Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsmsbasg GIF version

Theorem setsmsbasg 12707
 Description: The base set of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
setsms.x (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d (𝜑𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m (𝜑𝑀𝑉)
setsmsbasg.d (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
Assertion
Ref Expression
setsmsbasg (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsbasg
StepHypRef Expression
1 setsmsbasg.m . . 3 (𝜑𝑀𝑉)
2 setsmsbasg.d . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3 baseslid 12074 . . . 4 (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
4 1re 7809 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 1lt9 8968 . . . . . 6 1 < 9
64, 5ltneii 7904 . . . . 5 1 ≠ 9
7 basendx 12072 . . . . . 6 (Base‘ndx) = 1
8 tsetndx 12166 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
97, 8neeq12i 2326 . . . . 5 ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 1 ≠ 9)
106, 9mpbir 145 . . . 4 (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
11 9nn 8932 . . . . 5 9 ∈ ℕ
128, 11eqeltri 2213 . . . 4 (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
133, 10, 12setsslnid 12069 . . 3 ((𝑀𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
141, 2, 13syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
15 setsms.x . 2 (𝜑𝑋 = (Base‘𝑀))
16 setsms.k . . 3 (𝜑𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
1716fveq2d 5434 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
1814, 15, 173eqtr4d 2183 1 (𝜑𝑋 = (Base‘𝐾))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309  ⟨cop 3536   × cxp 4546   ↾ cres 4550  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  1c1 7665  ℕcn 8764  9c9 8822  ndxcnx 12015   sSet csts 12016  Basecbs 12018  TopSetcts 12086  distcds 12089  MetOpencmopn 12213 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-addcom 7764  ax-addass 7766  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-ltadd 7780 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-ltxr 7849  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-5 8826  df-6 8827  df-7 8828  df-8 8829  df-9 8830  df-ndx 12021  df-slot 12022  df-base 12024  df-sets 12025  df-tset 12099 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator