Theorem f1ocnv 5517

Description: The converse of a one-to-one onto function is also one-to-one onto. (Contributed by NM, 11-Feb-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnv	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Proof of Theorem f1ocnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5356	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Rel 𝐹)
2		dfrel2 5120	. . . . . 6 ⊢ (Rel 𝐹 ↔ ◡◡𝐹 = 𝐹)
3		fneq1 5346	. . . . . . 7 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (◡◡𝐹 Fn 𝐴 ↔ 𝐹 Fn 𝐴))
4	3	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ (◡◡𝐹 = 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
5	2, 4	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐹 → (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
6	1, 5	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ◡◡𝐹 Fn 𝐴)
7	6	anim2i 342	. . 3 ⊢ ((◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ 𝐹 Fn 𝐴) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵) → (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
9		dff1o4 5512	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ◡𝐹 Fn 𝐵))
10		dff1o4 5512	. 2 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (◡𝐹 Fn 𝐵 ∧ ◡◡𝐹 Fn 𝐴))
11	8, 9, 10	3imtr4i 201	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ^◡ccnv 4662  Rel wrel 4668   Fn wfn 5253  –1-1-onto→wf1o 5257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  f1ocnvb  5518  f1orescnv  5520  f1imacnv  5521  f1cnv  5528  f1ococnv1  5533  f1oresrab  5727  f1ocnvfv2  5825  f1ocnvdm  5828  f1ocnvfvrneq  5829  fcof1o  5836  isocnv  5858  f1ofveu  5910  mapsnf1o3  6756  ener  6838  en0  6854  en1  6858  mapen  6907  ssenen  6912  preimaf1ofi  7017  ordiso2  7101  caseinl  7157  caseinr  7158  ctssdccl  7177  ctssdclemr  7178  enomnilem  7204  enmkvlem  7227  enwomnilem  7235  cc3  7335  fnn0nninf  10530  0tonninf  10532  1tonninf  10533  iseqf1olemkle  10589  iseqf1olemklt  10590  iseqf1olemqcl  10591  iseqf1olemnab  10593  iseqf1olemmo  10597  iseqf1olemqk  10599  seq3f1olemqsumkj  10603  seq3f1olemqsumk  10604  seq3f1olemstep  10606  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  hashfz1  10875  hashfacen  10928  seq3coll  10934  cnrecnv  11075  nnf1o  11541  summodclem3  11545  summodclem2a  11546  prodmodclem3  11740  prodmodclem2a  11741  fprodssdc  11755  sqpweven  12343  2sqpwodd  12344  phimullem  12393  eulerthlemh  12399  1arith2  12537  xpnnen  12611  ennnfonelemjn  12619  ennnfonelemp1  12623  ennnfonelemhdmp1  12626  ennnfonelemss  12627  ennnfonelemkh  12629  ennnfonelemhf1o  12630  ennnfonelemex  12631  ennnfonelemf1  12635  ennnfonelemnn0  12639  ennnfonelemim  12641  ctinfomlemom  12644  ctiunctlemfo  12656  ssnnctlemct  12663  mhmf1o  13102  ghmf1o  13405  gsumfzreidx  13467  znleval  14209  txhmeo  14555  dfrelog  15096  relogf1o  15097  012of  15640  exmidsbthrlem  15666  iswomninnlem  15693