Theorem f1ocnv 5474

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5314	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5079	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5304	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5469	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5469	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ^◡ccnv 4625  Rel wrel 4631   Fn wfn 5211  –1-1-onto→wf1o 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5475  f1orescnv  5477  f1imacnv  5478  f1cnv  5485  f1ococnv1  5490  f1oresrab  5681  f1ocnvfv2  5778  f1ocnvdm  5781  f1ocnvfvrneq  5782  fcof1o  5789  isocnv  5811  f1ofveu  5862  mapsnf1o3  6696  ener  6778  en0  6794  en1  6798  mapen  6845  ssenen  6850  preimaf1ofi  6949  ordiso2  7033  caseinl  7089  caseinr  7090  ctssdccl  7109  ctssdclemr  7110  enomnilem  7135  enmkvlem  7158  enwomnilem  7166  cc3  7266  fnn0nninf  10436  0tonninf  10438  1tonninf  10439  iseqf1olemkle  10483  iseqf1olemklt  10484  iseqf1olemqcl  10485  iseqf1olemnab  10487  iseqf1olemmo  10491  iseqf1olemqk  10493  seq3f1olemqsumkj  10497  seq3f1olemqsumk  10498  seq3f1olemstep  10500  hashfz1  10762  hashfacen  10815  seq3coll  10821  cnrecnv  10918  nnf1o  11383  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  prodmodclem3  11582  prodmodclem2a  11583  fprodssdc  11597  sqpweven  12174  2sqpwodd  12175  phimullem  12224  eulerthlemh  12230  1arith2  12365  xpnnen  12394  ennnfonelemjn  12402  ennnfonelemp1  12406  ennnfonelemhdmp1  12409  ennnfonelemss  12410  ennnfonelemkh  12412  ennnfonelemhf1o  12413  ennnfonelemex  12414  ennnfonelemf1  12418  ennnfonelemnn0  12422  ennnfonelemim  12424  ctinfomlemom  12427  ctiunctlemfo  12439  ssnnctlemct  12446  mhmf1o  12860  txhmeo  13789  dfrelog  14251  relogf1o  14252  012of  14715  exmidsbthrlem  14740  iswomninnlem  14767