Theorem fvconst2g 5868

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5533	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5842	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669   × cxp 4723  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fconst2g  5869  fvconst2  5870  ofc1g  6257  ofc2g  6258  caofid0l  6262  caofid0r  6263  caofid1  6264  caofid2  6265  ser0  10796  exp3vallem  10803  exp3val  10804  exp1  10808  expp1  10809  resqrexlem1arp  11567  resqrexlemf1  11570  climconst2  11853  climaddc1  11891  climmulc2  11893  climsubc1  11894  climsubc2  11895  climlec2  11903  prodf1  12105  prod0  12148  ialgrlemconst  12617  ialgr0  12618  algrf  12619  algrp1  12620  pwsbas  13377  pwsplusgval  13380  pwsmulrval  13381  0mhm  13571  pwsinvg  13697  mulgval  13711  mulgfng  13713  mulgnngsum  13716  mulg1  13718  mulgnnp1  13719  mulgnnsubcl  13723  mulgnn0z  13738  mulgnndir  13740  mplsubgfilemm  14715  lmconst  14943  cnconst2  14960  dvidlemap  15418  dvidrelem  15419  dvidsslem  15420  dvconst  15421  dvconstre  15423  dvconstss  15425  dvef  15454