Theorem setsmsbasg 15232

Description: The base set of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsmsbasg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
setsmsbasg.d	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
setsmsbasg	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))

Proof of Theorem setsmsbasg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
2		setsmsbasg.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊)
3		baseslid 13163	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
4		1re 8183	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		1lt9 9353	. . . . . 6 ⊢ 1 < 9
6	4, 5	ltneii 8281	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 9
7		basendx 13160	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) = 1
8		tsetndx 13292	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
9	7, 8	neeq12i 2418	. . . . 5 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 1 ≠ 9)
10	6, 9	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
11		9nn 9317	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ
12	8, 11	eqeltri 2303	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ
13	3, 10, 12	setsslnid 13157	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (MetOpen‘𝐷) ∈ 𝑊) → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
14	1, 2, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑀) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
15		setsms.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
16		setsms.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
17	16	fveq2d 5646	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩)))
18	14, 15, 17	3eqtr4d 2273	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ⟨cop 3673   × cxp 4725   ↾ cres 4729  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  1c1 8038  ℕcn 9148  9c9 9206  ndxcnx 13102   sSet csts 13103  Basecbs 13105  TopSetcts 13189  distcds 13192  MetOpencmopn 14579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-tset 13202

This theorem is referenced by: (None)