Theorem f1ocnv 5652

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5479	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5238	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5469	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5647	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5647	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ^◡ccnv 4773  Rel wrel 4779   Fn wfn 5372  –1-1-onto→wf1o 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384

This theorem is used by:  f1ocnvb  5653  f1orescnv  5655  f1imacnv  5656  f1cnv  5663  f1ococnv1  5668  f1oresrab  5873  f1ocnvfv2  5984  f1ocnvdm  5987  f1ocnvfvrneq  5988  fcof1o  5995  isocnv  6017  f1ofveu  6073  mapsnf1o3  6979  ener  7066  en0  7082  en1  7086  en2  7112  mapen  7146  ssenen  7152  preimaf1ofi  7268  ordiso2  7375  caseinl  7431  caseinr  7432  ctssdccl  7451  ctssdclemr  7452  enomnilem  7478  enmkvlem  7501  enwomnilem  7509  cc3  7634  fnn0nninf  10875  0tonninf  10877  1tonninf  10878  iseqf1olemkle  10934  iseqf1olemklt  10935  iseqf1olemqcl  10936  iseqf1olemnab  10938  iseqf1olemmo  10942  iseqf1olemqk  10944  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3f1olemqsumk  10949  seq3f1olemstep  10951  seqf1oglem1  10956  seqf1oglem2  10957  hashfz1  11222  hashfacen  11284  seq3coll  11294  cnrecnv  11676  nnf1o  12143  summodclem3  12147  summodclem2a  12148  prodmodclem3  12342  prodmodclem2a  12343  fprodssdc  12357  sqpweven  12953  2sqpwodd  12954  phimullem  13003  eulerthlemh  13009  1arith2  13147  xpnnen  13285  ennnfonelemjn  13293  ennnfonelemp1  13297  ennnfonelemhdmp1  13300  ennnfonelemss  13301  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemhf1o  13304  ennnfonelemex  13305  ennnfonelemf1  13309  ennnfonelemnn0  13313  ennnfonelemim  13315  ctinfomlemom  13318  ctiunctlemfo  13330  ssnnctlemct  13337  mhmf1o  13777  ghmf1o  14078  gzsumreidx  14141  gsumvalfi  14152  gsumf1ofi  14160  znleval  14988  txhmeo  15420  dfrelog  15961  relogf1o  15962  012of  17023  domomsubct  17031  exmidsbthrlem  17067  iswomninnlem  17099