Theorem mulgnn0z 13799

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgnn0z.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgnn0z.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9446	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		id 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	3, 4	mndidcl 13576	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
6		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 })) = seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 13776	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
10	2, 5, 9	syl2anr 290	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁))
11	3, 6, 4	mndlid 13581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
12	5, 11	mpdan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
14		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
15		nnuz 9836	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
16	14, 15	eleqtrdi 2324	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
17	5	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ 𝐵)
18		elfznn 10334	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝑁) → 𝑥 ∈ ℕ)
19		fvconst2g 5876	. . . . . 6 ⊢ (( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) = 0 )
21	15, 17	ialgrlemconst 12678	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((ℕ × { 0 })‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	3, 6	mndcl 13569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23	22	3expb 1231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25	13, 16, 20, 17, 21, 24	seq3id3 10832	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (seq1((+g‘𝐺), (ℕ × { 0 }))‘𝑁) = 0 )
26	10, 25	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
27		oveq1 6035	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 0 ) = (0 · 0 ))
28	3, 4, 7	mulg0 13775	. . . . 5 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → (0 · 0 ) = 0 )
29	5, 28	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0 · 0 ) = 0 )
30	27, 29	sylan9eqr 2286	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
31	26, 30	jaodan 805	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0)) → (𝑁 · 0 ) = 0 )
32	1, 31	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 · 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673   × cxp 4729  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076  ℕcn 9185  ℕ₀cn0 9444  ℤ_≥cuz 9799  ...cfz 10288  seqcseq 10755  Basecbs 13145  +_gcplusg 13223  0_gc0g 13402  Mndcmnd 13562  ._gcmg 13769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-minusg 13650  df-mulg 13770

This theorem is referenced by:  mulgz  13800  mulgnn0ass  13808  srg1expzeq1  14072