Theorem fvconst2g 5826

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5498	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5800	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {csn 3646   × cxp 4694  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302

This theorem is referenced by:  fconst2g  5827  fvconst2  5828  ofc1g  6210  ofc2g  6211  caofid0l  6215  caofid0r  6216  caofid1  6217  caofid2  6218  ser0  10722  exp3vallem  10729  exp3val  10730  exp1  10734  expp1  10735  resqrexlem1arp  11482  resqrexlemf1  11485  climconst2  11768  climaddc1  11806  climmulc2  11808  climsubc1  11809  climsubc2  11810  climlec2  11818  prodf1  12019  prod0  12062  ialgrlemconst  12531  ialgr0  12532  algrf  12533  algrp1  12534  pwsbas  13291  pwsplusgval  13294  pwsmulrval  13295  0mhm  13485  pwsinvg  13611  mulgval  13625  mulgfng  13627  mulgnngsum  13630  mulg1  13632  mulgnnp1  13633  mulgnnsubcl  13637  mulgnn0z  13652  mulgnndir  13654  mplsubgfilemm  14627  lmconst  14855  cnconst2  14872  dvidlemap  15330  dvidrelem  15331  dvidsslem  15332  dvconst  15333  dvconstre  15335  dvconstss  15337  dvef  15366