ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqf GIF version

Theorem seqf 9876
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqf (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 5305 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
32eleq1d 2156 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
4 seqf.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2446 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 uzid 9031 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8 seqf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8syl6eleqr 2181 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
103, 5, 9rspcdva 2727 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
11 ssv 3046 . . . 4 𝑆 ⊆ V
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ V)
13 simprl 498 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
14 simprr 499 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
15 seqf.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1615caovclg 5797 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
1716adantlr 461 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18 fveq2 5305 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1918eleq1d 2156 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
2120eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑐) ∈ 𝑆))
2221cbvralv 2590 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
235, 22sylib 120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
2423adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
25 peano2uz 9069 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2625, 8syl6eleqr 2181 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2819, 24, 27rspcdva 2727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
2917, 14, 28caovcld 5798 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30 fvoveq1 5675 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
3130oveq2d 5668 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32 oveq1 5659 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33 eqid 2088 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3431, 32, 33ovmpt2g 5779 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3513, 14, 29, 34syl3anc 1174 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3635, 29eqeltrd 2164 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37 iseqvalcbv 9868 . . 3 frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
388eleq2i 2154 . . . . 5 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3938, 4sylan2br 282 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
401, 37, 39, 15seq3val 9870 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
411, 10, 12, 36, 37, 40frecuzrdgtclt 9824 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
428a1i 9 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
4342feq2d 5150 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆))
4441, 43mpbird 165 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  Vcvv 2619  wss 2999  cop 3449  wf 5011  cfv 5015  (class class class)co 5652  cmpt2 5654  freccfrec 6155  1c1 7349   + caddc 7351  cz 8748  cuz 9017  seqcseq 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-iseq 9849  df-seq3 9850
This theorem is referenced by:  seq3p1  9880  seq3feq2  9889  serf  9896  serfre  9897  seq3split  9903  seq3f1olemqsumkj  9923  seq3homo  9940  seq3distr  9942  ser3ge0  9948  exp3vallem  9952  exp3val  9953  seq3shft  10268  resqrexlemf  10436
  Copyright terms: Public domain W3C validator