ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle GIF version

Theorem ltoddhalfle 11897
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11877 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 halfre 9131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„
32a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4 1red 7971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5 zre 9256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
63, 4, 53jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
76adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
8 halflt1 9135 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 8026 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / 2) < 1 โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)))
107, 8, 9mpisyl 1446 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1))
11 zre 9256 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
135, 3readdcld 7986 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
1413adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
15 peano2z 9288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
1615zred 9374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
18 lttr 8030 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2010, 19mpan2d 428 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
21 zleltp1 9307 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2221ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2320, 22sylibrd 169 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
24 halfgt0 9133 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
2625adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
27 ltaddpos 8408 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 148 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2)))
305adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
31 lelttr 8045 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 428 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3423, 33impbid 129 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
35 zcn 9257 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 7972 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 2cn 8989 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
38 2ap0 9011 . . . . . . . . . . . . . 14 2 # 0
3937, 38pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0))
41 muldivdirap 8663 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4235, 36, 40, 41syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4342breq2d 4015 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
4443adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
45 2z 9280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„ค
4645a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
47 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4846, 47zmulcld 9380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4948zcnd 9375 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
51 pncan1 8333 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5352oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
54 2cnd 8991 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5538a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
5635, 54, 55divcanap3d 8751 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5756adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5853, 57eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5958breq2d 4015 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
6034, 44, 593bitr4d 220 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)))
61 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
6261breq2d 4015 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘ / 2)))
63 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
6564breq2d 4015 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
6662, 65bibi12d 235 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6760, 66syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6867ex 115 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6968adantl 277 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7069com23 78 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7170rexlimdva 2594 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
721, 71sylbid 150 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
73723imp 1193 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„‚cc 7808  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992   โˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  2c2 8969  โ„คcz 9252   โˆฅ cdvds 11793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-n0 9176  df-z 9253  df-dvds 11794
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator