Theorem 2logb9irrap 15297

Description: Example for logbgcd1irrap 15290. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10745	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
2	1	eqcomi 2200	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
3	2	oveq1i 5935	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
4		2re 9077	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		2lt3 9178	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8139	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
7		3prm 12321	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
8		2prm 12320	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
9		prmrp 12338	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
12		3z 9372	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
13		2z 9371	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		2nn0 9283	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
15		rpexp1i 12347	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1348	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
18	3, 17	eqtri 2217	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
19		9nn 9176	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
20	19	nnzi 9364	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℤ
21		9re 9094	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℝ
22		2lt9 9211	. . . . 5 ⊢ 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8146	. . . 4 ⊢ 2 ≤ 9
24		eluz2 9624	. . . 4 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1181	. . 3 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
26		uzid 9632	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
28		logbgcd1irrap 15290	. . 3 ⊢ (((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ)) → (2 logb 9) # 𝑄)
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 ⊢ (((9 gcd 2) = 1 ∧ 𝑄 ∈ ℚ) → (2 logb 9) # 𝑄)
30	18, 29	mpan 424	1 ⊢ (𝑄 ∈ ℚ → (2 logb 9) # 𝑄)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1c1 7897   ≤ cle 8079   # cap 8625  2c2 9058  3c3 9059  9c9 9065  ℕ₀cn0 9266  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ℚcq 9710  ↑cexp 10647   gcd cgcd 12145  ℙcprime 12300   log_b clogb 15263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016  ax-pre-suploc 8017  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-ioo 9984  df-ico 9986  df-icc 9987  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-fac 10835  df-bc 10857  df-ihash 10885  df-shft 10997  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-sumdc 11536  df-ef 11830  df-e 11831  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-ntr 14416  df-cn 14508  df-cnp 14509  df-tx 14573  df-cncf 14891  df-limced 14976  df-dvap 14977  df-relog 15178  df-rpcxp 15179  df-logb 15264

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15298