Theorem fvconst2g 5871

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5536	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5845	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  {csn 3670   × cxp 4725  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336

This theorem is referenced by:  fconst2g  5872  fvconst2  5873  ofc1g  6262  ofc2g  6263  caofid0l  6267  caofid0r  6268  caofid1  6269  caofid2  6270  ser0  10801  exp3vallem  10808  exp3val  10809  exp1  10813  expp1  10814  resqrexlem1arp  11588  resqrexlemf1  11591  climconst2  11874  climaddc1  11912  climmulc2  11914  climsubc1  11915  climsubc2  11916  climlec2  11924  prodf1  12126  prod0  12169  ialgrlemconst  12638  ialgr0  12639  algrf  12640  algrp1  12641  pwsbas  13398  pwsplusgval  13401  pwsmulrval  13402  0mhm  13592  pwsinvg  13718  mulgval  13732  mulgfng  13734  mulgnngsum  13737  mulg1  13739  mulgnnp1  13740  mulgnnsubcl  13744  mulgnn0z  13759  mulgnndir  13761  mplsubgfilemm  14741  lmconst  14969  cnconst2  14986  dvidlemap  15444  dvidrelem  15445  dvidsslem  15446  dvconst  15447  dvconstre  15449  dvconstss  15451  dvef  15480