Theorem fvconst2g 5821

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 20-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fvconst2g	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstg 5494	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → (𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵})
2		fvconst 5795	. 2 ⊢ (((𝐴 × {𝐵}):𝐴⟶{𝐵} ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	sylan 283	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {csn 3643   × cxp 4691  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fconst2g  5822  fvconst2  5823  ofc1g  6203  ofc2g  6204  caofid0l  6208  caofid0r  6209  caofid1  6210  caofid2  6211  ser0  10715  exp3vallem  10722  exp3val  10723  exp1  10727  expp1  10728  resqrexlem1arp  11431  resqrexlemf1  11434  climconst2  11717  climaddc1  11755  climmulc2  11757  climsubc1  11758  climsubc2  11759  climlec2  11767  prodf1  11968  prod0  12011  ialgrlemconst  12480  ialgr0  12481  algrf  12482  algrp1  12483  pwsbas  13239  pwsplusgval  13242  pwsmulrval  13243  0mhm  13433  pwsinvg  13559  mulgval  13573  mulgfng  13575  mulgnngsum  13578  mulg1  13580  mulgnnp1  13581  mulgnnsubcl  13585  mulgnn0z  13600  mulgnndir  13602  mplsubgfilemm  14575  lmconst  14803  cnconst2  14820  dvidlemap  15278  dvidrelem  15279  dvidsslem  15280  dvconst  15281  dvconstre  15283  dvconstss  15285  dvef  15314