Theorem djudom 7070

Description: Dominance law for disjoint union. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
djudom	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Proof of Theorem djudom

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6727	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		brdomi 6727	. . . 4 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
4	3	ad2antlr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ∃𝑔 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
5		inlresf1 7038	. . . . . . . . 9 ⊢ (inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
6		simplr 525	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
7		f1co 5415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inl ↾ 𝐵):𝐵–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
8	5, 6, 7	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓):𝐴–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
9		inrresf1 7039	. . . . . . . . 9 ⊢ (inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)
10		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝑔:𝐶–1-1→𝐷)
11		f1co 5415	. . . . . . . . 9 ⊢ (((inr ↾ 𝐷):𝐷–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
12	9, 10, 11	sylancr 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔):𝐶–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
13		rnco 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓)
14		f1rn 5404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
15	14	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran 𝑓 ⊆ 𝐵)
16		resabs1 4920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝐵 → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = (inl ↾ ran 𝑓))
18	17	rneqd 4840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ↾ ran 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
19	13, 18	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) = ran (inl ↾ ran 𝑓))
20		rnco 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔)
21		f1rn 5404	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔:𝐶–1-1→𝐷 → ran 𝑔 ⊆ 𝐷)
22		resabs1 4920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ 𝐷 → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
23	10, 21, 22	3syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = (inr ↾ ran 𝑔))
24	23	rneqd 4840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ↾ ran 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
25	20, 24	eqtrid 2215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔) = ran (inr ↾ ran 𝑔))
26	19, 25	ineq12d 3329	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)))
27		djuinr 7040	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran (inl ↾ ran 𝑓) ∩ ran (inr ↾ ran 𝑔)) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (ran ((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓) ∩ ran ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) = ∅)
29	8, 12, 28	casef1 7067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
30		f1f 5403	. . . . . . 7 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
31	29, 30	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷))
32		reldom 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
33	32	brrelex1i 4654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
34	33	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐴 ∈ V)
35	32	brrelex1i 4654	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐶 ∈ V)
36	35	ad3antlr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐶 ∈ V)
37		djuex 7020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
38	34, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V)
39		fex 5725	. . . . . 6 ⊢ ((case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)⟶(𝐵 ⊔ 𝐷) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐶) ∈ V) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
40	31, 38, 39	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V)
41		f1eq1 5398	. . . . . 6 ⊢ (ℎ = case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) → (ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
42	41	spcegv 2818	. . . . 5 ⊢ (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)) ∈ V → (case(((inl ↾ 𝐵) ∘ 𝑓), ((inr ↾ 𝐷) ∘ 𝑔)):(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
43	40, 29, 42	sylc 62	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷))
44	32	brrelex2i 4655	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
45	44	ad3antrrr 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐵 ∈ V)
46	32	brrelex2i 4655	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≼ 𝐷 → 𝐷 ∈ V)
47	46	ad3antlr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → 𝐷 ∈ V)
48		djuex 7020	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V)
49		brdomg 6726	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐷) ∈ V → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
50	48, 49	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
51	45, 47, 50	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷) ↔ ∃ℎ ℎ:(𝐴 ⊔ 𝐶)–1-1→(𝐵 ⊔ 𝐷)))
52	43, 51	mpbird 166	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑔:𝐶–1-1→𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
53	4, 52	exlimddv 1891	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))
54	2, 53	exlimddv 1891	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ≼ 𝐷) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414   class class class wbr 3989  ran crn 4612   ↾ cres 4613   ∘ ccom 4615  ⟶wf 5194  –1-1→wf1 5195   ≼ cdom 6717   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023  casecdjucase 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dom 6720  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061

This theorem is referenced by:  exmidfodomrlemr  7179  exmidfodomrlemrALT  7180  sbthom  14058