Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgr0 GIF version

Theorem ialgr0 11736
 Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at 0 is the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
ialgr0 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem ialgr0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
21fveq1i 5422 . 2 (𝑅𝑀) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀)
3 algrf.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 algrf.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
64, 5ialgrlemconst 11735 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
7 algrf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
87ialgrlem1st 11734 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
93, 6, 8seq3-1 10245 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
10 uzid 9352 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
113, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1211, 4eleqtrrdi 2233 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
13 fvconst2g 5634 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑀𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
145, 12, 13syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
159, 14eqtrd 2172 . 2 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = 𝐴)
162, 15syl5eq 2184 1 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {csn 3527   × cxp 4537   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  1st c1st 6036  ℤcz 9066  ℤ≥cuz 9338  seqcseq 10230 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231 This theorem is referenced by:  algcvg  11740  eucalg  11751
 Copyright terms: Public domain W3C validator