Theorem 3dvdsdec 11403

Description: A decimal number is divisible by three iff the sum of its two "digits" is divisible by three. The term "digits" in its narrow sense is only correct if 𝐴 and 𝐵 actually are digits (i.e. nonnegative integers less than 10). However, this theorem holds for arbitrary nonnegative integers 𝐴 and 𝐵, especially if 𝐴 is itself a decimal number, e.g. 𝐴 = ;𝐶𝐷. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3dvdsdec.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3dvdsdec.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
3dvdsdec	⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem 3dvdsdec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdec10 9082	. . . 4 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
2		9p1e10 9081	. . . . . . . 8 ⊢ (9 + 1) = ;10
3	2	eqcomi 2117	. . . . . . 7 ⊢ ;10 = (9 + 1)
4	3	oveq1i 5736	. . . . . 6 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 + 1) · 𝐴)
5		9cn 8711	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℂ
6		ax-1cn 7631	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
7		3dvdsdec.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 8886	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9	5, 6, 8	adddiri 7694	. . . . . 6 ⊢ ((9 + 1) · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴))
10	8	mulid2i 7686	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
11	10	oveq2i 5737	. . . . . 6 ⊢ ((9 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
12	4, 9, 11	3eqtri 2137	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) = ((9 · 𝐴) + 𝐴)
13	12	oveq1i 5736	. . . 4 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) = (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵)
14	5, 8	mulcli 7688	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℂ
15		3dvdsdec.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
16	15	nn0cni 8886	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
17	14, 8, 16	addassi 7691	. . . 4 ⊢ (((9 · 𝐴) + 𝐴) + 𝐵) = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
18	1, 13, 17	3eqtri 2137	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))
19	18	breq2i 3901	. 2 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
20		3z 8980	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℤ
21	7	nn0zi 8973	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
22	15	nn0zi 8973	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℤ
23		zaddcl 8991	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
24	21, 22, 23	mp2an 420	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ
25		9nn 8785	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
26	25	nnzi 8972	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℤ
27		zmulcl 9004	. . . . 5 ⊢ ((9 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (9 · 𝐴) ∈ ℤ)
28	26, 21, 27	mp2an 420	. . . 4 ⊢ (9 · 𝐴) ∈ ℤ
29		zmulcl 9004	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (3 · 𝐴) ∈ ℤ)
30	20, 21, 29	mp2an 420	. . . . . 6 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℤ
31		dvdsmul1 11356	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (3 · 𝐴) ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴)))
32	20, 30, 31	mp2an 420	. . . . 5 ⊢ 3 ∥ (3 · (3 · 𝐴))
33		3t3e9 8774	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 3) = 9
34	33	eqcomi 2117	. . . . . . 7 ⊢ 9 = (3 · 3)
35	34	oveq1i 5736	. . . . . 6 ⊢ (9 · 𝐴) = ((3 · 3) · 𝐴)
36		3cn 8698	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
37	36, 36, 8	mulassi 7692	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
38	35, 37	eqtri 2133	. . . . 5 ⊢ (9 · 𝐴) = (3 · (3 · 𝐴))
39	32, 38	breqtrri 3918	. . . 4 ⊢ 3 ∥ (9 · 𝐴)
40	28, 39	pm3.2i 268	. . 3 ⊢ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))
41		dvdsadd2b 11381	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ ((9 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ 3 ∥ (9 · 𝐴))) → (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵))))
42	20, 24, 40, 41	mp3an 1296	. 2 ⊢ (3 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ 3 ∥ ((9 · 𝐴) + (𝐴 + 𝐵)))
43	19, 42	bitr4i 186	1 ⊢ (3 ∥ ;𝐴𝐵 ↔ 3 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  0cc0 7540  1c1 7541   + caddc 7543   · cmul 7545  3c3 8675  9c9 8681  ℕ₀cn0 8874  ℤcz 8951  ;cdc 9079   ∥ cdvds 11334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-ltadd 7654

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-inn 8624  df-2 8682  df-3 8683  df-4 8684  df-5 8685  df-6 8686  df-7 8687  df-8 8688  df-9 8689  df-n0 8875  df-z 8952  df-dec 9080  df-dvds 11335

This theorem is referenced by: (None)