ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mapen GIF version

Theorem mapen 6840
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))

Proof of Theorem mapen
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6741 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 6741 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 1932 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷))
4 fnmap 6649 . . . . . 6 𝑚 Fn (V × V)
5 f1odm 5461 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
65adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑓 = 𝐴)
7 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
87dmex 4889 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
96, 8eqeltrrdi 2269 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐴 ∈ V)
10 f1odm 5461 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → dom 𝑔 = 𝐶)
1110adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → dom 𝑔 = 𝐶)
12 vex 2740 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
1312dmex 4889 . . . . . . 7 dom 𝑔 ∈ V
1411, 13eqeltrrdi 2269 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐶 ∈ V)
15 fnovex 5902 . . . . . 6 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → (𝐴𝑚 𝐶) ∈ V)
164, 9, 14, 15mp3an2i 1342 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ∈ V)
17 f1ofo 5464 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
1817adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴onto𝐵)
19 forn 5437 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
2018, 19syl 14 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑓 = 𝐵)
217rnex 4890 . . . . . . 7 ran 𝑓 ∈ V
2220, 21eqeltrrdi 2269 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐵 ∈ V)
23 f1ofo 5464 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶onto𝐷)
2423adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
25 forn 5437 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐶onto𝐷 → ran 𝑔 = 𝐷)
2624, 25syl 14 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ran 𝑔 = 𝐷)
2712rnex 4890 . . . . . . 7 ran 𝑔 ∈ V
2826, 27eqeltrrdi 2269 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝐷 ∈ V)
29 fnovex 5902 . . . . . 6 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐷 ∈ V) → (𝐵𝑚 𝐷) ∈ V)
304, 22, 28, 29mp3an2i 1342 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐵𝑚 𝐷) ∈ V)
31 elmapi 6664 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → 𝑥:𝐶𝐴)
32 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴𝐵)
3332adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐴𝐵)
34 fco 5377 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴𝐵𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
3533, 34sylan 283 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
36 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
3736adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷1-1-onto𝐶)
38 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐷1-1-onto𝐶𝑔:𝐷𝐶)
3937, 38syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐷𝐶)
4039adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → 𝑔:𝐷𝐶)
41 fco 5377 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥):𝐶𝐵𝑔:𝐷𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
4235, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
4342ex 115 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐶𝐴 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4431, 43syl5 32 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4522, 28elmapd 6656 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷) ↔ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵))
4644, 45sylibrd 169 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∈ (𝐵𝑚 𝐷)))
47 elmapi 6664 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → 𝑦:𝐷𝐵)
48 f1ocnv 5470 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
4948adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
50 f1of 5457 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵𝐴)
5149, 50syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑓:𝐵𝐴)
52 id 19 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦:𝐷𝐵)
53 f1of 5457 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷𝑔:𝐶𝐷)
5453adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → 𝑔:𝐶𝐷)
55 fco 5377 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐷𝐵𝑔:𝐶𝐷) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
5652, 54, 55syl2anr 290 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
57 fco 5377 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐵𝐴 ∧ (𝑦𝑔):𝐶𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
5851, 56, 57syl2an2r 595 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐷𝐵) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
5958ex 115 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐷𝐵 → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6047, 59syl5 32 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
619, 14elmapd 6656 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴))
6260, 61sylibrd 169 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ∈ (𝐴𝑚 𝐶)))
63 coass 5143 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)))
64 f1ococnv2 5484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6564ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑓) = ( I ↾ 𝐵))
6665coeq1d 4784 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)))
6756adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑦𝑔):𝐶𝐵)
68 fcoi2 5393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
7066, 69eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑓) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
7163, 70eqtr3id 2224 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
7271eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
73 coass 5143 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
74 f1ococnv1 5486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:𝐶1-1-onto𝐷 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7574ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐶))
7675coeq2d 4785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)))
7735adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓𝑥):𝐶𝐵)
78 fcoi1 5392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓𝑥):𝐶𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
7977, 78syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐶)) = (𝑓𝑥))
8076, 79eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑓𝑥))
8173, 80eqtrid 2222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑓𝑥))
8281eqeq2d 2189 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (𝑓𝑥)))
83 eqcom 2179 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑔) = (𝑓𝑥) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔))
8482, 83bitrdi 196 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ (𝑓𝑥) = (𝑦𝑔)))
8572, 84bitr4d 191 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
86 f1of1 5456 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
8786ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
88 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑥:𝐶𝐴)
8958adantrl 478 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴)
90 cocan1 5782 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑥:𝐶𝐴 ∧ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)):𝐶𝐴) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) = (𝑓 ∘ (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔))))
9224adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑔:𝐶onto𝐷)
93 ffn 5361 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐷𝐵𝑦 Fn 𝐷)
9493ad2antll 491 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐷)
9542adantrr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵)
96 ffn 5361 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔):𝐷𝐵 → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
9795, 96syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷)
98 cocan2 5783 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐶onto𝐷𝑦 Fn 𝐷 ∧ ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐷) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
9992, 94, 97, 98syl3anc 1238 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑓𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
10085, 91, 993bitr3d 218 . . . . . . 7 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔)))
101100ex 115 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐶𝐴𝑦:𝐷𝐵) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
10231, 47, 101syl2ani 408 . . . . 5 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵𝑚 𝐷)) → (𝑥 = (𝑓 ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑓𝑥) ∘ 𝑔))))
10316, 30, 46, 62, 102en3d 6763 . . . 4 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
104103exlimivv 1896 . . 3 (∃𝑓𝑔(𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1053, 104sylbir 135 . 2 ((∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃𝑔 𝑔:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
1061, 2, 105syl2anb 291 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴𝑚 𝐶) ≈ (𝐵𝑚 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2737   class class class wbr 4000   I cid 4285   × cxp 4621  ccnv 4622  dom cdm 4623  ran crn 4624  cres 4625  ccom 4627   Fn wfn 5207  wf 5208  1-1wf1 5209  ontowfo 5210  1-1-ontowf1o 5211  (class class class)co 5869  𝑚 cmap 6642  cen 6732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-map 6644  df-en 6735
This theorem is referenced by:  mapdom1g  6841
  Copyright terms: Public domain W3C validator