Theorem brdomg 6726

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6723	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 4654	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
4		f1f 5403	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
5		fdm 5353	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6		vex 2733	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	dmex 4877	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
8	5, 7	eqeltrrdi 2262	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	9	exlimiv 1591	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V))
12		f1eq2 5399	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
13	12	exbidv 1818	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
14		f1eq3 5400	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
15	14	exbidv 1818	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
16		df-dom 6720	. . . 4 ⊢ ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦}
17	13, 15, 16	brabg 4254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
18	17	expcom 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 700	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  ⟶wf 5194  –1-1→wf1 5195   ≼ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  brdomi  6727  brdom  6728  f1dom2g  6734  f1domg  6736  dom3d  6752  phplem4dom  6840  djudom  7070  difinfsn  7077  djudoml  7196  djudomr  7197  nninfdc  12408