Theorem fvconst2g 5860

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5527	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5834	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {csn 3666   × cxp 4718  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329

This theorem is referenced by:  fconst2g  5861  fvconst2  5862  ofc1g  6249  ofc2g  6250  caofid0l  6254  caofid0r  6255  caofid1  6256  caofid2  6257  ser0  10772  exp3vallem  10779  exp3val  10780  exp1  10784  expp1  10785  resqrexlem1arp  11537  resqrexlemf1  11540  climconst2  11823  climaddc1  11861  climmulc2  11863  climsubc1  11864  climsubc2  11865  climlec2  11873  prodf1  12074  prod0  12117  ialgrlemconst  12586  ialgr0  12587  algrf  12588  algrp1  12589  pwsbas  13346  pwsplusgval  13349  pwsmulrval  13350  0mhm  13540  pwsinvg  13666  mulgval  13680  mulgfng  13682  mulgnngsum  13685  mulg1  13687  mulgnnp1  13688  mulgnnsubcl  13692  mulgnn0z  13707  mulgnndir  13709  mplsubgfilemm  14683  lmconst  14911  cnconst2  14928  dvidlemap  15386  dvidrelem  15387  dvidsslem  15388  dvconst  15389  dvconstre  15391  dvconstss  15393  dvef  15422