ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnlimci GIF version

Theorem cnlimci 13282
Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlimci.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷))
cnlimci.c (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnlimci (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5486 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
2 oveq2 5850 . . 3 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 lim 𝑥) = (𝐹 lim 𝐵))
31, 2eleq12d 2237 . 2 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥) ↔ (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵)))
4 cnlimci.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷))
5 cncfrss 13202 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
64, 5syl 14 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
7 cncfrss2 13203 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
84, 7syl 14 . . . . 5 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
9 ssid 3162 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
10 cncfss 13210 . . . . 5 ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴cn𝐷) ⊆ (𝐴cn→ℂ))
118, 9, 10sylancl 410 . . . 4 (𝜑 → (𝐴cn𝐷) ⊆ (𝐴cn→ℂ))
1211, 4sseldd 3143 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ))
13 cnlimcim 13280 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))))
1413imp 123 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥)))
1514simprd 113 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴cn→ℂ)) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))
166, 12, 15syl2anc 409 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ (𝐹 lim 𝑥))
17 cnlimci.c . 2 (𝜑𝐵𝐴)
183, 16, 17rspcdva 2835 1 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1343  wcel 2136  wral 2444  wss 3116  wf 5184  cfv 5188  (class class class)co 5842  cc 7751  cnccncf 13197   lim climc 13263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-cncf 13198  df-limced 13265
This theorem is referenced by:  cnmptlimc  13283
  Copyright terms: Public domain W3C validator