Theorem djudom 7256

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djudom

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6896	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		brdomi 6896	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
4	3	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
5		inlresf1 7224	. . . . . . . . 9 ⊢ (inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
6		simplr 528	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		f1co 5542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
9		inrresf1 7225	. . . . . . . . 9 ⊢ (inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
10		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
11		f1co 5542	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
13		rnco 5234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓)
14		f1rn 5531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
16		resabs1 5033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝐵 → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
18	17	rneqd 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
19	13, 18	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
20		rnco 5234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔)
21		f1rn 5531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:𝐶–1-1→𝐷 → ran 𝑔 ⊆ 𝐷)
22		resabs1 5033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝐷 → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
24	23	rneqd 4952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
25	20, 24	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
26	19, 25	ineq12d 3406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)))
27		djuinr 7226	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = ∅)
29	8, 12, 28	casef1 7253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
30		f1f 5530	. . . . . . 7 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
32		reldom 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
33	32	brrelex1i 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐴 ∈ V)
35	32	brrelex1i 4761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
36	35	ad3antlr 493	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐶 ∈ V)
37		djuex 7206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
39		fex 5867	. . . . . 6 ⊢ ((case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
40	31, 38, 39	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
41		f1eq1 5525	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) → (ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
42	41	spcegv 2891	. . . . 5 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V → (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
44	32	brrelex2i 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
45	44	ad3antrrr 492	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐵 ∈ V)
46	32	brrelex2i 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
47	46	ad3antlr 493	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
48		djuex 7206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V)
49		brdomg 6895	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
51	45, 47, 50	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
52	43, 51	mpbird 167	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
53	4, 52	exlimddv 1945	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
54	2, 53	exlimddv 1945	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∩ cin 3196   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491   class class class wbr 4082  ran crn 4719   ↾ cres 4720   ∘ ccom 4722  ⟶wf 5313  –1-1→wf1 5314   ≼ cdom 6884   ⊔ cdju 7200  inlcinl 7208  inrcinr 7209  casecdjucase 7246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-1o 6560  df-dom 6887  df-dju 7201  df-inl 7210  df-inr 7211  df-case 7247

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7376  exmidfodomrlemrALT  7377  sbthom  16353