ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncff GIF version

Theorem cncff 12763
Description: A continuous complex function's domain and codomain. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncff (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)

Proof of Theorem cncff
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncfrss 12761 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
2 cncfrss2 12762 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3 elcncf 12759 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
41, 2, 3syl2anc 409 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
54ibi 175 . 2 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
65simpld 111 1 (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1481  wral 2417  wrex 2418  wss 3072   class class class wbr 3933  wf 5123  cfv 5127  (class class class)co 5778  cc 7638   < clt 7820  cmin 7953  +crp 9466  abscabs 10797  cnccncf 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-map 6548  df-cncf 12757
This theorem is referenced by:  cncfss  12769  climcncf  12770  cncfco  12777  cncfmpt1f  12783  negfcncf  12788  mulcncflem  12789  mulcncf  12790  ivthdec  12821  cnmptlimc  12842  dvrecap  12876  sincn  12889  coscn  12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator