Theorem ltoddhalfle 12686

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12666	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
2		halfre 9530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4		1red 8348	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
5		zre 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
8		halflt1 9534	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) < 1
9		axltadd 8402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((1 / 2) < 1 → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)))
10	7, 8, 9	mpisyl 1496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1))
11		zre 9660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	5, 3	readdcld 8362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
15		peano2z 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℤ)
16	15	zred 9780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
18		lttr 8406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℝ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ∧ (𝑛 + (1 / 2)) < (𝑛 + 1)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
20	10, 19	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 < (𝑛 + 1)))
21		zleltp1 9712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 ↔ 𝑀 < (𝑛 + 1)))
23	20, 22	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) → 𝑀 ≤ 𝑛))
24		halfgt0 9532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (1 / 2)
25	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ))
27		ltaddpos 8788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 < (1 / 2) ↔ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))))
29	24, 28	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2)))
30	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
31		lelttr 8421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑛 ∧ 𝑛 < (𝑛 + (1 / 2))) → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
33	29, 32	mpan2d 432	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
34	23, 33	impbid 129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑛 + (1 / 2)) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
35		zcn 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
36		1cnd 8349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
37		2cn 9385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
38		2ap0 9407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 # 0
39	37, 38	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
41		muldivdirap 9046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑛 + (1 / 2)))
43	42	breq2d 4143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑛 + (1 / 2))))
45		2z 9684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
47		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
48	46, 47	zmulcld 9786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
49	48	zcnd 9781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
51		pncan1 8712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
53	52	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
54		2cnd 9387	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
55	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 2 # 0)
56	35, 54, 55	divcanap3d 9134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
58	53, 57	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
59	58	breq2d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ 𝑛))
60	34, 44, 59	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)))
61		oveq1 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) / 2) = (𝑁 / 2))
62	61	breq2d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 < (𝑁 / 2)))
63		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
64	63	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
65	64	breq2d 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
66	62, 65	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑀 < (((2 · 𝑛) + 1) / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2)) ↔ (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
67	60, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))))
68	67	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
69	68	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
70	69	com23 78	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
71	70	rexlimdva 2668	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
72	1, 71	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))))
73	72	3imp 1224	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < (𝑁 / 2) ↔ 𝑀 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187   + caddc 8189   · cmul 8191   < clt 8367   ≤ cle 8368   − cmin 8505   # cap 8918   / cdiv 9011  2c2 9365  ℤcz 9656   ∥ cdvds 12580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-n0 9576  df-z 9657  df-dvds 12581

This theorem is used by:  gausslemma2dlem1a  16394