Theorem fvconst2g 5772

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5450	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5746	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {csn 3618   × cxp 4657  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fconst2g  5773  fvconst2  5774  ofc1g  6151  ofc2g  6152  ser0  10604  exp3vallem  10611  exp3val  10612  exp1  10616  expp1  10617  resqrexlem1arp  11149  resqrexlemf1  11152  climconst2  11434  climaddc1  11472  climmulc2  11474  climsubc1  11475  climsubc2  11476  climlec2  11484  prodf1  11685  prod0  11728  ialgrlemconst  12181  ialgr0  12182  algrf  12183  algrp1  12184  0mhm  13058  mulgval  13192  mulgfng  13194  mulgnngsum  13197  mulg1  13199  mulgnnp1  13200  mulgnnsubcl  13204  mulgnn0z  13219  mulgnndir  13221  lmconst  14384  cnconst2  14401  dvidlemap  14845  dvconst  14846  dvef  14873