Theorem cldopn 13692

Description: The complement of a closed set is open. (Contributed by NM, 5-Oct-2006.) (Revised by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
cldopn	⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem cldopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 13687	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2		iscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
3	2	iscld 13688	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)))
4	3	simplbda 384	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)
5	1, 4	mpancom 422	1 ⊢ (𝑆 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ 𝑆) ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∖ cdif 3128   ⊆ wss 3131  ∪ cuni 3811  ‘cfv 5218  Topctop 13582  Clsdccld 13677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-top 13583  df-cld 13680

This theorem is referenced by:  difopn  13693  uncld  13698  cnclima  13808