Theorem brdomg 6807

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6804	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 4706	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3	2	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
4		f1f 5463	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝑓:𝐴⟶𝐵)
5		fdm 5413	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
7	6	dmex 4932	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
8	5, 7	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶𝐵 → 𝐴 ∈ V)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
10	9	exlimiv 1612	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
11	10	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐴 ∈ V))
12		f1eq2 5459	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
13	12	exbidv 1839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦))
14		f1eq3 5460	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
15	14	exbidv 1839	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
16		df-dom 6801	. . . 4 ⊢ ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1→𝑦}
17	13, 15, 16	brabg 4303	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))
18	17	expcom 116	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)))
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 706	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4033  dom cdm 4663  ⟶wf 5254  –1-1→wf1 5255   ≼ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  brdomi  6808  brdom  6809  f1dom2g  6815  f1domg  6817  dom3d  6833  phplem4dom  6923  djudom  7159  difinfsn  7166  djudoml  7286  djudomr  7287  nninfdc  12670