Theorem fvconst2g 5897

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5563	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5871	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3688   × cxp 4746  ⟶wf 5347  ‘cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359

This theorem is referenced by:  fconst2g  5898  fvconst2  5899  ofc1g  6287  ofc2g  6288  caofid0l  6292  caofid0r  6293  caofid1  6294  caofid2  6295  fczsupp0  6458  ser0  10891  exp3vallem  10898  exp3val  10899  exp1  10903  expp1  10904  resqrexlem1arp  11683  resqrexlemf1  11686  climconst2  11969  climaddc1  12007  climmulc2  12009  climsubc1  12010  climsubc2  12011  climlec2  12019  prodf1  12221  prod0  12264  ialgrlemconst  12733  ialgr0  12734  algrf  12735  algrp1  12736  pwsbas  13494  pwsplusgval  13497  pwsmulrval  13498  0mhm  13688  pwsinvg  13814  mulgval  13828  mulgfng  13830  mulgnngsum  13833  mulg1  13835  mulgnnp1  13836  mulgnnsubcl  13840  mulgnn0z  13855  mulgnndir  13857  mplsubgfilemm  14840  lmconst  15068  cnconst2  15085  dvidlemap  15543  dvidrelem  15544  dvidsslem  15545  dvconst  15546  dvconstre  15548  dvconstss  15550  dvef  15579