ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltoddhalfle GIF version

Theorem ltoddhalfle 11898
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 11878 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘))
2 halfre 9132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 / 2) โˆˆ โ„
32a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
4 1red 7972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„)
5 zre 9257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
63, 4, 53jca 1177 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
76adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
8 halflt1 9136 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
9 axltadd 8027 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ ((1 / 2) < 1 โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)))
107, 8, 9mpisyl 1446 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1))
11 zre 9257 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1211adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
135, 3readdcld 7987 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
1413adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
15 peano2z 9289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„ค)
1615zred 9375 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
1716adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„)
18 lttr 8031 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + 1) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
1912, 14, 17, 18syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โˆง (๐‘› + (1 / 2)) < (๐‘› + 1)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2010, 19mpan2d 428 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
21 zleltp1 9308 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2221ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†” ๐‘€ < (๐‘› + 1)))
2320, 22sylibrd 169 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†’ ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
24 halfgt0 9134 . . . . . . . . . . . 12 0 < (1 / 2)
253, 5jca 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
2625adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„))
27 ltaddpos 8409 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 < (1 / 2) โ†” ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))))
2924, 28mpbii 148 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2)))
305adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
31 lelttr 8046 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ โˆง (๐‘› + (1 / 2)) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3212, 30, 14, 31syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โ‰ค ๐‘› โˆง ๐‘› < (๐‘› + (1 / 2))) โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3329, 32mpan2d 428 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ๐‘› โ†’ ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
3423, 33impbid 129 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2)) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
35 zcn 9258 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
36 1cnd 7973 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
37 2cn 8990 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„‚
38 2ap0 9012 . . . . . . . . . . . . . 14 2 # 0
3937, 38pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0))
41 muldivdirap 8664 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 # 0)) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4235, 36, 40, 41syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘› + (1 / 2)))
4342breq2d 4016 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
4443adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘› + (1 / 2))))
45 2z 9281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„ค
4645a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
47 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
4846, 47zmulcld 9381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ค)
4948zcnd 9376 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
5049adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
51 pncan1 8334 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (2 ยท ๐‘›))
5352oveq1d 5890 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((2 ยท ๐‘›) / 2))
54 2cnd 8992 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
5538a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ 2 # 0)
5635, 54, 55divcanap3d 8752 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5756adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 ยท ๐‘›) / 2) = ๐‘›)
5853, 57eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ๐‘›)
5958breq2d 4016 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ๐‘›))
6034, 44, 593bitr4d 220 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)))
61 oveq1 5882 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) = (๐‘ / 2))
6261breq2d 4016 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ < (๐‘ / 2)))
63 oveq1 5882 . . . . . . . . . . 11 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) = (๐‘ โˆ’ 1))
6463oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) = ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))
6564breq2d 4016 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
6662, 65bibi12d 235 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ ((๐‘€ < (((2 ยท ๐‘›) + 1) / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((((2 ยท ๐‘›) + 1) โˆ’ 1) / 2)) โ†” (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6760, 66syl5ibcom 155 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2))))
6867ex 115 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
6968adantl 277 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7069com23 78 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค) โ†’ (((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
7170rexlimdva 2594 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„ค ((2 ยท ๐‘›) + 1) = ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
721, 71sylbid 150 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))))
73723imp 1193 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ < (๐‘ / 2) โ†” ๐‘€ โ‰ค ((๐‘ โˆ’ 1) / 2)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  2c2 8970  โ„คcz 9253   โˆฅ cdvds 11794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-dvds 11795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator