ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg GIF version

Theorem brdomg 6545
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6542 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 4510 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
32a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴 ∈ V))
4 f1f 5251 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
5 fdm 5201 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6 vex 2636 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
76dmex 4731 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
85, 7syl6eqelr 2186 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
94, 8syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
109exlimiv 1541 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V))
12 f1eq2 5247 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝑦))
1312exbidv 1760 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦))
14 f1eq3 5248 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝐵))
1514exbidv 1760 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
16 df-dom 6539 . . . 4 ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦}
1713, 15, 16brabg 4120 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1817expcom 115 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
193, 11, 18pm5.21ndd 659 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1296  wex 1433  wcel 1445  Vcvv 2633   class class class wbr 3867  dom cdm 4467  wf 5045  1-1wf1 5046  cdom 6536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-dm 4477  df-rn 4478  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-dom 6539
This theorem is referenced by:  brdomi  6546  brdom  6547  f1dom2g  6553  f1domg  6555  dom3d  6571  phplem4dom  6658  djudom  6863
  Copyright terms: Public domain W3C validator