Theorem ialgr0 12847

Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at 0 is the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
algrf.2	⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
algrf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgr0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem ialgr0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
2	1	fveq1i 5699	. 2 ⊢ (𝑅‘𝑀) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀)
3		algrf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		algrf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		algrf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ialgrlemconst 12846	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		algrf.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
8	7	ialgrlem1st 12845	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
9	3, 6, 8	seq3-1 10920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
10		uzid 9952	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11, 4	eleqtrrdi 2332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
13		fvconst2g 5932	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
14	5, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
15	9, 14	eqtrd 2271	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = 𝐴)
16	2, 15	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑀) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3709   × cxp 4774   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  1^st c1st 6376  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906

This theorem is used by:  algcvg  12851  eucalg  12862