ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltadd2 GIF version

Theorem ltadd2 8048
Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltadd2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltadd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axltadd 7706 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
2 ax-rnegex 7604 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 + 𝑥) = 0)
323ad2ant3 972 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4 simpl3 954 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 simpl1 952 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
64, 5readdcld 7667 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
7 simpl2 953 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
84, 7readdcld 7667 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
9 simprl 501 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 axltadd 7706 . . . . . 6 (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
116, 8, 9, 10syl3anc 1184 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
129recnd 7666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
134recnd 7666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
145recnd 7666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1512, 13, 14addassd 7660 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)))
167recnd 7666 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
1712, 13, 16addassd 7660 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐶 + 𝐵)))
1815, 17breq12d 3888 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) ↔ (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
1911, 18sylibrd 168 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵)))
20 simprr 502 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
21 addcom 7770 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝑥) = (𝑥 + 𝐶))
2221eqeq1d 2108 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 0))
2313, 12, 22syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 0))
2420, 23mpbid 146 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝑥 + 𝐶) = 0)
2524oveq1d 5721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
2614addid2d 7783 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
2725, 26eqtrd 2132 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = 𝐴)
2824oveq1d 5721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
2916addid2d 7783 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
3028, 29eqtrd 2132 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = 𝐵)
3127, 30breq12d 3888 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
3219, 31sylibd 148 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
333, 32rexlimddv 2513 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
341, 33impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wrex 2376   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  cc 7498  cr 7499  0cc0 7500   + caddc 7503   < clt 7672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-iota 5024  df-fv 5067  df-ov 5709  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-ltxr 7677
This theorem is referenced by:  ltadd2i  8049  ltadd2d  8050  ltaddneg  8053  ltadd1  8058  ltaddpos  8081  ltsub2  8088  ltaddsublt  8199  avglt1  8810  flqbi2  9905
  Copyright terms: Public domain W3C validator