Theorem f1ocnv 5647

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5474	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5233	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5464	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5642	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5642	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ^◡ccnv 4768  Rel wrel 4774   Fn wfn 5367  –1-1-onto→wf1o 5371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5648  f1orescnv  5650  f1imacnv  5651  f1cnv  5658  f1ococnv1  5663  f1oresrab  5864  f1ocnvfv2  5974  f1ocnvdm  5977  f1ocnvfvrneq  5978  fcof1o  5985  isocnv  6007  f1ofveu  6063  mapsnf1o3  6969  ener  7056  en0  7072  en1  7076  en2  7102  mapen  7136  ssenen  7142  preimaf1ofi  7258  ordiso2  7365  caseinl  7421  caseinr  7422  ctssdccl  7441  ctssdclemr  7442  enomnilem  7468  enmkvlem  7491  enwomnilem  7499  cc3  7624  fnn0nninf  10853  0tonninf  10855  1tonninf  10856  iseqf1olemkle  10912  iseqf1olemklt  10913  iseqf1olemqcl  10914  iseqf1olemnab  10916  iseqf1olemmo  10920  iseqf1olemqk  10922  seq3f1olemqsumkj  10926  seq3f1olemqsumk  10927  seq3f1olemstep  10929  seqf1oglem1  10934  seqf1oglem2  10935  hashfz1  11200  hashfacen  11262  seq3coll  11272  cnrecnv  11654  nnf1o  12121  summodclem3  12125  summodclem2a  12126  prodmodclem3  12320  prodmodclem2a  12321  fprodssdc  12335  sqpweven  12931  2sqpwodd  12932  phimullem  12981  eulerthlemh  12987  1arith2  13125  xpnnen  13263  ennnfonelemjn  13271  ennnfonelemp1  13275  ennnfonelemhdmp1  13278  ennnfonelemss  13279  ennnfonelemkh  13281  ennnfonelemhf1o  13282  ennnfonelemex  13283  ennnfonelemf1  13287  ennnfonelemnn0  13291  ennnfonelemim  13293  ctinfomlemom  13296  ctiunctlemfo  13308  ssnnctlemct  13315  mhmf1o  13754  ghmf1o  14055  gzsumreidx  14118  gsumvalfi  14129  gsumf1ofi  14137  znleval  14960  txhmeo  15343  dfrelog  15884  relogf1o  15885  012of  16937  domomsubct  16945  exmidsbthrlem  16972  iswomninnlem  17004