Theorem ialgrlemconst 12748

Description: Lemma for ialgr0 12749. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10831 or seqf 10833. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ialgrlemconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ialgrlemconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlemconst	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlemconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ialgrlemconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		ialgrlemconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eleq2i 2301	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	biimpri 133	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
5		fvconst2g 5900	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	1, 4, 5	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	6, 7	eqeltrd 2311	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691   × cxp 4749  ‘cfv 5354  ℤ_≥cuz 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  ialgr0  12749  algrp1  12751  mulgnn0z  13887  mulgnndir  13889  mulgpropdg  13902