Theorem topgrpstrd 13244

Description: A constructed topological group is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
topgrpfn.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
topgrpfnd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
topgrpfnd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
topgrpfnd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
topgrpstrd	⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem topgrpstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topgrpfn.w	. 2 ⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
2		topgrpfnd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		topgrpfnd.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		topgrpfnd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑋)
5		1nn 9132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		basendx 13102	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) = 1
7		1lt2 9291	. . . 4 ⊢ 1 < 2
8		2nn 9283	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
9		plusgndx 13157	. . . 4 ⊢ (+g‘ndx) = 2
10		2lt9 9325	. . . 4 ⊢ 2 < 9
11		9nn 9290	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
12		tsetndx 13234	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	strle3g 13156	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ 𝐽 ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
14	2, 3, 4, 13	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨1, 9⟩)
15	1, 14	eqbrtrid 4118	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {ctp 3668  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  1c1 8011  2c2 9172  9c9 9179   Struct cstr 13043  ndxcnx 13044  Basecbs 13047  +_gcplusg 13125  TopSetcts 13131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-struct 13049  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-plusg 13138  df-tset 13144

This theorem is referenced by:  topgrpbasd  13245  topgrpplusgd  13246  topgrptsetd  13247