ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fihashdom GIF version

Theorem fihashdom 10060
Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
fihashdom ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem fihashdom
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6411 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 118 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6411 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 118 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad2antlr 473 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrr 503 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
8 domen1 6491 . . . . 5 (𝐴𝑛 → (𝐴𝑚𝑛𝑚))
97, 8syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝑚𝑛𝑚))
10 simprr 499 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝑚)
11 domen2 6492 . . . . 5 (𝐵𝑚 → (𝐴𝐵𝐴𝑚))
1210, 11syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝐴𝑚))
13 0zd 8672 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
14 eqid 2085 . . . . . 6 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
15 simplrl 502 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
16 simprl 498 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
1713, 14, 15, 16frec2uzled 9739 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚 ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ≤ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
18 nndomo 6513 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
1915, 16, 18syl2anc 403 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑛𝑚))
207ensymd 6433 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐴)
21 hashennn 10037 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
2215, 20, 21syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
2310ensymd 6433 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐵)
24 hashennn 10037 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚𝐵) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
2516, 23, 24syl2anc 403 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
2622, 25breq12d 3827 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ≤ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
2717, 19, 263bitr4rd 219 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝑛𝑚))
289, 12, 273bitr4rd 219 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
296, 28rexlimddv 2489 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
303, 29rexlimddv 2489 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  wrex 2356  wss 2986   class class class wbr 3814  cmpt 3868  ωcom 4371  cfv 4972  (class class class)co 5594  freccfrec 6090  cen 6388  cdom 6389  Fincfn 6390  0cc0 7271  1c1 7272   + caddc 7274  cle 7444  cz 8660  chash 10032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-ilim 4163  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-recs 6005  df-frec 6091  df-er 6225  df-en 6391  df-dom 6392  df-fin 6393  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-ihash 10033
This theorem is referenced by:  fihashss  10073  phicl2  10984  phibnd  10987
  Copyright terms: Public domain W3C validator