Theorem ialgrlemconst 11760

Description: Lemma for ialgr0 11761. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10264 or seqf 10265. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ialgrlemconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ialgrlemconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlemconst	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlemconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ialgrlemconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		ialgrlemconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eleq2i 2207	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	biimpri 132	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
5		fvconst2g 5642	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	1, 4, 5	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	6, 7	eqeltrd 2217	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  {csn 3532   × cxp 4545  ‘cfv 5131  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  ialgr0  11761  algrp1  11763