Theorem topgrpstrd 11947

Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem topgrpstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
5		1nn 8635	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 11850	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 8787	. . . 4 ⊢ 1 < 2
8		2nn 8779	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 11889	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt9 8821	. . . 4 ⊢ 2 < 9
11		9nn 8786	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		tsetndx 11944	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 11888	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1197	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
15	1, 14	eqbrtrid 3926	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {ctp 3493  ⟨cop 3494   class class class wbr 3893  ‘cfv 5079  1c1 7542  2c2 8675  9c9 8682   Struct cstr 11792  ndxcnx 11793  Basecbs 11796  +_gcplusg 11858  TopSetcts 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-tp 3499  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-4 8685  df-5 8686  df-6 8687  df-7 8688  df-8 8689  df-9 8690  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-struct 11798  df-ndx 11799  df-slot 11800  df-base 11802  df-plusg 11871  df-tset 11877

This theorem is referenced by:  topgrpbasd  11948  topgrpplusgd  11949  topgrptsetd  11950