Theorem f1ocnv 5514

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5353	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5117	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5343	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5509	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5509	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ^◡ccnv 4659  Rel wrel 4665   Fn wfn 5250  –1-1-onto→wf1o 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5515  f1orescnv  5517  f1imacnv  5518  f1cnv  5525  f1ococnv1  5530  f1oresrab  5724  f1ocnvfv2  5822  f1ocnvdm  5825  f1ocnvfvrneq  5826  fcof1o  5833  isocnv  5855  f1ofveu  5907  mapsnf1o3  6753  ener  6835  en0  6851  en1  6855  mapen  6904  ssenen  6909  preimaf1ofi  7012  ordiso2  7096  caseinl  7152  caseinr  7153  ctssdccl  7172  ctssdclemr  7173  enomnilem  7199  enmkvlem  7222  enwomnilem  7230  cc3  7330  fnn0nninf  10512  0tonninf  10514  1tonninf  10515  iseqf1olemkle  10571  iseqf1olemklt  10572  iseqf1olemqcl  10573  iseqf1olemnab  10575  iseqf1olemmo  10579  iseqf1olemqk  10581  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3f1olemqsumk  10586  seq3f1olemstep  10588  seqf1oglem1  10593  seqf1oglem2  10594  hashfz1  10857  hashfacen  10910  seq3coll  10916  cnrecnv  11057  nnf1o  11522  summodclem3  11526  summodclem2a  11527  prodmodclem3  11721  prodmodclem2a  11722  fprodssdc  11736  sqpweven  12316  2sqpwodd  12317  phimullem  12366  eulerthlemh  12372  1arith2  12509  xpnnen  12554  ennnfonelemjn  12562  ennnfonelemp1  12566  ennnfonelemhdmp1  12569  ennnfonelemss  12570  ennnfonelemkh  12572  ennnfonelemhf1o  12573  ennnfonelemex  12574  ennnfonelemf1  12578  ennnfonelemnn0  12582  ennnfonelemim  12584  ctinfomlemom  12587  ctiunctlemfo  12599  ssnnctlemct  12606  mhmf1o  13045  ghmf1o  13348  gsumfzreidx  13410  znleval  14152  txhmeo  14498  dfrelog  15036  relogf1o  15037  012of  15556  exmidsbthrlem  15582  iswomninnlem  15609