Theorem ialgr0 12011

Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at 0 is the initial state 𝐴. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
algrf.2	⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
algrf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgr0	⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem ialgr0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . 3 ⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
2	1	fveq1i 5508	. 2 ⊢ (𝑅‘𝑀) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀)
3		algrf.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		algrf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		algrf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ialgrlemconst 12010	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
7		algrf.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
8	7	ialgrlem1st 12009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
9	3, 6, 8	seq3-1 10430	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀))
10		uzid 9515	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
11	3, 10	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
12	11, 4	eleqtrrdi 2269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
13		fvconst2g 5722	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝑀 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑀) = 𝐴)
15	9, 14	eqtrd 2208	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝑀) = 𝐴)
16	2, 15	eqtrid 2220	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅‘𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  {csn 3589   × cxp 4618   ∘ ccom 4624  ⟶wf 5204  ‘cfv 5208  1^st c1st 6129  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501  seqcseq 10415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-seqfrec 10416

This theorem is referenced by:  algcvg  12015  eucalg  12026