Theorem ltadd2 8562

Description: Addition to both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltadd2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltadd2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltadd 8212	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))
2		ax-rnegex 8104	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 + 𝑥) = 0)
3	2	3ad2ant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝐶 + 𝑥) = 0)
4		simpl3 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		simpl1 1024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6	4, 5	readdcld 8172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ)
7		simpl2 1025	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	4, 7	readdcld 8172	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ)
9		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10		axltadd 8212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
11	6, 8, 9, 10	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
12	9	recnd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	4	recnd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐶 ∈ ℂ)
14	5	recnd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
15	12, 13, 14	addassd 8165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)))
16	7	recnd 8171	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	12, 13, 16	addassd 8165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = (𝑥 + (𝐶 + 𝐵)))
18	15, 17	breq12d 4095	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) ↔ (𝑥 + (𝐶 + 𝐴)) < (𝑥 + (𝐶 + 𝐵))))
19	11, 18	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵)))
20		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝐶 + 𝑥) = 0)
21		addcom 8279	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝑥) = (𝑥 + 𝐶))
22	21	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝐶 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 0))
23	13, 12, 22	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝑥) = 0 ↔ (𝑥 + 𝐶) = 0))
24	20, 23	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (𝑥 + 𝐶) = 0)
25	24	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = (0 + 𝐴))
26	14	addlidd 8292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (0 + 𝐴) = 𝐴)
27	25, 26	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) = 𝐴)
28	24	oveq1d 6015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
29	16	addlidd 8292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (0 + 𝐵) = 𝐵)
30	28, 29	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) = 𝐵)
31	27, 30	breq12d 4095	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → (((𝑥 + 𝐶) + 𝐴) < ((𝑥 + 𝐶) + 𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
32	19, 31	sylibd 149	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝑥) = 0)) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
33	3, 32	rexlimddv 2653	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
34	1, 33	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐶 + 𝐴) < (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  ℝcr 7994  0cc0 7995   + caddc 7998   < clt 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182

This theorem is referenced by:  ltadd2i  8563  ltadd2d  8564  ltaddneg  8567  ltadd1  8572  ltaddpos  8595  ltsub2  8602  ltaddsublt  8714  avglt1  9346  flqbi2  10506