ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg GIF version

Theorem brdomg 6642
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6639 . . . 4 Rel ≼
21brrelex1i 4582 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
32a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵𝐴 ∈ V))
4 f1f 5328 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝑓:𝐴𝐵)
5 fdm 5278 . . . . . 6 (𝑓:𝐴𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
6 vex 2689 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
76dmex 4805 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
85, 7eqeltrrdi 2231 . . . . 5 (𝑓:𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
94, 8syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
109exlimiv 1577 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V)
1110a1i 9 . 2 (𝐵𝐶 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵𝐴 ∈ V))
12 f1eq2 5324 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝑦))
1312exbidv 1797 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦))
14 f1eq3 5325 . . . . 5 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1𝑦𝑓:𝐴1-1𝐵))
1514exbidv 1797 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
16 df-dom 6636 . . . 4 ≼ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1𝑦}
1713, 15, 16brabg 4191 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
1817expcom 115 . 2 (𝐵𝐶 → (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵)))
193, 11, 18pm5.21ndd 694 1 (𝐵𝐶 → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wex 1468  wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  wf 5119  1-1wf1 5120  cdom 6633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-dom 6636
This theorem is referenced by:  brdomi  6643  brdom  6644  f1dom2g  6650  f1domg  6652  dom3d  6668  phplem4dom  6756  djudom  6978  difinfsn  6985  djudoml  7080  djudomr  7081
  Copyright terms: Public domain W3C validator