Theorem f1ocnv 5655

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5482	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5241	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5472	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5650	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5650	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ^◡ccnv 4775  Rel wrel 4781   Fn wfn 5375  –1-1-onto→wf1o 5379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387

This theorem is used by:  f1ocnvb  5656  f1orescnv  5658  f1imacnv  5659  f1cnv  5666  f1ococnv1  5671  f1oresrab  5876  f1ocnvfv2  5987  f1ocnvdm  5990  f1ocnvfvrneq  5991  fcof1o  5998  isocnv  6020  f1ofveu  6076  mapsnf1o3  6985  ener  7072  en0  7088  en1  7092  en2  7118  mapen  7152  ssenen  7158  preimaf1ofi  7275  ordiso2  7381  caseinl  7437  caseinr  7438  ctssdccl  7457  ctssdclemr  7458  enomnilem  7484  enmkvlem  7507  enwomnilem  7515  cc3  7640  fnn0nninf  10895  0tonninf  10897  1tonninf  10898  iseqf1olemkle  10954  iseqf1olemklt  10955  iseqf1olemqcl  10956  iseqf1olemnab  10958  iseqf1olemmo  10962  iseqf1olemqk  10964  seq3f1olemqsumkj  10968  seq3f1olemqsumk  10969  seq3f1olemstep  10971  seqf1oglem1  10976  seqf1oglem2  10977  hashfz1  11243  hashfacen  11305  seq3coll  11315  cnrecnv  11697  nnf1o  12167  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  prodmodclem3  12366  prodmodclem2a  12367  fprodssdc  12381  sqpweven  12979  2sqpwodd  12980  phimullem  13031  eulerthlemh  13037  1arith2  13175  xpnnen  13342  ennnfonelemjn  13350  ennnfonelemp1  13354  ennnfonelemhdmp1  13357  ennnfonelemss  13358  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemhf1o  13361  ennnfonelemex  13362  ennnfonelemf1  13366  ennnfonelemnn0  13370  ennnfonelemim  13372  ctinfomlemom  13375  ctiunctlemfo  13387  ssnnctlemct  13394  mhmf1o  13835  ghmf1o  14136  gzsumreidx  14230  gsumvalfi  14241  gsumf1ofi  14249  znleval  15096  psrass1filem  15186  txhmeo  15562  dfrelog  16106  relogf1o  16107  012of  17245  domomsubct  17253  exmidsbthrlem  17290  iswomninnlem  17323