Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3dvdsdec GIF version

Theorem 3dvdsdec 11632
 Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g. 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3dvdsdec.a 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b 𝐵 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
3dvdsdec (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec
StepHypRef Expression
1 dfdec10 9236 . . . 4 𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
2 9p1e10 9235 . . . . . . . 8 (9 + 1) = 10
32eqcomi 2144 . . . . . . 7 10 = (9 + 1)
43oveq1i 5795 . . . . . 6 (10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5 9cn 8859 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6 ax-1cn 7764 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
7 3dvdsdec.a . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 9040 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
95, 6, 8adddiri 7828 . . . . . 6 ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
108mulid2i 7820 . . . . . . 7 (1 · 𝐴) = 𝐴
1110oveq2i 5796 . . . . . 6 ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
124, 9, 113eqtri 2165 . . . . 5 (10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
1312oveq1i 5795 . . . 4 ((10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
145, 8mulcli 7822 . . . . 5 (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15 3dvdsdec.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
1615nn0cni 9040 . . . . 5 𝐵 ∈ ℂ
1714, 8, 16addassi 7825 . . . 4 (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
181, 13, 173eqtri 2165 . . 3 𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
1918breq2i 3946 . 2 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20 3z 9134 . . 3 3 ∈ ℤ
217nn0zi 9127 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
2215nn0zi 9127 . . . 4 𝐵 ∈ ℤ
23 zaddcl 9145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
2421, 22, 23mp2an 423 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25 9nn 8939 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
2625nnzi 9126 . . . . 5 9 ∈ ℤ
27 zmulcl 9158 . . . . 5 ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
2826, 21, 27mp2an 423 . . . 4 (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29 zmulcl 9158 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
3020, 21, 29mp2an 423 . . . . . 6 (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31 dvdsmul1 11585 . . . . . 6 ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
3220, 30, 31mp2an 423 . . . . 5 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33 3t3e9 8928 . . . . . . . 8 (3 · 3) = 9
3433eqcomi 2144 . . . . . . 7 9 = (3 · 3)
3534oveq1i 5795 . . . . . 6 (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36 3cn 8846 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
3736, 36, 8mulassi 7826 . . . . . 6 ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3835, 37eqtri 2161 . . . . 5 (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
3932, 38breqtrri 3964 . . . 4 3 ∥ (9 · 𝐴)
4028, 39pm3.2i 270 . . 3 ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41 dvdsadd2b 11610 . . 3 ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
4220, 24, 40, 41mp3an 1316 . 2 (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
4319, 42bitr4i 186 1 (3 ∥ 𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5785  0cc0 7671  1c1 7672   + caddc 7674   · cmul 7676  3c3 8823  9c9 8829  ℕ0cn0 9028  ℤcz 9105  ;cdc 9233   ∥ cdvds 11563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-mulrcl 7770  ax-addcom 7771  ax-mulcom 7772  ax-addass 7773  ax-mulass 7774  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-1rid 7778  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-ltadd 7787 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-inn 8772  df-2 8830  df-3 8831  df-4 8832  df-5 8833  df-6 8834  df-7 8835  df-8 8836  df-9 8837  df-n0 9029  df-z 9106  df-dec 9234  df-dvds 11564 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator