Theorem ialgrlemconst 11975

Description: Lemma for ialgr0 11976. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10395 or seqf 10396. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ialgrlemconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ialgrlemconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlemconst	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlemconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ialgrlemconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		ialgrlemconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eleq2i 2233	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	biimpri 132	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
5		fvconst2g 5699	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	1, 4, 5	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	6, 7	eqeltrd 2243	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576   × cxp 4602  ‘cfv 5188  ℤ_≥cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  ialgr0  11976  algrp1  11978