Theorem topgrpstrd 13113

Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem topgrpstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
5		1nn 9077	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 12972	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9236	. . . 4 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9228	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 13026	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt9 9270	. . . 4 ⊢ 2 < 9
11		9nn 9235	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		tsetndx 13103	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13025	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1250	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
15	1, 14	eqbrtrid 4089	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {ctp 3640  ⟨cop 3641   class class class wbr 4054  ‘cfv 5285  1c1 7956  2c2 9117  9c9 9124   Struct cstr 12913  ndxcnx 12914  Basecbs 12917  +_gcplusg 12994  TopSetcts 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-struct 12919  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-tset 13013

This theorem is referenced by:  topgrpbasd  13114  topgrpplusgd  13115  topgrptsetd  13116