Theorem breqtrrd 3848

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
breqtrrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
breqtrrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breqtrrd	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem breqtrrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breqtrrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐵)
2		breqtrrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2090	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
4	1, 3	breqtrd 3846	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287   class class class wbr 3822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-v 2617  df-un 2992  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3823

This theorem is referenced by:  frirrg  4153  unsnfidcex  6584  unsnfidcel  6585  addlocprlemeq  7039  ltexprlemopl  7107  recexprlemloc  7137  cauappcvgprlemopl  7152  cauappcvgprlemladdfu  7160  cauappcvgprlem1  7165  caucvgprlemopl  7175  caucvgprlemladdfu  7183  caucvgprprlemopl  7203  caucvgprprlemexbt  7212  mulgt0sr  7270  archsr  7274  caucvgsrlemoffgt1  7291  mulap0r  8036  prodgt0  8251  div4p1lem1div2  8605  uzsubsubfz  9396  fzctr  9475  subfzo0  9584  exbtwnzlemstep  9590  exbtwnzlemex  9592  rebtwn2zlemstep  9595  rebtwn2z  9597  qbtwnxr  9600  ceilqge  9648  modqge0  9670  modqlt  9671  modqid  9687  m1modge3gt1  9709  modaddmodup  9725  addmodlteq  9736  isermono  9815  serile  9855  leexp1a  9912  sqgt0ap  9925  sqge0  9933  nnlesq  9959  expnbnd  9977  nn0opthlem2d  10029  facwordi  10048  filtinf  10100  hashunlem  10112  zfz1isolemiso  10144  cjmulge0  10222  resqrexlemover  10342  resqrexlemdec  10343  resqrexlemlo  10345  resqrexlemcalc3  10348  resqrexlemcvg  10351  resqrexlemoverl  10353  resqrexlemglsq  10354  resqrexlemga  10355  absge0  10392  amgm2  10450  maxle1  10543  climle  10619  climserile  10630  iddvdsexp  10726  dvdsadd  10745  dvdsfac  10767  dvdsmod  10769  omoe  10802  divalglemnn  10824  divalglemnqt  10826  flodddiv4t2lthalf  10843  dvdslegcd  10862  dfgcd3  10905  dvdssqim  10919  dvdsmulgcd  10920  nn0seqcvgd  10929  dvdslcm  10957  lcmgcdlem  10965  mulgcddvds  10982  qredeq  10984  cncongr2  10992  sqnprm  11023  isprm6  11032  sqpweven  11059  znege1  11062  sqrt2irrap  11064  nonsq  11091  hashdvds  11103