Theorem fvconst2g 5863

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5530	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5837	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3667   × cxp 4721  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fconst2g  5864  fvconst2  5865  ofc1g  6252  ofc2g  6253  caofid0l  6257  caofid0r  6258  caofid1  6259  caofid2  6260  ser0  10788  exp3vallem  10795  exp3val  10796  exp1  10800  expp1  10801  resqrexlem1arp  11559  resqrexlemf1  11562  climconst2  11845  climaddc1  11883  climmulc2  11885  climsubc1  11886  climsubc2  11887  climlec2  11895  prodf1  12096  prod0  12139  ialgrlemconst  12608  ialgr0  12609  algrf  12610  algrp1  12611  pwsbas  13368  pwsplusgval  13371  pwsmulrval  13372  0mhm  13562  pwsinvg  13688  mulgval  13702  mulgfng  13704  mulgnngsum  13707  mulg1  13709  mulgnnp1  13710  mulgnnsubcl  13714  mulgnn0z  13729  mulgnndir  13731  mplsubgfilemm  14705  lmconst  14933  cnconst2  14950  dvidlemap  15408  dvidrelem  15409  dvidsslem  15410  dvconst  15411  dvconstre  15413  dvconstss  15415  dvef  15444