ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg GIF version

Theorem brdomg 6519
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6516 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 4494 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
32a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴 ∈ V))
4 f1f 5229 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
5 fdm 5179 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6 vex 2623 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
76dmex 4712 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
85, 7syl6eqelr 2180 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
94, 8syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
109exlimiv 1535 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V))
12 f1eq2 5225 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝑦))
1312exbidv 1754 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦))
14 f1eq3 5226 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝐵))
1514exbidv 1754 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
16 df-dom 6513 . . . 4 ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦}
1713, 15, 16brabg 4105 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1817expcom 115 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
193, 11, 18pm5.21ndd 657 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1290  wex 1427  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  dom cdm 4452  wf 5024  1-1wf1 5025  cdom 6510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-dm 4462  df-rn 4463  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-dom 6513
This theorem is referenced by:  brdomi  6520  brdom  6521  f1dom2g  6527  f1domg  6529  dom3d  6545  phplem4dom  6632  djudom  6837
  Copyright terms: Public domain W3C validator