ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqf GIF version

Theorem seqf 10538
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqf (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 5555 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
32eleq1d 2262 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
4 seqf.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2567 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 uzid 9609 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8 seqf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleqtrrdi 2287 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
103, 5, 9rspcdva 2870 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
11 ssv 3202 . . . 4 𝑆 ⊆ V
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ V)
13 simprl 529 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
14 simprr 531 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
15 seqf.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1615caovclg 6073 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
1716adantlr 477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18 fveq2 5555 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1918eleq1d 2262 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20 fveq2 5555 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
2120eleq1d 2262 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑐) ∈ 𝑆))
2221cbvralv 2726 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
235, 22sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
2423adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
25 peano2uz 9651 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2625, 8eleqtrrdi 2287 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2819, 24, 27rspcdva 2870 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
2917, 14, 28caovcld 6074 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30 fvoveq1 5942 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
3130oveq2d 5935 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32 oveq1 5926 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33 eqid 2193 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3431, 32, 33ovmpog 6054 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3513, 14, 29, 34syl3anc 1249 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3635, 29eqeltrd 2270 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37 iseqvalcbv 10533 . . 3 frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
388eleq2i 2260 . . . . 5 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3938, 4sylan2br 288 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
401, 37, 39, 15seq3val 10534 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
411, 10, 12, 36, 37, 40frecuzrdgtclt 10495 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
428a1i 9 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
4342feq2d 5392 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆))
4441, 43mpbird 167 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  Vcvv 2760  wss 3154  cop 3622  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5919  cmpo 5921  freccfrec 6445  1c1 7875   + caddc 7877  cz 9320  cuz 9595  seqcseq 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522
This theorem is referenced by:  seq3p1  10539  seq3feq2  10550  seq3feq  10554  serf  10557  serfre  10558  seq3split  10562  seq3caopr2  10567  seq3f1olemqsumkj  10585  seq3homo  10601  seq3z  10602  seqfeq3  10603  seq3distr  10606  ser3ge0  10610  exp3vallem  10614  exp3val  10615  facnn  10801  fac0  10802  bcval5  10837  seq3coll  10916  seq3shft  10985  resqrexlemf  11154  prodf  11684  algrf  12186  pcmptcl  12483  nninfdclemf  12609  mulgval  13195  mulgfng  13197  mulgnnsubcl  13207  lgsval  15161  lgscllem  15164  lgsval4a  15179  lgsneg  15181  lgsdir  15192  lgsdilem2  15193  lgsdi  15194  lgsne0  15195
  Copyright terms: Public domain W3C validator