Theorem 2logb9irrap 15842

Description: Example for logbgcd1irrap 15835. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10998	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq1i 6060	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
4		2re 9307	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		2lt3 9408	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8369	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
7		3prm 12825	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		2prm 12824	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		prmrp 12842	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
12		3z 9606	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2z 9605	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		2nn0 9513	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		rpexp1i 12851	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1374	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
18	3, 17	eqtri 2253	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
19		9nn 9406	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
20	19	nnzi 9598	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℤ
21		9re 9324	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
22		2lt9 9441	. . . . 5 ⊢ 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8376	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 9
24		eluz2 9859	. . . 4 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1206	. . 3 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
26		uzid 9868	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
28		logbgcd1irrap 15835	. . 3 ⊢ (((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (2 logb 9) # 𝑄)
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 ⊢ (((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (2 logb 9) # 𝑄)
30	18, 29	mpan 424	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   ≤ cle 8309   # cap 8855  2c2 9288  3c3 9289  9c9 9295  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ℚcq 9951  ↑cexp 10900   gcd cgcd 12649  ℙcprime 12804   log_b clogb 15808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-ico 10227  df-icc 10228  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-e 12335  df-dvds 12474  df-gcd 12650  df-prm 12805  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522  df-relog 15723  df-rpcxp 15724  df-logb 15809

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15843