Theorem f1ocnv 5380

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5221	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 4989	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5211	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 157	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 339	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 266	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5375	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5375	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 200	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331  ^◡ccnv 4538  Rel wrel 4544   Fn wfn 5118  –1-1-onto→wf1o 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5381  f1orescnv  5383  f1imacnv  5384  f1cnv  5391  f1ococnv1  5396  f1oresrab  5585  f1ocnvfv2  5679  f1ocnvdm  5682  f1ocnvfvrneq  5683  fcof1o  5690  isocnv  5712  f1ofveu  5762  mapsnf1o3  6591  ener  6673  en0  6689  en1  6693  mapen  6740  ssenen  6745  preimaf1ofi  6839  ordiso2  6920  caseinl  6976  caseinr  6977  ctssdccl  6996  ctssdclemr  6997  enomnilem  7010  fnn0nninf  10210  0tonninf  10212  1tonninf  10213  iseqf1olemkle  10257  iseqf1olemklt  10258  iseqf1olemqcl  10259  iseqf1olemnab  10261  iseqf1olemmo  10265  iseqf1olemqk  10267  seq3f1olemqsumkj  10271  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemstep  10274  hashfz1  10529  hashfacen  10579  seq3coll  10585  cnrecnv  10682  nnf1o  11145  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854  phimullem  11901  xpnnen  11907  ennnfonelemjn  11915  ennnfonelemp1  11919  ennnfonelemhdmp1  11922  ennnfonelemss  11923  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemf1  11931  ennnfonelemnn0  11935  ennnfonelemim  11937  ctinfomlemom  11940  ctiunctlemfo  11952  txhmeo  12488  exmidsbthrlem  13217  isomninnlem  13225