Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2logb9irrap GIF version

Theorem 2logb9irrap 13103
 Description: Example for logbgcd1irrap 13096. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)
Assertion
Ref Expression
2logb9irrap (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Proof of Theorem 2logb9irrap
StepHypRef Expression
1 sq3 10421 . . . . 5 (3↑2) = 9
21eqcomi 2144 . . . 4 9 = (3↑2)
32oveq1i 5792 . . 3 (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
4 2re 8815 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
5 2lt3 8915 . . . . . 6 2 < 3
64, 5gtneii 7884 . . . . 5 3 ≠ 2
7 3prm 11846 . . . . . 6 3 ∈ ℙ
8 2prm 11845 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
9 prmrp 11860 . . . . . 6 ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
107, 8, 9mp2an 423 . . . . 5 ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
116, 10mpbir 145 . . . 4 (3 gcd 2) = 1
12 3z 9108 . . . . 5 3 ∈ ℤ
13 2z 9107 . . . . 5 2 ∈ ℤ
14 2nn0 9019 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
15 rpexp1i 11869 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
1612, 13, 14, 15mp3an 1316 . . . 4 ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
1711, 16ax-mp 5 . . 3 ((3↑2) gcd 2) = 1
183, 17eqtri 2161 . 2 (9 gcd 2) = 1
19 9nn 8913 . . . . 5 9 ∈ ℕ
2019nnzi 9100 . . . 4 9 ∈ ℤ
21 9re 8832 . . . . 5 9 ∈ ℝ
22 2lt9 8948 . . . . 5 2 < 9
234, 21, 22ltleii 7891 . . . 4 2 ≤ 9
24 eluz2 9357 . . . 4 (9 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
2513, 20, 23, 24mpbir3an 1164 . . 3 9 ∈ (ℤ‘2)
26 uzid 9365 . . . 4 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2713, 26ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (ℤ‘2)
28 logbgcd1irrap 13096 . . 3 (((9 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (2 logb 9) # 𝑄)
2925, 27, 28mpanl12 433 . 2 (((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (2 logb 9) # 𝑄)
3018, 29mpan 421 1 (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  1c1 7646   ≤ cle 7826   # cap 8368  2c2 8796  3c3 8797  9c9 8803  ℕ0cn0 9002  ℤcz 9079  ℤ≥cuz 9351  ℚcq 9439  ↑cexp 10324   gcd cgcd 11672  ℙcprime 11825   logb clogb 13069 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7736  ax-resscn 7737  ax-1cn 7738  ax-1re 7739  ax-icn 7740  ax-addcl 7741  ax-addrcl 7742  ax-mulcl 7743  ax-mulrcl 7744  ax-addcom 7745  ax-mulcom 7746  ax-addass 7747  ax-mulass 7748  ax-distr 7749  ax-i2m1 7750  ax-0lt1 7751  ax-1rid 7752  ax-0id 7753  ax-rnegex 7754  ax-precex 7755  ax-cnre 7756  ax-pre-ltirr 7757  ax-pre-ltwlin 7758  ax-pre-lttrn 7759  ax-pre-apti 7760  ax-pre-ltadd 7761  ax-pre-mulgt0 7762  ax-pre-mulext 7763  ax-arch 7764  ax-caucvg 7765  ax-pre-suploc 7766  ax-addf 7767  ax-mulf 7768 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-2o 6322  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7827  df-mnf 7828  df-xr 7829  df-ltxr 7830  df-le 7831  df-sub 7960  df-neg 7961  df-reap 8362  df-ap 8369  df-div 8458  df-inn 8746  df-2 8804  df-3 8805  df-4 8806  df-5 8807  df-6 8808  df-7 8809  df-8 8810  df-9 8811  df-n0 9003  df-z 9080  df-uz 9352  df-q 9440  df-rp 9472  df-xneg 9590  df-xadd 9591  df-ioo 9706  df-ico 9708  df-icc 9709  df-fz 9823  df-fzo 9952  df-fl 10075  df-mod 10128  df-seqfrec 10251  df-exp 10325  df-fac 10505  df-bc 10527  df-ihash 10555  df-shft 10620  df-cj 10647  df-re 10648  df-im 10649  df-rsqrt 10803  df-abs 10804  df-clim 11081  df-sumdc 11156  df-ef 11392  df-e 11393  df-dvds 11531  df-gcd 11673  df-prm 11826  df-rest 12162  df-topgen 12181  df-psmet 12196  df-xmet 12197  df-met 12198  df-bl 12199  df-mopn 12200  df-top 12205  df-topon 12218  df-bases 12250  df-ntr 12305  df-cn 12397  df-cnp 12398  df-tx 12462  df-cncf 12767  df-limced 12834  df-dvap 12835  df-relog 12988  df-rpcxp 12989  df-logb 13070 This theorem is referenced by:  2irrexpqap  13104
 Copyright terms: Public domain W3C validator