Theorem fvconst2g 5857

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5524	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5831	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   × cxp 4717  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fconst2g  5858  fvconst2  5859  ofc1g  6246  ofc2g  6247  caofid0l  6251  caofid0r  6252  caofid1  6253  caofid2  6254  ser0  10763  exp3vallem  10770  exp3val  10771  exp1  10775  expp1  10776  resqrexlem1arp  11524  resqrexlemf1  11527  climconst2  11810  climaddc1  11848  climmulc2  11850  climsubc1  11851  climsubc2  11852  climlec2  11860  prodf1  12061  prod0  12104  ialgrlemconst  12573  ialgr0  12574  algrf  12575  algrp1  12576  pwsbas  13333  pwsplusgval  13336  pwsmulrval  13337  0mhm  13527  pwsinvg  13653  mulgval  13667  mulgfng  13669  mulgnngsum  13672  mulg1  13674  mulgnnp1  13675  mulgnnsubcl  13679  mulgnn0z  13694  mulgnndir  13696  mplsubgfilemm  14670  lmconst  14898  cnconst2  14915  dvidlemap  15373  dvidrelem  15374  dvidsslem  15375  dvconst  15376  dvconstre  15378  dvconstss  15380  dvef  15409