Theorem fihashdom 10895

Description: Dominance relation for the size function. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fihashdom	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem fihashdom

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6820	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6820	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrr 536	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
8		domen1 6903	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → (𝐴 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ≼ 𝑚))
9	7, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ≼ 𝑚))
10		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
11		domen2 6904	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≈ 𝑚 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝑚))
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ 𝐴 ≼ 𝑚))
13		0zd 9338	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
14		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
15		simplrl 535	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
16		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
17	13, 14, 15, 16	frec2uzled 10521	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ⊆ 𝑚 ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ≤ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
18		nndomo 6925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
19	15, 16, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≼ 𝑚 ↔ 𝑛 ⊆ 𝑚))
20	7	ensymd 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
21		hashennn 10872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
22	15, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
23	10	ensymd 6842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≈ 𝐵)
24		hashennn 10872	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
25	16, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
26	22, 25	breq12d 4046	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) ≤ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
27	17, 19, 26	3bitr4rd 221	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝑛 ≼ 𝑚))
28	9, 12, 27	3bitr4rd 221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
29	6, 28	rexlimddv 2619	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
30	3, 29	rexlimddv 2619	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) ≤ (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ωcom 4626  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   ≈ cen 6797   ≼ cdom 6798  Fincfn 6799  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   ≤ cle 8062  ℤcz 9326  ♯chash 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-ihash 10868

This theorem is referenced by:  fihashss  10908  phicl2  12382  phibnd  12385  4sqlem11  12570  znidom  14213  znidomb  14214