Theorem fvconst2g 5779

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5457	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5753	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fconst2g  5780  fvconst2  5781  ofc1g  6161  ofc2g  6162  caofid0l  6166  caofid0r  6167  caofid1  6168  caofid2  6169  ser0  10644  exp3vallem  10651  exp3val  10652  exp1  10656  expp1  10657  resqrexlem1arp  11189  resqrexlemf1  11192  climconst2  11475  climaddc1  11513  climmulc2  11515  climsubc1  11516  climsubc2  11517  climlec2  11525  prodf1  11726  prod0  11769  ialgrlemconst  12238  ialgr0  12239  algrf  12240  algrp1  12241  pwsbas  12996  pwsplusgval  12999  pwsmulrval  13000  0mhm  13190  pwsinvg  13316  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnngsum  13335  mulg1  13337  mulgnnp1  13338  mulgnnsubcl  13342  mulgnn0z  13357  mulgnndir  13359  lmconst  14538  cnconst2  14555  dvidlemap  15013  dvidrelem  15014  dvidsslem  15015  dvconst  15016  dvconstre  15018  dvconstss  15020  dvef  15049