ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ialgr0 GIF version

Theorem ialgr0 11367
Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at 0 is the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
ialgr0 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem ialgr0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . 3 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
21fveq1i 5321 . 2 (𝑅𝑀) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀)
3 algrf.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 algrf.4 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑆)
64, 5ialgrlemconst 11366 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
7 algrf.5 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
87ialgrlem1st 11365 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
93, 6, 8seq3-1 9940 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
10 uzid 9096 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
113, 10syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
1211, 4syl6eleqr 2182 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
13 fvconst2g 5527 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑀𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
145, 12, 13syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
159, 14eqtrd 2121 . 2 (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = 𝐴)
162, 15syl5eq 2133 1 (𝜑 → (𝑅𝑀) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1290  wcel 1439  {csn 3452   × cxp 4452  ccom 4458  wf 5026  cfv 5030  1st c1st 5925  cz 8813  cuz 9082  seqcseq 9915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-iseq 9916  df-seq3 9917
This theorem is referenced by:  algcvg  11371  eucalg  11382
  Copyright terms: Public domain W3C validator