Theorem f1ocnv 5587

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5419	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5179	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5409	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5582	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5582	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ^◡ccnv 4718  Rel wrel 4724   Fn wfn 5313  –1-1-onto→wf1o 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5588  f1orescnv  5590  f1imacnv  5591  f1cnv  5598  f1ococnv1  5603  f1oresrab  5802  f1ocnvfv2  5908  f1ocnvdm  5911  f1ocnvfvrneq  5912  fcof1o  5919  isocnv  5941  f1ofveu  5995  mapsnf1o3  6852  ener  6939  en0  6955  en1  6959  en2  6981  mapen  7015  ssenen  7020  preimaf1ofi  7129  ordiso2  7213  caseinl  7269  caseinr  7270  ctssdccl  7289  ctssdclemr  7290  enomnilem  7316  enmkvlem  7339  enwomnilem  7347  cc3  7465  fnn0nninf  10672  0tonninf  10674  1tonninf  10675  iseqf1olemkle  10731  iseqf1olemklt  10732  iseqf1olemqcl  10733  iseqf1olemnab  10735  iseqf1olemmo  10739  iseqf1olemqk  10741  seq3f1olemqsumkj  10745  seq3f1olemqsumk  10746  seq3f1olemstep  10748  seqf1oglem1  10753  seqf1oglem2  10754  hashfz1  11017  hashfacen  11071  seq3coll  11077  cnrecnv  11436  nnf1o  11902  summodclem3  11906  summodclem2a  11907  prodmodclem3  12101  prodmodclem2a  12102  fprodssdc  12116  sqpweven  12712  2sqpwodd  12713  phimullem  12762  eulerthlemh  12768  1arith2  12906  xpnnen  12980  ennnfonelemjn  12988  ennnfonelemp1  12992  ennnfonelemhdmp1  12995  ennnfonelemss  12996  ennnfonelemkh  12998  ennnfonelemhf1o  12999  ennnfonelemex  13000  ennnfonelemf1  13004  ennnfonelemnn0  13008  ennnfonelemim  13010  ctinfomlemom  13013  ctiunctlemfo  13025  ssnnctlemct  13032  mhmf1o  13518  ghmf1o  13827  gsumfzreidx  13889  znleval  14632  txhmeo  15008  dfrelog  15549  relogf1o  15550  012of  16416  domomsubct  16426  exmidsbthrlem  16450  iswomninnlem  16477