Theorem f1ocnv 5455

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5296	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5061	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5286	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 157	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 340	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5450	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5450	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348  ^◡ccnv 4610  Rel wrel 4616   Fn wfn 5193  –1-1-onto→wf1o 5197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5456  f1orescnv  5458  f1imacnv  5459  f1cnv  5466  f1ococnv1  5471  f1oresrab  5661  f1ocnvfv2  5757  f1ocnvdm  5760  f1ocnvfvrneq  5761  fcof1o  5768  isocnv  5790  f1ofveu  5841  mapsnf1o3  6675  ener  6757  en0  6773  en1  6777  mapen  6824  ssenen  6829  preimaf1ofi  6928  ordiso2  7012  caseinl  7068  caseinr  7069  ctssdccl  7088  ctssdclemr  7089  enomnilem  7114  enmkvlem  7137  enwomnilem  7145  cc3  7230  fnn0nninf  10393  0tonninf  10395  1tonninf  10396  iseqf1olemkle  10440  iseqf1olemklt  10441  iseqf1olemqcl  10442  iseqf1olemnab  10444  iseqf1olemmo  10448  iseqf1olemqk  10450  seq3f1olemqsumkj  10454  seq3f1olemqsumk  10455  seq3f1olemstep  10457  hashfz1  10717  hashfacen  10771  seq3coll  10777  cnrecnv  10874  nnf1o  11339  summodclem3  11343  summodclem2a  11344  prodmodclem3  11538  prodmodclem2a  11539  fprodssdc  11553  sqpweven  12129  2sqpwodd  12130  phimullem  12179  eulerthlemh  12185  1arith2  12320  xpnnen  12349  ennnfonelemjn  12357  ennnfonelemp1  12361  ennnfonelemhdmp1  12364  ennnfonelemss  12365  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemhf1o  12368  ennnfonelemex  12369  ennnfonelemf1  12373  ennnfonelemnn0  12377  ennnfonelemim  12379  ctinfomlemom  12382  ctiunctlemfo  12394  ssnnctlemct  12401  mhmf1o  12693  txhmeo  13113  dfrelog  13575  relogf1o  13576  012of  14028  exmidsbthrlem  14054  iswomninnlem  14081