Theorem f1ocnv 5513

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5352	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5116	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5342	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5508	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5508	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ^◡ccnv 4658  Rel wrel 4664   Fn wfn 5249  –1-1-onto→wf1o 5253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5514  f1orescnv  5516  f1imacnv  5517  f1cnv  5524  f1ococnv1  5529  f1oresrab  5723  f1ocnvfv2  5821  f1ocnvdm  5824  f1ocnvfvrneq  5825  fcof1o  5832  isocnv  5854  f1ofveu  5906  mapsnf1o3  6751  ener  6833  en0  6849  en1  6853  mapen  6902  ssenen  6907  preimaf1ofi  7010  ordiso2  7094  caseinl  7150  caseinr  7151  ctssdccl  7170  ctssdclemr  7171  enomnilem  7197  enmkvlem  7220  enwomnilem  7228  cc3  7328  fnn0nninf  10509  0tonninf  10511  1tonninf  10512  iseqf1olemkle  10568  iseqf1olemklt  10569  iseqf1olemqcl  10570  iseqf1olemnab  10572  iseqf1olemmo  10576  iseqf1olemqk  10578  seq3f1olemqsumkj  10582  seq3f1olemqsumk  10583  seq3f1olemstep  10585  seqf1oglem1  10590  seqf1oglem2  10591  hashfz1  10854  hashfacen  10907  seq3coll  10913  cnrecnv  11054  nnf1o  11519  summodclem3  11523  summodclem2a  11524  prodmodclem3  11718  prodmodclem2a  11719  fprodssdc  11733  sqpweven  12313  2sqpwodd  12314  phimullem  12363  eulerthlemh  12369  1arith2  12506  xpnnen  12551  ennnfonelemjn  12559  ennnfonelemp1  12563  ennnfonelemhdmp1  12566  ennnfonelemss  12567  ennnfonelemkh  12569  ennnfonelemhf1o  12570  ennnfonelemex  12571  ennnfonelemf1  12575  ennnfonelemnn0  12579  ennnfonelemim  12581  ctinfomlemom  12584  ctiunctlemfo  12596  ssnnctlemct  12603  mhmf1o  13042  ghmf1o  13345  gsumfzreidx  13407  znleval  14141  txhmeo  14487  dfrelog  14995  relogf1o  14996  012of  15486  exmidsbthrlem  15512  iswomninnlem  15539