Theorem fun2dmnop0 11280

Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. This stronger version of fun2dmnop 11281 (with the less restrictive requirement that (𝐺 ∖ {∅}) needs to be a function instead of 𝐺) is useful for proofs for extensible structures, see structn0fun 13343. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Revised by AV, 7-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun2dmnop.a	⊢ 𝐴 ∈ V
fun2dmnop.b	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fun2dmnop0	⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Proof of Theorem fun2dmnop0

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1031	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
2		dmexg 5041	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ (V × V) → dom 𝐺 ∈ V)
3		simpl3 1033	. . . . . 6 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺)
4		fun2dmnop.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ∈ V
5	4	prid1 3813	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵}
6	5	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 𝐴 ∈ {𝐴, 𝐵})
7	3, 6	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 𝐴 ∈ dom 𝐺)
8		fun2dmnop.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ V
9	8	prid2 3814	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵}
10	9	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
11	3, 10	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 𝐵 ∈ dom 𝐺)
12		simpl2 1032	. . . . 5 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
13		neeq1 2433	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝑏))
14		neeq2 2434	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝑏 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))
15	13, 14	rspc2ev 2945	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐵 ∈ dom 𝐺 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
16	7, 11, 12, 15	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏)
17		rex2dom 7100	. . . 4 ⊢ ((dom 𝐺 ∈ V ∧ ∃𝑎 ∈ dom 𝐺∃𝑏 ∈ dom 𝐺 𝑎 ≠ 𝑏) → 2o ≼ dom 𝐺)
18	2, 16, 17	syl2an2 602	. . 3 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → 2o ≼ dom 𝐺)
19		fundm2domnop0 11278	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2o ≼ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
20	1, 18, 19	syl2anc 415	. 2 ⊢ (((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) ∧ 𝐺 ∈ (V × V)) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
21	20	pm2.01da 645	1 ⊢ ((Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ {𝐴, 𝐵} ⊆ dom 𝐺) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3705  {cpr 3706   class class class wbr 4125   × cxp 4767  dom cdm 4769  Fun wfun 5366  2_oc2o 6671   ≼ cdom 7011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678  df-en 7013  df-dom 7014

This theorem is referenced by:  fun2dmnop  11281  funvtxdm2vald  16186  funiedgdm2vald  16187