Theorem 2logb9irrap 15672

Description: Example for logbgcd1irrap 15665. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10875	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2233	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq1i 6020	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
4		2re 9196	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		2lt3 9297	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8258	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
7		3prm 12671	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		2prm 12670	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		prmrp 12688	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
12		3z 9491	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2z 9490	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		2nn0 9402	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		rpexp1i 12697	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1371	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
18	3, 17	eqtri 2250	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
19		9nn 9295	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
20	19	nnzi 9483	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℤ
21		9re 9213	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
22		2lt9 9330	. . . . 5 ⊢ 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8265	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 9
24		eluz2 9744	. . . 4 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1203	. . 3 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
26		uzid 9753	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
28		logbgcd1irrap 15665	. . 3 ⊢ (((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (2 logb 9) # 𝑄)
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 ⊢ (((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (2 logb 9) # 𝑄)
30	18, 29	mpan 424	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   class class class wbr 4083  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  1c1 8016   ≤ cle 8198   # cap 8744  2c2 9177  3c3 9178  9c9 9184  ℕ₀cn0 9385  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ℚcq 9831  ↑cexp 10777   gcd cgcd 12495  ℙcprime 12650   log_b clogb 15638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-pre-suploc 8136  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-map 6810  df-pm 6811  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-ioo 10105  df-ico 10107  df-icc 10108  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-shft 11347  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-e 12181  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948  df-cncf 15266  df-limced 15351  df-dvap 15352  df-relog 15553  df-rpcxp 15554  df-logb 15639

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15673