Theorem fvconst2g 5779

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5457	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5753	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fconst2g  5780  fvconst2  5781  ofc1g  6161  ofc2g  6162  caofid0l  6166  caofid0r  6167  caofid1  6168  caofid2  6169  ser0  10642  exp3vallem  10649  exp3val  10650  exp1  10654  expp1  10655  resqrexlem1arp  11187  resqrexlemf1  11190  climconst2  11473  climaddc1  11511  climmulc2  11513  climsubc1  11514  climsubc2  11515  climlec2  11523  prodf1  11724  prod0  11767  ialgrlemconst  12236  ialgr0  12237  algrf  12238  algrp1  12239  pwsbas  12994  pwsplusgval  12997  pwsmulrval  12998  0mhm  13188  pwsinvg  13314  mulgval  13328  mulgfng  13330  mulgnngsum  13333  mulg1  13335  mulgnnp1  13336  mulgnnsubcl  13340  mulgnn0z  13355  mulgnndir  13357  lmconst  14536  cnconst2  14553  dvidlemap  15011  dvidrelem  15012  dvidsslem  15013  dvconst  15014  dvconstre  15016  dvconstss  15018  dvef  15047