Theorem cnlimci 15697

Description: If 𝐹 is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlimci.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
cnlimci.c	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnlimci	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Proof of Theorem cnlimci

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5690	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐵))
2		oveq2 6083	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐹 limℂ 𝑥) = (𝐹 limℂ 𝐵))
3	1, 2	eleq12d 2309	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥) ↔ (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
4		cnlimci.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷))
5		cncfrss 15599	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐴 ⊆ ℂ)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
7		cncfrss2 15600	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐷) → 𝐷 ⊆ ℂ)
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
9		ssid 3268	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
10		cncfss 15607	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
11	8, 9, 10	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴–cn→𝐷) ⊆ (𝐴–cn→ℂ))
12	11, 4	sseldd 3249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ))
13		cnlimcim 15695	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℂ → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))))
14	13	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥)))
15	14	simprd 114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (𝐴–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
16	6, 12, 15	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐹 limℂ 𝑥))
17		cnlimci.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
18	3, 16, 17	rspcdva 2934	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  –cn→ccncf 15594   lim_ℂ climc 15678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-map 6914  df-pm 6915  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-cncf 15595  df-limced 15680

This theorem is referenced by:  cnmptlimc  15698