Theorem djudom 7384

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djudom

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6986	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		brdomi 6986	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
4	3	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
5		inlresf1 7352	. . . . . . . . 9 ⊢ (inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
6		simplr 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		f1co 5585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
9		inrresf1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
11		f1co 5585	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
13		rnco 5269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓)
14		f1rn 5574	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
16		resabs1 5067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝐵 → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
18	17	rneqd 4986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
19	13, 18	eqtrid 2277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
20		rnco 5269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔)
21		f1rn 5574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:𝐶–1-1→𝐷 → ran 𝑔 ⊆ 𝐷)
22		resabs1 5067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝐷 → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
24	23	rneqd 4986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
25	20, 24	eqtrid 2277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
26	19, 25	ineq12d 3423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)))
27		djuinr 7354	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = ∅)
29	8, 12, 28	casef1 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
30		f1f 5573	. . . . . . 7 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
32		reldom 6980	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
33	32	brrelex1i 4793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐴 ∈ V)
35	32	brrelex1i 4793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
36	35	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐶 ∈ V)
37		djuex 7334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
39		fex 5915	. . . . . 6 ⊢ ((case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
40	31, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
41		f1eq1 5568	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) → (ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
42	41	spcegv 2905	. . . . 5 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V → (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
44	32	brrelex2i 4794	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
45	44	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐵 ∈ V)
46	32	brrelex2i 4794	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
47	46	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
48		djuex 7334	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V)
49		brdomg 6985	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
51	45, 47, 50	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
52	43, 51	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
53	4, 52	exlimddv 1948	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
54	2, 53	exlimddv 1948	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∩ cin 3210   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508   class class class wbr 4109  ran crn 4750   ↾ cres 4751   ∘ ccom 4753  ⟶wf 5348  –1-1→wf1 5349   ≼ cdom 6974   ⊔ cdju 7328  inlcinl 7336  inrcinr 7337  casecdjucase 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-dom 6977  df-dju 7329  df-inl 7338  df-inr 7339  df-case 7375

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7505  exmidfodomrlemrALT  7506  sbthom  16806