Theorem seqf 10227

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 5414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
3	2	eleq1d 2206	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
4		seqf.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5	4	ralrimiva 2503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		uzid 9333	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		seqf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleqtrrdi 2231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
10	3, 5, 9	rspcdva 2789	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
11		ssv 3114	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ V)
13		simprl 520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		simprr 521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
15		seqf.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16	15	caovclg 5916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
17	16	adantlr 468	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18		fveq2 5414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
19	18	eleq1d 2206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20		fveq2 5414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
21	20	eleq1d 2206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆))
22	21	cbvralv 2652	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
23	5, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
25		peano2uz 9371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	25, 8	eleqtrrdi 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
28	19, 24, 27	rspcdva 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
29	17, 14, 28	caovcld 5917	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30		fvoveq1 5790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
31	30	oveq2d 5783	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32		oveq1 5774	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33		eqid 2137	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
34	31, 32, 33	ovmpog 5898	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
35	13, 14, 29, 34	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
36	35, 29	eqeltrd 2214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37		iseqvalcbv 10223	. . 3 ⊢ frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
38	8	eleq2i 2204	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	38, 4	sylan2br 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
40	1, 37, 39, 15	seq3val 10224	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
41	1, 10, 12, 36, 37, 40	frecuzrdgtclt 10187	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
42	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
43	42	feq2d 5255	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆))
44	41, 43	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  ⟨cop 3525  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767   ∈ cmpo 5769  freccfrec 6280  1c1 7614   + caddc 7616  ℤcz 9047  ℤ_≥cuz 9319  seqcseq 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212

This theorem is referenced by:  seq3p1  10228  seq3feq2  10236  seq3feq  10238  serf  10240  serfre  10241  seq3split  10245  seq3caopr2  10248  seq3f1olemqsumkj  10264  seq3homo  10276  seq3z  10277  seqfeq3  10278  seq3distr  10279  ser3ge0  10283  exp3vallem  10287  exp3val  10288  facnn  10466  fac0  10467  bcval5  10502  seq3coll  10578  seq3shft  10603  resqrexlemf  10772  prodf  11300  algrf  11715