Theorem f1ocnv 5466

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5306	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5071	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5296	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5461	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5461	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ^◡ccnv 4619  Rel wrel 4625   Fn wfn 5203  –1-1-onto→wf1o 5207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5467  f1orescnv  5469  f1imacnv  5470  f1cnv  5477  f1ococnv1  5482  f1oresrab  5673  f1ocnvfv2  5769  f1ocnvdm  5772  f1ocnvfvrneq  5773  fcof1o  5780  isocnv  5802  f1ofveu  5853  mapsnf1o3  6687  ener  6769  en0  6785  en1  6789  mapen  6836  ssenen  6841  preimaf1ofi  6940  ordiso2  7024  caseinl  7080  caseinr  7081  ctssdccl  7100  ctssdclemr  7101  enomnilem  7126  enmkvlem  7149  enwomnilem  7157  cc3  7242  fnn0nninf  10407  0tonninf  10409  1tonninf  10410  iseqf1olemkle  10454  iseqf1olemklt  10455  iseqf1olemqcl  10456  iseqf1olemnab  10458  iseqf1olemmo  10462  iseqf1olemqk  10464  seq3f1olemqsumkj  10468  seq3f1olemqsumk  10469  seq3f1olemstep  10471  hashfz1  10731  hashfacen  10784  seq3coll  10790  cnrecnv  10887  nnf1o  11352  summodclem3  11356  summodclem2a  11357  prodmodclem3  11551  prodmodclem2a  11552  fprodssdc  11566  sqpweven  12142  2sqpwodd  12143  phimullem  12192  eulerthlemh  12198  1arith2  12333  xpnnen  12362  ennnfonelemjn  12370  ennnfonelemp1  12374  ennnfonelemhdmp1  12377  ennnfonelemss  12378  ennnfonelemkh  12380  ennnfonelemhf1o  12381  ennnfonelemex  12382  ennnfonelemf1  12386  ennnfonelemnn0  12390  ennnfonelemim  12392  ctinfomlemom  12395  ctiunctlemfo  12407  ssnnctlemct  12414  mhmf1o  12724  txhmeo  13390  dfrelog  13852  relogf1o  13853  012of  14305  exmidsbthrlem  14331  iswomninnlem  14358