Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapen GIF version

Theorem mapen 6747
 Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))

Proof of Theorem mapen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6648 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 6648 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 1905 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷))
4 fnmap 6556 . . . . . 6 𝑚 Fn (V × V)
5 f1odm 5378 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
65adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑓 = 𝐴)
7 vex 2692 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
87dmex 4812 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
96, 8eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
10 f1odm 5378 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → dom 𝑔 = 𝐶)
1110adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑔 = 𝐶)
12 vex 2692 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1312dmex 4812 . . . . . . 7 dom 𝑔 ∈ V
1411, 13eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
15 fnovex 5811 . . . . . 6 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ∈ V)
164, 9, 14, 15mp3an2i 1321 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ∈ V)
17 f1ofo 5381 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
1817adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
19 forn 5355 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑓 = 𝐵)
217rnex 4813 . . . . . . 7 ran 𝑓 ∈ V
2220, 21eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
23 f1ofo 5381 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶onto𝐷)
2423adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
25 forn 5355 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶onto𝐷 → ran 𝑔 = 𝐷)
2624, 25syl 14 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑔 = 𝐷)
2712rnex 4813 . . . . . . 7 ran 𝑔 ∈ V
2826, 27eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
29 fnovex 5811 . . . . . 6 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐷) ∈ V)
304, 22, 28, 29mp3an2i 1321 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐵𝑚 𝐷) ∈ V)
31 elmapi 6571 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑥:𝐶𝐴)
32 f1of 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
3332adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴𝐵)
34 fco 5295 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
3533, 34sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
36 f1ocnv 5387 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
3736adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
38 f1of 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐷1-1-onto𝐶𝑔:𝐷𝐶)
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷𝐶)
4039adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → 𝑔:𝐷𝐶)
41 fco 5295 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥):𝐶𝐵𝑔:𝐷𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
4235, 40, 41syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
4342ex 114 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐶𝐴 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4431, 43syl5 32 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4522, 28elmapd 6563 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷) ↔ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4644, 45sylibrd 168 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷)))
47 elmapi 6571 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → 𝑦:𝐷𝐵)
48 f1ocnv 5387 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4948adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
50 f1of 5374 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
5149, 50syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵𝐴)
52 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦:𝐷𝐵)
53 f1of 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶𝐷)
5453adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶𝐷)
55 fco 5295 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
5652, 54, 55syl2anr 288 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
57 fco 5295 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ (𝑦𝑔):𝐶𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
5851, 56, 57syl2an2r 585 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
5958ex 114 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐷𝐵 → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6047, 59syl5 32 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
619, 14elmapd 6563 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6260, 61sylibrd 168 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶)))
63 coass 5064 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)))
64 f1ococnv2 5401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6564ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6665coeq1d 4707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)))
6756adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
68 fcoi2 5311 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
7066, 69eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
7163, 70syl5eqr 2187 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
7271eqeq2d 2152 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
73 coass 5064 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
74 f1ococnv1 5403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7574ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7675coeq2d 4708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
7735adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
78 fcoi1 5310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥):𝐶𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
8076, 79eqtrd 2173 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑓𝑥))
8173, 80syl5eq 2185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑓𝑥))
8281eqeq2d 2152 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (𝑓𝑥)))
83 eqcom 2142 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑔) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔))
8482, 83syl6bb 195 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
8572, 84bitr4d 190 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
86 f1of1 5373 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
8786ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
88 simprl 521 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑥:𝐶𝐴)
8958adantrl 470 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
90 cocan1 5695 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥:𝐶𝐴 ∧ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1217 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9224adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
93 ffn 5279 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦 Fn 𝐷)
9493ad2antll 483 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
9542adantrr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
96 ffn 5279 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
9795, 96syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
98 cocan2 5696 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐶onto𝐷𝑦 Fn 𝐷 ∧ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9992, 94, 97, 98syl3anc 1217 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
10085, 91, 993bitr3d 217 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
101100ex 114 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
10231, 47, 101syl2ani 406 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
10316, 30, 46, 62, 102en3d 6670 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
104103exlimivv 1869 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1053, 104sylbir 134 . 2 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1061, 2, 105syl2anb 289 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   class class class wbr 3936   I cid 4217   × cxp 4544  ◡ccnv 4545  dom cdm 4546  ran crn 4547   ↾ cres 4548   ∘ ccom 4550   Fn wfn 5125  ⟶wf 5126  –1-1→wf1 5127  –onto→wfo 5128  –1-1-onto→wf1o 5129  (class class class)co 5781   ↑𝑚 cmap 6549   ≈ cen 6639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-map 6551  df-en 6642 This theorem is referenced by:  mapdom1g  6748
 Copyright terms: Public domain W3C validator