ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  topgrpstrd GIF version

Theorem topgrpstrd 12679
Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
topgrpfn.w π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p (πœ‘ β†’ + ∈ π‘Š)
topgrpfnd.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
Assertion
Ref Expression
topgrpstrd (πœ‘ β†’ π‘Š Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem topgrpstrd
StepHypRef Expression
1 topgrpfn.w . 2 π‘Š = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), 𝐽⟩}
2 topgrpfnd.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
3 topgrpfnd.p . . 3 (πœ‘ β†’ + ∈ π‘Š)
4 topgrpfnd.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝑋)
5 1nn 8949 . . . 4 1 ∈ β„•
6 basendx 12541 . . . 4 (Baseβ€˜ndx) = 1
7 1lt2 9107 . . . 4 1 < 2
8 2nn 9099 . . . 4 2 ∈ β„•
9 plusgndx 12593 . . . 4 (+gβ€˜ndx) = 2
10 2lt9 9141 . . . 4 2 < 9
11 9nn 9106 . . . 4 9 ∈ β„•
12 tsetndx 12669 . . . 4 (TopSetβ€˜ndx) = 9
135, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12strle3g 12592 . . 3 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ π‘Š ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
142, 3, 4, 13syl3anc 1249 . 2 (πœ‘ β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
151, 14eqbrtrid 4053 1 (πœ‘ β†’ π‘Š Struct ⟨1, 9⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {ctp 3609  βŸ¨cop 3610   class class class wbr 4018  β€˜cfv 5231  1c1 7831  2c2 8989  9c9 8996   Struct cstr 12482  ndxcnx 12483  Basecbs 12486  +gcplusg 12561  TopSetcts 12567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-5 9000  df-6 9001  df-7 9002  df-8 9003  df-9 9004  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-fz 10028  df-struct 12488  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-plusg 12574  df-tset 12580
This theorem is referenced by:  topgrpbasd  12680  topgrpplusgd  12681  topgrptsetd  12682
  Copyright terms: Public domain W3C validator