Theorem djudom 6978

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djudom

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6643	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		brdomi 6643	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
4	3	ad2antlr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
5		inlresf1 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ (inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
6		simplr 519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		f1co 5340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
8	5, 6, 7	sylancr 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
9		inrresf1 6947	. . . . . . . . 9 ⊢ (inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
11		f1co 5340	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
12	9, 10, 11	sylancr 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
13		rnco 5045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓)
14		f1rn 5329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
16		resabs1 4848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝐵 → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
18	17	rneqd 4768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
19	13, 18	syl5eq 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
20		rnco 5045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔)
21		f1rn 5329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:𝐶–1-1→𝐷 → ran 𝑔 ⊆ 𝐷)
22		resabs1 4848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝐷 → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
24	23	rneqd 4768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
25	20, 24	syl5eq 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
26	19, 25	ineq12d 3278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)))
27		djuinr 6948	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)) = ∅
28	26, 27	syl6eq 2188	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = ∅)
29	8, 12, 28	casef1 6975	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
30		f1f 5328	. . . . . . 7 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
32		reldom 6639	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
33	32	brrelex1i 4582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad3antrrr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐴 ∈ V)
35	32	brrelex1i 4582	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
36	35	ad3antlr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐶 ∈ V)
37		djuex 6928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
39		fex 5647	. . . . . 6 ⊢ ((case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
40	31, 38, 39	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
41		f1eq1 5323	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) → (ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
42	41	spcegv 2774	. . . . 5 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V → (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
44	32	brrelex2i 4583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
45	44	ad3antrrr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐵 ∈ V)
46	32	brrelex2i 4583	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
47	46	ad3antlr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
48		djuex 6928	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V)
49		brdomg 6642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
51	45, 47, 50	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
52	43, 51	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
53	4, 52	exlimddv 1870	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
54	2, 53	exlimddv 1870	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363   class class class wbr 3929  ran crn 4540   ↾ cres 4541   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  –1-1→wf1 5120   ≼ cdom 6633   ⊔ cdju 6922  inlcinl 6930  inrcinr 6931  casecdjucase 6968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-1o 6313  df-dom 6636  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7058  exmidfodomrlemrALT  7059  sbthom  13221