Theorem ialgrlemconst 12037

Description: Lemma for ialgr0 12038. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10457 or seqf 10458. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ialgrlemconst.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
ialgrlemconst.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlemconst	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlemconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ialgrlemconst.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
2		ialgrlemconst.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	eleq2i 2244	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	3	biimpri 133	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑥 ∈ 𝑍)
5		fvconst2g 5730	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
6	1, 4, 5	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) = 𝐴)
7	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	6, 7	eqeltrd 2254	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592   × cxp 4624  ‘cfv 5216  ℤ_≥cuz 9526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  ialgr0  12038  algrp1  12040  mulgnn0z  12963  mulgnndir  12965  mulgpropdg  12978