Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashfacen GIF version

Theorem hashfacen 10631
 Description: The number of bijections between two sets is a cardinal invariant. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfacen ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓   𝐷,𝑓

Proof of Theorem hashfacen
Dummy variables 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6650 . 2 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵)
2 bren 6650 . 2 (𝐶𝐷 ↔ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷)
3 eeanv 1905 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷))
4 f1odm 5380 . . . . . . . 8 (:𝐶1-1-onto𝐷 → dom = 𝐶)
5 vex 2693 . . . . . . . . 9 ∈ V
65dmex 4814 . . . . . . . 8 dom ∈ V
74, 6eqeltrrdi 2232 . . . . . . 7 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐶 ∈ V)
8 f1odm 5380 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑔 = 𝐴)
9 vex 2693 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
109dmex 4814 . . . . . . . 8 dom 𝑔 ∈ V
118, 10eqeltrrdi 2232 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
12 fnmap 6558 . . . . . . . 8 𝑚 Fn (V × V)
13 fnovex 5813 . . . . . . . 8 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶𝑚 𝐴) ∈ V)
1412, 13mp3an1 1303 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐶𝑚 𝐴) ∈ V)
157, 11, 14syl2anr 288 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐶𝑚 𝐴) ∈ V)
16 f1of 5376 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓:𝐴𝐶)
17 elmapg 6564 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
187, 11, 17syl2anr 288 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴) ↔ 𝑓:𝐴𝐶))
1916, 18syl5ibr 155 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑓 ∈ (𝐶𝑚 𝐴)))
2019abssdv 3177 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ⊆ (𝐶𝑚 𝐴))
2115, 20ssexd 4077 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∈ V)
22 f1ofo 5383 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶onto𝐷)
23 forn 5357 . . . . . . . . 9 (:𝐶onto𝐷 → ran = 𝐷)
2422, 23syl 14 . . . . . . . 8 (:𝐶1-1-onto𝐷 → ran = 𝐷)
255rnex 4815 . . . . . . . 8 ran ∈ V
2624, 25eqeltrrdi 2232 . . . . . . 7 (:𝐶1-1-onto𝐷𝐷 ∈ V)
27 f1ofo 5383 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐴onto𝐵)
28 forn 5357 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
2927, 28syl 14 . . . . . . . 8 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑔 = 𝐵)
309rnex 4815 . . . . . . . 8 ran 𝑔 ∈ V
3129, 30eqeltrrdi 2232 . . . . . . 7 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
32 fnovex 5813 . . . . . . . 8 (( ↑𝑚 Fn (V × V) ∧ 𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐷𝑚 𝐵) ∈ V)
3312, 32mp3an1 1303 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐷𝑚 𝐵) ∈ V)
3426, 31, 33syl2anr 288 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝐷𝑚 𝐵) ∈ V)
35 f1of 5376 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓:𝐵𝐷)
36 elmapg 6564 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3726, 31, 36syl2anr 288 . . . . . . . 8 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵) ↔ 𝑓:𝐵𝐷))
3835, 37syl5ibr 155 . . . . . . 7 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑓 ∈ (𝐷𝑚 𝐵)))
3938abssdv 3177 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ⊆ (𝐷𝑚 𝐵))
4034, 39ssexd 4077 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ∈ V)
41 f1oco 5399 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1-onto𝐷𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
4241adantll 468 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
43 f1ocnv 5389 . . . . . . . . 9 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
4443ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → 𝑔:𝐵1-1-onto𝐴)
45 f1oco 5399 . . . . . . . 8 (((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷𝑔:𝐵1-1-onto𝐴) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4642, 44, 45syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
4746ex 114 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶 → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
48 vex 2693 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
49 f1oeq1 5365 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑥 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴1-1-onto𝐶))
5048, 49elab 2833 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐶)
515, 48coex 5093 . . . . . . . 8 (𝑥) ∈ V
529cnvex 5086 . . . . . . . 8 𝑔 ∈ V
5351, 52coex 5093 . . . . . . 7 ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ V
54 f1oeq1 5365 . . . . . . 7 (𝑓 = ((𝑥) ∘ 𝑔) → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷 ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷))
5553, 54elab 2833 . . . . . 6 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
5647, 50, 553imtr4g 204 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} → ((𝑥) ∘ 𝑔) ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}))
57 f1ocnv 5389 . . . . . . . . 9 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐷1-1-onto𝐶)
5857ad2antlr 481 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → :𝐷1-1-onto𝐶)
59 f1oco 5399 . . . . . . . . . 10 ((𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑔:𝐴1-1-onto𝐵) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
6059ancoms 266 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
6160adantlr 469 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
62 f1oco 5399 . . . . . . . 8 ((:𝐷1-1-onto𝐶 ∧ (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6358, 61, 62syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
6463ex 114 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
65 vex 2693 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
66 f1oeq1 5365 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑦 → (𝑓:𝐵1-1-onto𝐷𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
6765, 66elab 2833 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} ↔ 𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)
685cnvex 5086 . . . . . . . 8 ∈ V
6965, 9coex 5093 . . . . . . . 8 (𝑦𝑔) ∈ V
7068, 69coex 5093 . . . . . . 7 ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ V
71 f1oeq1 5365 . . . . . . 7 (𝑓 = ( ∘ (𝑦𝑔)) → (𝑓:𝐴1-1-onto𝐶 ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶))
7270, 71elab 2833 . . . . . 6 (( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ↔ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
7364, 67, 723imtr4g 204 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → (𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷} → ( ∘ (𝑦𝑔)) ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶}))
7450, 67anbi12i 456 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) ↔ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷))
75 coass 5066 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔))
76 f1ococnv1 5405 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7776ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑔𝑔) = ( I ↾ 𝐴))
7877coeq2d 4710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)))
7942adantrr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥):𝐴1-1-onto𝐷)
80 f1of 5376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑥):𝐴𝐷)
81 fcoi1 5312 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥):𝐴𝐷 → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
8279, 80, 813syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ ( I ↾ 𝐴)) = (𝑥))
8378, 82eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ (𝑔𝑔)) = (𝑥))
8475, 83syl5req 2186 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
85 coass 5066 . . . . . . . . . . 11 (() ∘ (𝑦𝑔)) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔)))
86 f1ococnv2 5403 . . . . . . . . . . . . . 14 (:𝐶1-1-onto𝐷 → () = ( I ↾ 𝐷))
8786ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → () = ( I ↾ 𝐷))
8887coeq1d 4709 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)))
8961adantrl 470 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷)
90 f1of 5376 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴1-1-onto𝐷 → (𝑦𝑔):𝐴𝐷)
91 fcoi2 5313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑔):𝐴𝐷 → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9289, 90, 913syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (( I ↾ 𝐷) ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9388, 92eqtrd 2173 . . . . . . . . . . 11 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (() ∘ (𝑦𝑔)) = (𝑦𝑔))
9485, 93syl5eqr 2187 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) = (𝑦𝑔))
9584, 94eqeq12d 2155 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔)))
96 eqcom 2142 . . . . . . . . 9 ((((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) = (𝑦𝑔) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔))
9795, 96syl6bb 195 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ (𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔)))
98 f1of1 5375 . . . . . . . . . 10 (:𝐶1-1-onto𝐷:𝐶1-1𝐷)
9998ad2antlr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → :𝐶1-1𝐷)
100 f1of 5376 . . . . . . . . . 10 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑥:𝐴𝐶)
101100ad2antrl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑥:𝐴𝐶)
10263adantrl 470 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶)
103 f1of 5376 . . . . . . . . . 10 (( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴1-1-onto𝐶 → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
104102, 103syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶)
105 cocan1 5697 . . . . . . . . 9 ((:𝐶1-1𝐷𝑥:𝐴𝐶 ∧ ( ∘ (𝑦𝑔)):𝐴𝐶) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10699, 101, 104, 105syl3anc 1217 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) = ( ∘ ( ∘ (𝑦𝑔))) ↔ 𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔))))
10727ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑔:𝐴onto𝐵)
108 f1ofn 5377 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐷𝑦 Fn 𝐵)
109108ad2antll 483 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → 𝑦 Fn 𝐵)
11046adantrr 471 . . . . . . . . . 10 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷)
111 f1ofn 5377 . . . . . . . . . 10 (((𝑥) ∘ 𝑔):𝐵1-1-onto𝐷 → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
112110, 111syl 14 . . . . . . . . 9 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵)
113 cocan2 5698 . . . . . . . . 9 ((𝑔:𝐴onto𝐵𝑦 Fn 𝐵 ∧ ((𝑥) ∘ 𝑔) Fn 𝐵) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
114107, 109, 112, 113syl3anc 1217 . . . . . . . 8 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → ((𝑦𝑔) = (((𝑥) ∘ 𝑔) ∘ 𝑔) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
11597, 106, 1143bitr3d 217 . . . . . . 7 (((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) ∧ (𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷)) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔)))
116115ex 114 . . . . . 6 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥:𝐴1-1-onto𝐶𝑦:𝐵1-1-onto𝐷) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11774, 116syl5bi 151 . . . . 5 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → ((𝑥 ∈ {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ∧ 𝑦 ∈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷}) → (𝑥 = ( ∘ (𝑦𝑔)) ↔ 𝑦 = ((𝑥) ∘ 𝑔))))
11821, 40, 56, 73, 117en3d 6672 . . . 4 ((𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
119118exlimivv 1869 . . 3 (∃𝑔(𝑔:𝐴1-1-onto𝐵:𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1203, 119sylbir 134 . 2 ((∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ ∃ :𝐶1-1-onto𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
1211, 2, 120syl2anb 289 1 ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐶} ≈ {𝑓𝑓:𝐵1-1-onto𝐷})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {cab 2126  Vcvv 2690   class class class wbr 3938   I cid 4219   × cxp 4546  ◡ccnv 4547  dom cdm 4548  ran crn 4549   ↾ cres 4550   ∘ ccom 4552   Fn wfn 5127  ⟶wf 5128  –1-1→wf1 5129  –onto→wfo 5130  –1-1-onto→wf1o 5131  (class class class)co 5783   ↑𝑚 cmap 6551   ≈ cen 6641 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4224  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-map 6553  df-en 6644 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator