Theorem f1ocnv 5596

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5187	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5418	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5591	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5591	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397  ^◡ccnv 4724  Rel wrel 4730   Fn wfn 5321  –1-1-onto→wf1o 5325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5597  f1orescnv  5599  f1imacnv  5600  f1cnv  5607  f1ococnv1  5612  f1oresrab  5812  f1ocnvfv2  5918  f1ocnvdm  5921  f1ocnvfvrneq  5922  fcof1o  5929  isocnv  5951  f1ofveu  6005  mapsnf1o3  6865  ener  6952  en0  6968  en1  6972  en2  6997  mapen  7031  ssenen  7036  preimaf1ofi  7149  ordiso2  7233  caseinl  7289  caseinr  7290  ctssdccl  7309  ctssdclemr  7310  enomnilem  7336  enmkvlem  7359  enwomnilem  7367  cc3  7486  fnn0nninf  10699  0tonninf  10701  1tonninf  10702  iseqf1olemkle  10758  iseqf1olemklt  10759  iseqf1olemqcl  10760  iseqf1olemnab  10762  iseqf1olemmo  10766  iseqf1olemqk  10768  seq3f1olemqsumkj  10772  seq3f1olemqsumk  10773  seq3f1olemstep  10775  seqf1oglem1  10780  seqf1oglem2  10781  hashfz1  11044  hashfacen  11099  seq3coll  11105  cnrecnv  11470  nnf1o  11936  summodclem3  11940  summodclem2a  11941  prodmodclem3  12135  prodmodclem2a  12136  fprodssdc  12150  sqpweven  12746  2sqpwodd  12747  phimullem  12796  eulerthlemh  12802  1arith2  12940  xpnnen  13014  ennnfonelemjn  13022  ennnfonelemp1  13026  ennnfonelemhdmp1  13029  ennnfonelemss  13030  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemhf1o  13033  ennnfonelemex  13034  ennnfonelemf1  13038  ennnfonelemnn0  13042  ennnfonelemim  13044  ctinfomlemom  13047  ctiunctlemfo  13059  ssnnctlemct  13066  mhmf1o  13552  ghmf1o  13861  gsumfzreidx  13923  znleval  14666  txhmeo  15042  dfrelog  15583  relogf1o  15584  012of  16592  domomsubct  16602  exmidsbthrlem  16626  iswomninnlem  16653  gfsumval  16680