Theorem breqtrrd 4061

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2202	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	breqtrd 4059	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034

This theorem is referenced by:  frirrg  4385  unsnfidcex  6981  unsnfidcel  6982  addlocprlemeq  7600  ltexprlemopl  7668  recexprlemloc  7698  cauappcvgprlemopl  7713  cauappcvgprlemladdfu  7721  cauappcvgprlem1  7726  caucvgprlemopl  7736  caucvgprlemladdfu  7744  caucvgprprlemopl  7764  caucvgprprlemexbt  7773  mulgt0sr  7845  archsr  7849  caucvgsrlemoffgt1  7866  suplocsrlemb  7873  suplocsrlem  7875  mulap0r  8642  prodgt0  8879  div4p1lem1div2  9245  mul2lt0rgt0  9835  xnn0dcle  9877  xnn0letri  9878  xleadd1a  9948  xltadd1  9951  xlt2add  9955  xposdif  9957  xlesubadd  9958  xleaddadd  9962  uzsubsubfz  10122  fzctr  10208  subfzo0  10318  exbtwnzlemstep  10337  exbtwnzlemex  10339  rebtwn2zlemstep  10342  rebtwn2z  10344  qbtwnxr  10347  xqltnle  10357  fldiv4lem1div2uz2  10396  ceilqge  10402  modqge0  10424  modqlt  10425  modqid  10441  m1modge3gt1  10463  modaddmodup  10479  addmodlteq  10490  ser3mono  10579  seqf1oglem1  10611  seqf1oglem2  10612  ser3ge0  10628  ser3le  10629  leexp1a  10686  sqgt0ap  10700  sqge0  10708  nnlesq  10735  expnbnd  10755  nn0opthlem2d  10813  facwordi  10832  filtinf  10883  hashunlem  10896  zfz1isolemiso  10931  cjmulge0  11054  resqrexlemover  11175  resqrexlemdec  11176  resqrexlemlo  11178  resqrexlemcalc3  11181  resqrexlemcvg  11184  resqrexlemoverl  11186  resqrexlemglsq  11187  resqrexlemga  11188  absge0  11225  amgm2  11283  maxle1  11376  bdtrilem  11404  xrmaxifle  11411  xrmaxiflemlub  11413  xrmaxiflemval  11415  xrmax1sup  11418  xrmaxltsup  11423  xrmaxadd  11426  xrbdtri  11441  reccn2ap  11478  climle  11499  climserle  11510  isumclim2  11587  isumclim3  11588  isumge0  11595  fsumlessfi  11625  expcnvap0  11667  expcnvre  11668  explecnv  11670  absltap  11674  cvgratnnlembern  11688  cvgratnnlemnexp  11689  cvgratnnlemmn  11690  cvgratnnlemabsle  11692  cvgratnnlemfm  11694  cvgratnnlemrate  11695  mertenslemi1  11700  mertenslem2  11701  clim2divap  11705  prodmodclem3  11740  efcvg  11831  ege2le3  11836  efaddlem  11839  eftlub  11855  effsumlt  11857  ef01bndlem  11921  sin02gt0  11929  eirrap  11943  iddvdsexp  11980  dvdsadd  12001  dvdsfac  12025  dvdsmod  12027  3dvds  12029  omoe  12061  divalglemnn  12083  divalglemnqt  12085  flodddiv4t2lthalf  12104  bitsfzo  12119  dvdslegcd  12131  dfgcd3  12177  dvdssqim  12191  dvdsmulgcd  12192  nn0seqcvgd  12209  dvdslcm  12237  lcmgcdlem  12245  mulgcddvds  12262  qredeq  12264  cncongr2  12272  sqnprm  12304  isprm6  12315  sqpweven  12343  znege1  12346  sqrt2irrap  12348  nonsq  12375  hashdvds  12389  prmdiv  12403  odzdvds  12414  pythagtriplem4  12437  pcpre1  12461  pcdvdsb  12489  pcz  12501  pcprmpw2  12502  pcaddlem  12508  pcadd  12509  pcadd2  12510  pcmpt  12512  pcmptdvds  12514  fldivp1  12517  pcfaclem  12518  pockthlem  12525  4sqlem6  12552  4sqlem8  12554  4sqexercise1  12567  4sqexercise2  12568  4sqlemsdc  12569  4sqlem11  12570  4sqlem12  12571  4sqlem14  12573  4sqlem16  12575  ennnfonelemkh  12629  nninfdclemp1  12667  eqgen  13357  dvdsrmul1  13658  unitmulclb  13670  subrguss  13792  znidom  14213  znunit  14215  psmetxrge0  14568  isxmet2d  14584  mettri  14609  xmettri3  14610  mettri3  14611  xblss2ps  14640  blss2ps  14642  blss2  14643  blssps  14663  blss  14664  xmetxp  14743  ivthdec  14880  ivthreinc  14881  hoverb  14884  hovergt0  14886  sin0pilem1  15017  sinq12gt0  15066  tangtx  15074  cosordlem  15085  cosq34lt1  15086  logdivlti  15117  logbgcd1irrap  15206  perfectlem1  15235  lgsdilem2  15277  gausslemma2dlem1f1o  15301  lgsquadlem1  15318  2lgsoddprmlem2  15347  2sqlem3  15358  2sqlem8  15364  cvgcmp2nlemabs  15676  trilpolemclim  15680  trilpolemeq1  15684  apdifflemf  15690  apdifflemr  15691  nconstwlpolemgt0  15708