ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seqf GIF version

Theorem seqf 10264
Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
seqf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seqf (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqf.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 5428 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
32eleq1d 2209 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
4 seqf.3 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑍) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2508 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 uzid 9363 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
71, 6syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
8 seqf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
97, 8eleqtrrdi 2234 . . . 4 (𝜑𝑀𝑍)
103, 5, 9rspcdva 2797 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
11 ssv 3123 . . . 4 𝑆 ⊆ V
1211a1i 9 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ V)
13 simprl 521 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
14 simprr 522 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
15 seqf.4 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
1615caovclg 5930 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
1716adantlr 469 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18 fveq2 5428 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
1918eleq1d 2209 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
2120eleq1d 2209 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑐) ∈ 𝑆))
2221cbvralv 2657 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑍 (𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
235, 22sylib 121 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
2423adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → ∀𝑐𝑍 (𝐹𝑐) ∈ 𝑆)
25 peano2uz 9404 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
2625, 8eleqtrrdi 2234 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2713, 26syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
2819, 24, 27rspcdva 2797 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
2917, 14, 28caovcld 5931 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30 fvoveq1 5804 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
3130oveq2d 5797 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32 oveq1 5788 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
3431, 32, 33ovmpog 5912 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3513, 14, 29, 34syl3anc 1217 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
3635, 29eqeltrd 2217 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37 iseqvalcbv 10260 . . 3 frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
388eleq2i 2207 . . . . 5 (𝑥𝑍𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
3938, 4sylan2br 286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
401, 37, 39, 15seq3val 10261 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ𝑀), 𝑣𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
411, 10, 12, 36, 37, 40frecuzrdgtclt 10224 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆)
428a1i 9 . . 3 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑀))
4342feq2d 5267 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ𝑀)⟶𝑆))
4441, 43mpbird 166 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1332  wcel 1481  wral 2417  Vcvv 2689  wss 3075  cop 3534  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781  cmpo 5783  freccfrec 6294  1c1 7644   + caddc 7646  cz 9077  cuz 9349  seqcseq 10248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-seqfrec 10249
This theorem is referenced by:  seq3p1  10265  seq3feq2  10273  seq3feq  10275  serf  10277  serfre  10278  seq3split  10282  seq3caopr2  10285  seq3f1olemqsumkj  10301  seq3homo  10313  seq3z  10314  seqfeq3  10315  seq3distr  10316  ser3ge0  10320  exp3vallem  10324  exp3val  10325  facnn  10504  fac0  10505  bcval5  10540  seq3coll  10616  seq3shft  10641  resqrexlemf  10810  prodf  11338  algrf  11760
  Copyright terms: Public domain W3C validator