Theorem cnlimci 13397

Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
cnlimci.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5494	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
2		oveq2 5859	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 limℂ 𝑥) = (𝐹 limℂ 𝐵))
3	1, 2	eleq12d 2241	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
4		cnlimci.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
5		cncfrss 13317	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cncfrss2 13318	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
9		ssid 3167	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10		cncfss 13325	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
11	8, 9, 10	sylancl 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
12	11, 4	sseldd 3148	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
13		cnlimcim 13395	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	imp 123	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
15	14	simprd 113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
16	6, 12, 15	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
17		cnlimci.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
18	3, 16, 17	rspcdva 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448   ⊆ wss 3121  ⟶wf 5192  ‘cfv 5196  (class class class)co 5851  ℂcc 7761  –cn→ccncf 13312   lim_ℂ climc 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-map 6625  df-pm 6626  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-xneg 9718  df-xadd 9719  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-rest 12570  df-topgen 12589  df-psmet 12742  df-xmet 12743  df-met 12744  df-bl 12745  df-mopn 12746  df-top 12751  df-topon 12764  df-bases 12796  df-cn 12943  df-cnp 12944  df-cncf 13313  df-limced 13380

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  13398