Theorem f1ocnv 5593

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5425	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5185	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5415	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5588	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5588	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ^◡ccnv 4722  Rel wrel 4728   Fn wfn 5319  –1-1-onto→wf1o 5323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5594  f1orescnv  5596  f1imacnv  5597  f1cnv  5604  f1ococnv1  5609  f1oresrab  5808  f1ocnvfv2  5914  f1ocnvdm  5917  f1ocnvfvrneq  5918  fcof1o  5925  isocnv  5947  f1ofveu  6001  mapsnf1o3  6861  ener  6948  en0  6964  en1  6968  en2  6993  mapen  7027  ssenen  7032  preimaf1ofi  7141  ordiso2  7225  caseinl  7281  caseinr  7282  ctssdccl  7301  ctssdclemr  7302  enomnilem  7328  enmkvlem  7351  enwomnilem  7359  cc3  7477  fnn0nninf  10690  0tonninf  10692  1tonninf  10693  iseqf1olemkle  10749  iseqf1olemklt  10750  iseqf1olemqcl  10751  iseqf1olemnab  10753  iseqf1olemmo  10757  iseqf1olemqk  10759  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3f1olemqsumk  10764  seq3f1olemstep  10766  seqf1oglem1  10771  seqf1oglem2  10772  hashfz1  11035  hashfacen  11090  seq3coll  11096  cnrecnv  11461  nnf1o  11927  summodclem3  11931  summodclem2a  11932  prodmodclem3  12126  prodmodclem2a  12127  fprodssdc  12141  sqpweven  12737  2sqpwodd  12738  phimullem  12787  eulerthlemh  12793  1arith2  12931  xpnnen  13005  ennnfonelemjn  13013  ennnfonelemp1  13017  ennnfonelemhdmp1  13020  ennnfonelemss  13021  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemhf1o  13024  ennnfonelemex  13025  ennnfonelemf1  13029  ennnfonelemnn0  13033  ennnfonelemim  13035  ctinfomlemom  13038  ctiunctlemfo  13050  ssnnctlemct  13057  mhmf1o  13543  ghmf1o  13852  gsumfzreidx  13914  znleval  14657  txhmeo  15033  dfrelog  15574  relogf1o  15575  012of  16528  domomsubct  16538  exmidsbthrlem  16562  iswomninnlem  16589