  3c3 8445  9c9 8451  0cn0 8643  cz 8720  cdc 8846  cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-5 8455  df-6 8456  df-7 8457  df-8 8458  df-9 8459  df-n0 8644  df-z 8721  df-dec 8847  df-dvds 10890
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator