Theorem seqf 10575

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seqf.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seqf.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seqf	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑍   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hint:   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem seqf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑡 𝑤 𝑧 𝑢 𝑣 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 5561	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
3	2	eleq1d 2265	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
4		seqf.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5	4	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		uzid 9634	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8		seqf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
9	7, 8	eleqtrrdi 2290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
10	3, 5, 9	rspcdva 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
11		ssv 3206	. . . 4 ⊢ 𝑆 ⊆ V
12	11	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ V)
13		simprl 529	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
14		simprr 531	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
15		seqf.4	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
16	15	caovclg 6080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
17	16	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
18		fveq2 5561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → (𝐹‘𝑐) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
19	18	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝑥 + 1) → ((𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆))
20		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑐))
21	20	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆))
22	21	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
23	5, 22	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → ∀𝑐 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑐) ∈ 𝑆)
25		peano2uz 9676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
26	25, 8	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 1) ∈ 𝑍)
28	19, 24, 27	rspcdva 2873	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘(𝑥 + 1)) ∈ 𝑆)
29	17, 14, 28	caovcld 6081	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆)
30		fvoveq1 5948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑥 + 1)))
31	30	oveq2d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
32		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
33		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
34	31, 32, 33	ovmpog 6061	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))) ∈ 𝑆) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
35	13, 14, 29, 34	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) = (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1))))
36	35, 29	eqeltrd 2273	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
37		iseqvalcbv 10570	. . 3 ⊢ frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
38	8	eleq2i 2263	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑍 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
39	38, 4	sylan2br 288	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
40	1, 37, 39, 15	seq3val 10571	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑠 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑡 ∈ V ↦ ⟨(𝑠 + 1), (𝑠(𝑢 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑣 + (𝐹‘(𝑢 + 1))))𝑡)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
41	1, 10, 12, 36, 37, 40	frecuzrdgtclt 10532	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆)
42	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀))
43	42	feq2d 5398	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆 ↔ seq𝑀( + , 𝐹):(ℤ≥‘𝑀)⟶𝑆))
44	41, 43	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3626  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∈ cmpo 5927  freccfrec 6457  1c1 7899   + caddc 7901  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  seqcseq 10558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-seqfrec 10559

This theorem is referenced by:  seq3p1  10576  seq3feq2  10587  seq3feq  10591  serf  10594  serfre  10595  seq3split  10599  seq3caopr2  10604  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3homo  10638  seq3z  10639  seqfeq3  10640  seq3distr  10643  ser3ge0  10647  exp3vallem  10651  exp3val  10652  facnn  10838  fac0  10839  bcval5  10874  seq3coll  10953  seq3shft  11022  resqrexlemf  11191  prodf  11722  algrf  12240  pcmptcl  12538  nninfdclemf  12693  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnnsubcl  13342  lgsval  15353  lgscllem  15356  lgsval4a  15371  lgsneg  15373  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387