Theorem ialgrlemconst 12608

Description: Lemma for ialgr0 12609. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10717 or seqf 10719. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ialgrlemconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ialgrlemconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlemconst	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlemconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ialgrlemconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		ialgrlemconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	biimpri 133	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
5		fvconst2g 5863	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	1, 4, 5	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	6, 7	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667   × cxp 4721  ‘cfv 5324  ℤ_≥cuz 9748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  ialgr0  12609  algrp1  12611  mulgnn0z  13729  mulgnndir  13731  mulgpropdg  13744