Theorem fvconst2g 5900

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5566	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5874	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3691   × cxp 4749  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362

This theorem is referenced by:  fconst2g  5901  fvconst2  5902  ofc1g  6290  ofc2g  6291  caofid0l  6295  caofid0r  6296  caofid1  6297  caofid2  6298  fczsupp0  6461  ser0  10902  exp3vallem  10909  exp3val  10910  exp1  10914  expp1  10915  resqrexlem1arp  11698  resqrexlemf1  11701  climconst2  11984  climaddc1  12022  climmulc2  12024  climsubc1  12025  climsubc2  12026  climlec2  12034  prodf1  12236  prod0  12279  ialgrlemconst  12748  ialgr0  12749  algrf  12750  algrp1  12751  pwsbas  13526  pwsplusgval  13529  pwsmulrval  13530  0mhm  13720  pwsinvg  13846  mulgval  13860  mulgfng  13862  mulgnngsum  13865  mulg1  13867  mulgnnp1  13868  mulgnnsubcl  13872  mulgnn0z  13887  mulgnndir  13889  mplsubgfilemm  14902  lmconst  15130  cnconst2  15147  dvidlemap  15605  dvidrelem  15606  dvidsslem  15607  dvconst  15608  dvconstre  15610  dvconstss  15612  dvef  15641