Theorem setsmsbasg 15717

Description: The base set of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsbasg	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		baseslid 13469	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
4		1re 8332	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt9 9521	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
6	4, 5	ltneii 8430	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 9
7		basendx 13466	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) = 1
8		tsetndx 13600	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
9	7, 8	neeq12i 2437	. . . . 5 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 1 ≠ 9)
10	6, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
11		9nn 9485	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
12	8, 11	eqeltri 2311	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
13	3, 10, 12	setsslnid 13463	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
14	1, 2, 13	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
15		setsms.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
16		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
17	16	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	14, 15, 17	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ⟨cop 3712   × cxp 4774   ↾ cres 4778  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1c1 8187  ℕcn 9314  9c9 9372  ndxcnx 13408   sSet csts 13409  Basecbs 13411  TopSetcts 13497  distcds 13500  MetOpencmopn 14988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-ltxr 8372  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-tset 13510

This theorem is used by: (None)