Theorem seqf 10694

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 5629	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
3	2	eleq1d 2298	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
4		seqf.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5	4	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		uzid 9744	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		seqf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleqtrrdi 2323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
10	3, 5, 9	rspcdva 2912	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
11		ssv 3246	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ V)
13		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
15		seqf.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16	15	caovclg 6164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
17	16	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18		fveq2 5629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
19	18	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20		fveq2 5629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
21	20	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆))
22	21	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
23	5, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
25		peano2uz 9786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	25, 8	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
28	19, 24, 27	rspcdva 2912	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
29	17, 14, 28	caovcld 6165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30		fvoveq1 6030	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
31	30	oveq2d 6023	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32		oveq1 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
34	31, 32, 33	ovmpog 6145	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
35	13, 14, 29, 34	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
36	35, 29	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37		iseqvalcbv 10689	. . 3 ⊢ frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
38	8	eleq2i 2296	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	38, 4	sylan2br 288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
40	1, 37, 39, 15	seq3val 10690	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
41	1, 10, 12, 36, 37, 40	frecuzrdgtclt 10651	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
42	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
43	42	feq2d 5461	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆))
44	41, 43	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007   ∈ cmpo 6009  freccfrec 6542  1c1 8008   + caddc 8010  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  seqcseq 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-seqfrec 10678

This theorem is referenced by:  seq3p1  10695  seq3feq2  10706  seq3feq  10710  serf  10713  serfre  10714  seq3split  10718  seq3caopr2  10723  seq3f1olemqsumkj  10741  seq3homo  10757  seq3z  10758  seqfeq3  10759  seq3distr  10762  ser3ge0  10766  exp3vallem  10770  exp3val  10771  facnn  10957  fac0  10958  bcval5  10993  seq3coll  11072  seq3shft  11357  resqrexlemf  11526  prodf  12057  algrf  12575  pcmptcl  12873  nninfdclemf  13028  mulgval  13667  mulgfng  13669  mulgnnsubcl  13679  lgsval  15691  lgscllem  15694  lgsval4a  15709  lgsneg  15711  lgsdir  15722  lgsdilem2  15723  lgsdi  15724  lgsne0  15725