Theorem fvconst2g 5903

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5569	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5877	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {csn 3694   × cxp 4752  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fconst2g  5904  fvconst2  5905  ofc1g  6297  ofc2g  6298  caofid0l  6302  caofid0r  6303  caofid1  6304  caofid2  6305  fczsupp0  6472  ser0  10922  exp3vallem  10929  exp3val  10930  exp1  10934  expp1  10935  resqrexlem1arp  11718  resqrexlemf1  11721  climconst2  12004  climaddc1  12042  climmulc2  12044  climsubc1  12045  climsubc2  12046  climlec2  12054  prodf1  12256  prod0  12299  ialgrlemconst  12768  ialgr0  12769  algrf  12770  algrp1  12771  0mhm  13744  mulgval  13878  mulgfng  13880  mulgnngsum  13883  mulg1  13885  mulgnnp1  13886  mulgnnsubcl  13890  mulgnn0z  13905  mulgnndir  13907  pwsbas  14150  pwsplusgval  14153  pwsmulrval  14154  pwsinvg  14160  mplsubgfilemm  14982  lmconst  15210  cnconst2  15227  dvidlemap  15685  dvidrelem  15686  dvidsslem  15687  dvconst  15688  dvconstre  15690  dvconstss  15692  dvef  15721