Theorem cncfco 14538

Description: The composition of two continuous maps on complex numbers is also continuous. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfco.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
cncfco.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))

Assertion

Ref	Expression
cncfco	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Proof of Theorem cncfco

Dummy variables 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfco.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))
2		cncff 14524	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐵⟶𝐶)
4		cncfco.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 14524	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		fco 5400	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶𝐶 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶)
8	3, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶)
9	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶))
10	6	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
11		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	ffvelcdmd 5673	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
13		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
14		cncfi 14525	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
15	9, 12, 13, 14	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
16	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
17		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → 𝑢 ∈ ℝ+)
19		cncfi 14525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
21	6	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
22		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑤 ∈ 𝐴)
23	21, 22	ffvelcdmd 5673	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵)
24		fvoveq1 5919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) = (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))))
25	24	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢))
26	25	imbrov2fvoveq 5921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑣 = (𝐹‘𝑤) → (((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
27	26	rspcv 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹‘𝑤) ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
28	23, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
29		fvco3 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑤)))
30	21, 22, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑤)))
31	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
32		fvco3 5608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))
33	21, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥) = (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))
34	30, 33	oveq12d 5914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥)) = ((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥))))
35	34	fveq2d 5538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) = (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))))
36	35	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦 ↔ (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦))
37	36	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦) ↔ ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘(𝐹‘𝑤)) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)))
38	28, 37	sylibrd 169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
39	38	imp 124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
40	39	an32s 568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
41	40	imim2d 54	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
42	41	anassrs 400	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
43	42	ralimdva 2557	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
44	43	reximdva 2592	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
45	44	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑤) − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
46	20, 45	mpid 42	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
47	46	rexlimdva 2607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → (∃𝑢 ∈ ℝ+ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ((abs‘(𝑣 − (𝐹‘𝑥))) < 𝑢 → (abs‘((𝐺‘𝑣) − (𝐺‘(𝐹‘𝑥)))) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦)))
48	15, 47	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
49	48	ralrimivva 2572	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))
50		cncfrss 14522	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐴 ⊆ ℂ)
51	4, 50	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
52		cncfrss2 14523	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→𝐶) → 𝐶 ⊆ ℂ)
53	1, 52	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ ℂ)
54		elcncf2 14521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐶 ⊆ ℂ) → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
55	51, 53, 54	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶) ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑤 − 𝑥)) < 𝑧 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑤) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑥))) < 𝑦))))
56	8, 49, 55	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (𝐴–cn→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  ∃wrex 2469   ⊆ wss 3144   class class class wbr 4018   ∘ ccom 4648  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℂcc 7839   < clt 8022   − cmin 8158  ℝ⁺crp 9683  abscabs 11038  –cn→ccncf 14517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-map 6676  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-2 9008  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-cncf 14518

This theorem is referenced by:  cncfmpt1f  14544  cdivcncfap  14547  negfcncf  14549  sincn  14650  coscn  14651