HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 121 of 150)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 12001-12100   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theorembezoutlemmain 12001* Lemma for Bรฉzout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
(๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))    &   (๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))    &   (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)    &   (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œƒ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ฅ / ๐‘Ÿ]๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ([๐‘ฆ / ๐‘Ÿ]๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 (๐œ“ โˆง ๐œ‘))))
 
Theorembezoutlema 12002* Lemma for Bรฉzout's identity. The is-bezout condition is satisfied by ๐ด. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
(๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))    &   (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)    &   (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œƒ โ†’ [๐ด / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
 
Theorembezoutlemb 12003* Lemma for Bรฉzout's identity. The is-bezout condition is satisfied by ๐ต. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
(๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))    &   (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)    &   (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œƒ โ†’ [๐ต / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
 
Theorembezoutlemex 12004* Lemma for Bรฉzout's identity. Existence of a number which we will later show to be the greater common divisor and its decomposition into cofactors. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
 
Theorembezoutlemzz 12005* Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlemex 12004 but where ' z ' is any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
 
Theorembezoutlemaz 12006* Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlemzz 12005 but where ' A ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
 
Theorembezoutlembz 12007* Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlemaz 12006 but where ' B ' can be any integer, not just a nonnegative one. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
 
Theorembezoutlembi 12008* Lemma for Bรฉzout's identity. Like bezoutlembz 12007 but the greatest common divisor condition is a biconditional, not just an implication. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘‘ = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ))))
 
Theorembezoutlemmo 12009* Lemma for Bรฉzout's identity. There is at most one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐ท โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐ธ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ท = ๐ธ)
 
Theorembezoutlemeu 12010* Lemma for Bรฉzout's identity. There is exactly one nonnegative integer meeting the greatest common divisor condition. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐ท โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ!๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))
 
Theorembezoutlemle 12011* Lemma for Bรฉzout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the largest number which divides both ๐ด and ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐ท โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค ((๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘ง โ‰ค ๐ท))
 
Theorembezoutlemsup 12012* Lemma for Bรฉzout's identity. The number satisfying the greatest common divisor condition is the supremum of divisors of both ๐ด and ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐ท โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)))    &   (๐œ‘ โ†’ ยฌ (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ท = sup({๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆฃ (๐‘ง โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐ต)}, โ„, < ))
 
Theoremdfgcd3 12013* Alternate definition of the gcd operator. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Dec-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = (โ„ฉ๐‘‘ โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„ค (๐‘ง โˆฅ ๐‘‘ โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘))))
 
Theorembezout 12014* Bรฉzout's identity: For any integers ๐ด and ๐ต, there are integers ๐‘ฅ, ๐‘ฆ such that (๐ด gcd ๐ต) = ๐ด ยท ๐‘ฅ + ๐ต ยท ๐‘ฆ. This is Metamath 100 proof #60.

The proof is constructive, in the sense that it applies the Extended Euclidian Algorithm to constuct a number which can be shown to be (๐ด gcd ๐ต) and which satisfies the rest of the theorem. In the presence of excluded middle, it is common to prove Bรฉzout's identity by taking the smallest number which satisfies the Bรฉzout condition, and showing it is the greatest common divisor. But we do not have the ability to show that number exists other than by providing a way to determine it. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)

((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ด gcd ๐ต) = ((๐ด ยท ๐‘ฅ) + (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
 
Theoremdvdsgcd 12015 An integer which divides each of two others also divides their gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
 
Theoremdvdsgcdb 12016 Biconditional form of dvdsgcd 12015. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐พ โˆฅ ๐‘) โ†” ๐พ โˆฅ (๐‘€ gcd ๐‘)))
 
Theoremdfgcd2 12017* Alternate definition of the gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ท = (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” (0 โ‰ค ๐ท โˆง (๐ท โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐ท โˆฅ ๐‘) โˆง โˆ€๐‘’ โˆˆ โ„ค ((๐‘’ โˆฅ ๐‘€ โˆง ๐‘’ โˆฅ ๐‘) โ†’ ๐‘’ โˆฅ ๐ท))))
 
Theoremgcdass 12018 Associative law for gcd operator. Theorem 1.4(b) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ gcd ๐‘€) gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ gcd (๐‘€ gcd ๐‘ƒ)))
 
Theoremmulgcd 12019 Distribute multiplication by a nonnegative integer over gcd. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘)))
 
Theoremabsmulgcd 12020 Distribute absolute value of multiplication over gcd. Theorem 1.4(c) in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ ยท ๐‘€) gcd (๐พ ยท ๐‘)) = (absโ€˜(๐พ ยท (๐‘€ gcd ๐‘))))
 
Theoremmulgcdr 12021 Reverse distribution law for the gcd operator. (Contributed by Scott Fenton, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) gcd (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด gcd ๐ต) ยท ๐ถ))
 
Theoremgcddiv 12022 Division law for GCD. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง (๐ถ โˆฅ ๐ด โˆง ๐ถ โˆฅ ๐ต)) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) / ๐ถ) = ((๐ด / ๐ถ) gcd (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremgcdmultiple 12023 The GCD of a multiple of a number is the number itself. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
 
Theoremgcdmultiplez 12024 Extend gcdmultiple 12023 so ๐‘ can be an integer. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ๐‘€)
 
Theoremgcdzeq 12025 A positive integer ๐ด is equal to its gcd with an integer ๐ต if and only if ๐ด divides ๐ต. Generalization of gcdeq 12026. (Contributed by AV, 1-Jul-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ๐ด โ†” ๐ด โˆฅ ๐ต))
 
Theoremgcdeq 12026 ๐ด is equal to its gcd with ๐ต if and only if ๐ด divides ๐ต. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Proof shortened by AV, 8-Aug-2021.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = ๐ด โ†” ๐ด โˆฅ ๐ต))
 
Theoremdvdssqim 12027 Unidirectional form of dvdssq 12034. (Contributed by Scott Fenton, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†’ (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
 
Theoremdvdsmulgcd 12028 Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
 
Theoremrpmulgcd 12029 If ๐พ and ๐‘€ are relatively prime, then the GCD of ๐พ and ๐‘€ ยท ๐‘ is the GCD of ๐พ and ๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
(((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = (๐พ gcd ๐‘))
 
Theoremrplpwr 12030 If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ต. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd ๐ต) = 1))
 
Theoremrppwr 12031 If ๐ด and ๐ต are relatively prime, then so are ๐ดโ†‘๐‘ and ๐ตโ†‘๐‘. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด gcd ๐ต) = 1 โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) gcd (๐ตโ†‘๐‘)) = 1))
 
Theoremsqgcd 12032 Square distributes over gcd. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ gcd ๐‘)โ†‘2) = ((๐‘€โ†‘2) gcd (๐‘โ†‘2)))
 
Theoremdvdssqlem 12033 Lemma for dvdssq 12034. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
 
Theoremdvdssq 12034 Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘€โ†‘2) โˆฅ (๐‘โ†‘2)))
 
Theorembezoutr 12035 Partial converse to bezout 12014. Existence of a linear combination does not set the GCD, but it does upper bound it. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด gcd ๐ต) โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)))
 
Theorembezoutr1 12036 Converse of bezout 12014 for when the greater common divisor is one (sufficient condition for relative primality). (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
(((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Œ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘‹) + (๐ต ยท ๐‘Œ)) = 1 โ†’ (๐ด gcd ๐ต) = 1))
 
5.1.6  Decidable sets of integers
 
Theoremnnmindc 12037* An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)
((๐ด โІ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• DECID ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง โˆƒ๐‘ฆ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ด) โ†’ inf(๐ด, โ„, < ) โˆˆ ๐ด)
 
Theoremnnminle 12038* The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 12037. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)
((๐ด โІ โ„• โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• DECID ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ ๐ด) โ†’ inf(๐ด, โ„, < ) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremnnwodc 12039* Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)
((๐ด โІ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ โ„• DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremuzwodc 12040* Well-ordering principle: any inhabited decidable subset of an upper set of integers has a least element. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Oct-2024.)
((๐‘† โІ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โˆง โˆƒ๐‘ฅ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)DECID ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐‘† โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐‘† ๐‘— โ‰ค ๐‘˜)
 
Theoremnnwofdc 12041* Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. This version allows ๐‘ฅ and ๐‘ฆ to be present in ๐ด as long as they are effectively not free. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2016.)
โ„ฒ๐‘ฅ๐ด    &   โ„ฒ๐‘ฆ๐ด    โ‡’   ((๐ด โІ โ„• โˆง โˆƒ๐‘ง ๐‘ง โˆˆ ๐ด โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ โ„• DECID ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)
 
Theoremnnwosdc 12042* Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element (schema form). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Oct-2024.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐œ‘ โ†” ๐œ“))    โ‡’   ((โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• ๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„• DECID ๐œ‘) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„• (๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„• (๐œ“ โ†’ ๐‘ฅ โ‰ค ๐‘ฆ)))
 
5.1.7  Algorithms
 
Theoremnn0seqcvgd 12043* A strictly-decreasing nonnegative integer sequence with initial term ๐‘ reaches zero by the ๐‘ th term. Deduction version. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:โ„•0โŸถโ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ = (๐นโ€˜0))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰  0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) < (๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) = 0)
 
Theoremialgrlem1st 12044 Lemma for ialgr0 12046. Expressing algrflemg 6233 in a form suitable for theorems such as seq3-1 10462 or seqf 10463. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘†)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ(๐น โˆ˜ 1st )๐‘ฆ) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremialgrlemconst 12045 Lemma for ialgr0 12046. Closure of a constant function, in a form suitable for theorems such as seq3-1 10462 or seqf 10463. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ ((๐‘ ร— {๐ด})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐‘†)
 
Theoremialgr0 12046 The value of the algorithm iterator ๐‘… at 0 is the initial state ๐ด. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘… = seq๐‘€((๐น โˆ˜ 1st ), (๐‘ ร— {๐ด}))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘…โ€˜๐‘€) = ๐ด)
 
Theoremalgrf 12047 An algorithm is a step function ๐น:๐‘†โŸถ๐‘† on a state space ๐‘†. An algorithm acts on an initial state ๐ด โˆˆ ๐‘† by iteratively applying ๐น to give ๐ด, (๐นโ€˜๐ด), (๐นโ€˜(๐นโ€˜๐ด)) and so on. An algorithm is said to halt if a fixed point of ๐น is reached after a finite number of iterations.

The algorithm iterator ๐‘…:โ„•0โŸถ๐‘† "runs" the algorithm ๐น so that (๐‘…โ€˜๐‘˜) is the state after ๐‘˜ iterations of ๐น on the initial state ๐ด.

Domain and codomain of the algorithm iterator ๐‘…. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘… = seq๐‘€((๐น โˆ˜ 1st ), (๐‘ ร— {๐ด}))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘†)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐‘…:๐‘โŸถ๐‘†)
 
Theoremalgrp1 12048 The value of the algorithm iterator ๐‘… at (๐พ + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘… = seq๐‘€((๐น โˆ˜ 1st ), (๐‘ ร— {๐ด}))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘†)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘†โŸถ๐‘†)    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐พ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘…โ€˜(๐พ + 1)) = (๐นโ€˜(๐‘…โ€˜๐พ)))
 
Theoremalginv 12049* If ๐ผ is an invariant of ๐น, then its value is unchanged after any number of iterations of ๐น. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
๐‘… = seq0((๐น โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐น:๐‘†โŸถ๐‘†    &   (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐ผโ€˜(๐นโ€˜๐‘ฅ)) = (๐ผโ€˜๐‘ฅ))    โ‡’   ((๐ด โˆˆ ๐‘† โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ผโ€˜(๐‘…โ€˜๐พ)) = (๐ผโ€˜(๐‘…โ€˜0)))
 
Theoremalgcvg 12050* One way to prove that an algorithm halts is to construct a countdown function ๐ถ:๐‘†โŸถโ„•0 whose value is guaranteed to decrease for each iteration of ๐น until it reaches 0. That is, if ๐‘‹ โˆˆ ๐‘† is not a fixed point of ๐น, then (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘‹)) < (๐ถโ€˜๐‘‹).

If ๐ถ is a countdown function for algorithm ๐น, the sequence (๐ถโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘˜)) reaches 0 after at most ๐‘ steps, where ๐‘ is the value of ๐ถ for the initial state ๐ด. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

๐น:๐‘†โŸถ๐‘†    &   ๐‘… = seq0((๐น โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐ถ:๐‘†โŸถโ„•0    &   (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) < (๐ถโ€˜๐‘ง)))    &   ๐‘ = (๐ถโ€˜๐ด)    โ‡’   (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘…โ€˜๐‘)) = 0)
 
Theoremalgcvgblem 12051 Lemma for algcvgb 12052. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ โ‰  0 โ†’ ๐‘ < ๐‘€) โ†” ((๐‘€ โ‰  0 โ†’ ๐‘ < ๐‘€) โˆง (๐‘€ = 0 โ†’ ๐‘ = 0))))
 
Theoremalgcvgb 12052 Two ways of expressing that ๐ถ is a countdown function for algorithm ๐น. The first is used in these theorems. The second states the condition more intuitively as a conjunction: if the countdown function's value is currently nonzero, it must decrease at the next step; if it has reached zero, it must remain zero at the next step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
๐น:๐‘†โŸถ๐‘†    &   ๐ถ:๐‘†โŸถโ„•0    โ‡’   (๐‘‹ โˆˆ ๐‘† โ†’ (((๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘‹)) โ‰  0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘‹)) < (๐ถโ€˜๐‘‹)) โ†” (((๐ถโ€˜๐‘‹) โ‰  0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘‹)) < (๐ถโ€˜๐‘‹)) โˆง ((๐ถโ€˜๐‘‹) = 0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘‹)) = 0))))
 
Theoremalgcvga 12053* The countdown function ๐ถ remains 0 after ๐‘ steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
๐น:๐‘†โŸถ๐‘†    &   ๐‘… = seq0((๐น โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐ถ:๐‘†โŸถโ„•0    &   (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) < (๐ถโ€˜๐‘ง)))    &   ๐‘ = (๐ถโ€˜๐ด)    โ‡’   (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐ถโ€˜(๐‘…โ€˜๐พ)) = 0))
 
Theoremalgfx 12054* If ๐น reaches a fixed point when the countdown function ๐ถ reaches 0, ๐น remains fixed after ๐‘ steps. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
๐น:๐‘†โŸถ๐‘†    &   ๐‘… = seq0((๐น โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐ถ:๐‘†โŸถโ„•0    &   (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) โ‰  0 โ†’ (๐ถโ€˜(๐นโ€˜๐‘ง)) < (๐ถโ€˜๐‘ง)))    &   ๐‘ = (๐ถโ€˜๐ด)    &   (๐‘ง โˆˆ ๐‘† โ†’ ((๐ถโ€˜๐‘ง) = 0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = ๐‘ง))    โ‡’   (๐ด โˆˆ ๐‘† โ†’ (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (๐‘…โ€˜๐พ) = (๐‘…โ€˜๐‘)))
 
5.1.8  Euclid's Algorithm
 
Theoremeucalgval2 12055* The value of the step function ๐ธ for Euclid's Algorithm on an ordered pair. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€๐ธ๐‘) = if(๐‘ = 0, โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ, โŸจ๐‘, (๐‘€ mod ๐‘)โŸฉ))
 
Theoremeucalgval 12056* Euclid's Algorithm eucalg 12061 computes the greatest common divisor of two nonnegative integers by repeatedly replacing the larger of them with its remainder modulo the smaller until the remainder is 0.

The value of the step function ๐ธ for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    โ‡’   (๐‘‹ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„•0) โ†’ (๐ธโ€˜๐‘‹) = if((2nd โ€˜๐‘‹) = 0, ๐‘‹, โŸจ(2nd โ€˜๐‘‹), ( mod โ€˜๐‘‹)โŸฉ))
 
Theoremeucalgf 12057* Domain and codomain of the step function ๐ธ for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    โ‡’   ๐ธ:(โ„•0 ร— โ„•0)โŸถ(โ„•0 ร— โ„•0)
 
Theoremeucalginv 12058* The invariant of the step function ๐ธ for Euclid's Algorithm is the gcd operator applied to the state. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    โ‡’   (๐‘‹ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„•0) โ†’ ( gcd โ€˜(๐ธโ€˜๐‘‹)) = ( gcd โ€˜๐‘‹))
 
Theoremeucalglt 12059* The second member of the state decreases with each iteration of the step function ๐ธ for Euclid's Algorithm. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    โ‡’   (๐‘‹ โˆˆ (โ„•0 ร— โ„•0) โ†’ ((2nd โ€˜(๐ธโ€˜๐‘‹)) โ‰  0 โ†’ (2nd โ€˜(๐ธโ€˜๐‘‹)) < (2nd โ€˜๐‘‹)))
 
Theoremeucalgcvga 12060* Once Euclid's Algorithm halts after ๐‘ steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    &   ๐‘… = seq0((๐ธ โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐‘ = (2nd โ€˜๐ด)    โ‡’   (๐ด โˆˆ (โ„•0 ร— โ„•0) โ†’ (๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘) โ†’ (2nd โ€˜(๐‘…โ€˜๐พ)) = 0))
 
Theoremeucalg 12061* Euclid's Algorithm computes the greatest common divisor of two nonnegative integers by repeatedly replacing the larger of them with its remainder modulo the smaller until the remainder is 0. Theorem 1.15 in [ApostolNT] p. 20.

Upon halting, the 1st member of the final state (๐‘…โ€˜๐‘) is equal to the gcd of the values comprising the input state โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ. This is Metamath 100 proof #69 (greatest common divisor algorithm). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

๐ธ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0, ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘ฆ = 0, โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ, โŸจ๐‘ฆ, (๐‘ฅ mod ๐‘ฆ)โŸฉ))    &   ๐‘… = seq0((๐ธ โˆ˜ 1st ), (โ„•0 ร— {๐ด}))    &   ๐ด = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ    โ‡’   ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1st โ€˜(๐‘…โ€˜๐‘)) = (๐‘€ gcd ๐‘))
 
5.1.9  The least common multiple

According to Wikipedia ("Least common multiple", 27-Aug-2020, https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple): "In arithmetic and number theory, the least common multiple, lowest common multiple, or smallest common multiple of two integers a and b, usually denoted by lcm(a, b), is the smallest positive integer that is divisible by both a and b. Since division of integers by zero is undefined, this definition has meaning only if a and b are both different from zero. However, some authors define lcm(a,0) as 0 for all a, which is the result of taking the lcm to be the least upper bound in the lattice of divisibility."

In this section, an operation calculating the least common multiple of two integers (df-lcm 12063). The definition is valid for all integers, including negative integers and 0, obeying the above mentioned convention.

 
Syntaxclcm 12062 Extend the definition of a class to include the least common multiple operator.
class lcm
 
Definitiondf-lcm 12063* Define the lcm operator. For example, (6 lcm 9) = 18. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
lcm = (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค, ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†ฆ if((๐‘ฅ = 0 โˆจ ๐‘ฆ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘ฅ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ฆ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
 
Theoremlcmmndc 12064 Decidablity lemma used in various proofs related to lcm. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jan-2022.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
 
Theoremlcmval 12065* Value of the lcm operator. (๐‘€ lcm ๐‘) is the least common multiple of ๐‘€ and ๐‘. If either ๐‘€ or ๐‘ is 0, the result is defined conventionally as 0. Contrast with df-gcd 11946 and gcdval 11962. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = if((๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0), 0, inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < )))
 
Theoremlcmcom 12066 The lcm operator is commutative. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘ lcm ๐‘€))
 
Theoremlcm0val 12067 The value, by convention, of the lcm operator when either operand is 0. (Use lcmcom 12066 for a left-hand 0.) (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
(๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
 
Theoremlcmn0val 12068* The value of the lcm operator when both operands are nonzero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = inf({๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)}, โ„, < ))
 
Theoremlcmcllem 12069* Lemma for lcmn0cl 12070 and dvdslcm 12071. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ {๐‘› โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘€ โˆฅ ๐‘› โˆง ๐‘ โˆฅ ๐‘›)})
 
Theoremlcmn0cl 12070 Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•)
 
Theoremdvdslcm 12071 The lcm of two integers is divisible by each of them. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆง ๐‘ โˆฅ (๐‘€ lcm ๐‘)))
 
Theoremlcmledvds 12072 A positive integer which both operands of the lcm operator divide bounds it. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
(((๐พ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โ‰ค ๐พ))
 
Theoremlcmeq0 12073 The lcm of two integers is zero iff either is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) = 0 โ†” (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)))
 
Theoremlcmcl 12074 Closure of the lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
 
Theoremgcddvdslcm 12075 The greatest common divisor of two numbers divides their least common multiple. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) โˆฅ (๐‘€ lcm ๐‘))
 
Theoremlcmneg 12076 Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm -๐‘) = (๐‘€ lcm ๐‘))
 
Theoremneglcm 12077 Negating one operand of the lcm operator does not alter the result. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (-๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm ๐‘))
 
Theoremlcmabs 12078 The lcm of two integers is the same as that of their absolute values. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
 
Theoremlcmgcdlem 12079 Lemma for lcmgcd 12080 and lcmdvds 12081. Prove them for positive ๐‘€, ๐‘, and ๐พ. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)) โˆง ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
 
Theoremlcmgcd 12080 The product of two numbers' least common multiple and greatest common divisor is the absolute value of the product of the two numbers. In particular, that absolute value is the least common multiple of two coprime numbers, for which (๐‘€ gcd ๐‘) = 1.

Multiple methods exist for proving this, and it is often proven either as a consequence of the fundamental theorem of arithmetic or of Bรฉzout's identity bezout 12014; see, e.g., https://proofwiki.org/wiki/Product_of_GCD_and_LCM 12014 and https://math.stackexchange.com/a/470827 12014. This proof uses the latter to first confirm it for positive integers ๐‘€ and ๐‘ (the "Second Proof" in the above Stack Exchange page), then shows that implies it for all nonzero integer inputs, then finally uses lcm0val 12067 to show it applies when either or both inputs are zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (absโ€˜(๐‘€ ยท ๐‘)))
 
Theoremlcmdvds 12081 The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
 
Theoremlcmid 12082 The lcm of an integer and itself is its absolute value. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
(๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘€) = (absโ€˜๐‘€))
 
Theoremlcm1 12083 The lcm of an integer and 1 is the absolute value of the integer. (Contributed by AV, 23-Aug-2020.)
(๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 1) = (absโ€˜๐‘€))
 
Theoremlcmgcdnn 12084 The product of two positive integers' least common multiple and greatest common divisor is the product of the two integers. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) ยท (๐‘€ gcd ๐‘)) = (๐‘€ ยท ๐‘))
 
Theoremlcmgcdeq 12085 Two integers' absolute values are equal iff their least common multiple and greatest common divisor are equal. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ gcd ๐‘) โ†” (absโ€˜๐‘€) = (absโ€˜๐‘)))
 
Theoremlcmdvdsb 12086 Biconditional form of lcmdvds 12081. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
 
Theoremlcmass 12087 Associative law for lcm operator. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ lcm ๐‘€) lcm ๐‘ƒ) = (๐‘ lcm (๐‘€ lcm ๐‘ƒ)))
 
Theorem3lcm2e6woprm 12088 The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
(3 lcm 2) = 6
 
Theorem6lcm4e12 12089 The least common multiple of six and four is twelve. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)
(6 lcm 4) = 12
 
5.1.10  Coprimality and Euclid's lemma

According to Wikipedia "Coprime integers", see https://en.wikipedia.org/wiki/Coprime_integers (16-Aug-2020) "[...] two integers a and b are said to be relatively prime, mutually prime, or coprime [...] if the only positive integer (factor) that divides both of them is 1. Consequently, any prime number that divides one does not divide the other. This is equivalent to their greatest common divisor (gcd) being 1.". In the following, we use this equivalent characterization to say that ๐ด โˆˆ โ„ค and ๐ต โˆˆ โ„ค are coprime (or relatively prime) if (๐ด gcd ๐ต) = 1. The equivalence of the definitions is shown by coprmgcdb 12090. The negation, i.e. two integers are not coprime, can be expressed either by (๐ด gcd ๐ต) โ‰  1, see ncoprmgcdne1b 12091, or equivalently by 1 < (๐ด gcd ๐ต), see ncoprmgcdgt1b 12092.

A proof of Euclid's lemma based on coprimality is provided in coprmdvds 12094 (as opposed to Euclid's lemma for primes).

 
Theoremcoprmgcdb 12090* Two positive integers are coprime, i.e. the only positive integer that divides both of them is 1, iff their greatest common divisor is 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„• ((๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†’ ๐‘– = 1) โ†” (๐ด gcd ๐ต) = 1))
 
Theoremncoprmgcdne1b 12091* Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is not 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†” (๐ด gcd ๐ต) โ‰  1))
 
Theoremncoprmgcdgt1b 12092* Two positive integers are not coprime, i.e. there is an integer greater than 1 which divides both integers, iff their greatest common divisor is greater than 1. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
((๐ด โˆˆ โ„• โˆง ๐ต โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)(๐‘– โˆฅ ๐ด โˆง ๐‘– โˆฅ ๐ต) โ†” 1 < (๐ด gcd ๐ต)))
 
Theoremcoprmdvds1 12093 If two positive integers are coprime, i.e. their greatest common divisor is 1, the only positive integer that divides both of them is 1. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
((๐น โˆˆ โ„• โˆง ๐บ โˆˆ โ„• โˆง (๐น gcd ๐บ) = 1) โ†’ ((๐ผ โˆˆ โ„• โˆง ๐ผ โˆฅ ๐น โˆง ๐ผ โˆฅ ๐บ) โ†’ ๐ผ = 1))
 
Theoremcoprmdvds 12094 Euclid's Lemma (see ProofWiki "Euclid's Lemma", 10-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Euclid's_Lemma): If an integer divides the product of two integers and is coprime to one of them, then it divides the other. See also theorem 1.5 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2021.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐พ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆง (๐พ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐พ โˆฅ ๐‘))
 
Theoremcoprmdvds2 12095 If an integer is divisible by two coprime integers, then it is divisible by their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) โˆฅ ๐พ))
 
Theoremmulgcddvds 12096 One half of rpmulgcd2 12097, which does not need the coprimality assumption. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) โˆฅ ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
 
Theoremrpmulgcd2 12097 If ๐‘€ is relatively prime to ๐‘, then the GCD of ๐พ with ๐‘€ ยท ๐‘ is the product of the GCDs with ๐‘€ and ๐‘ respectively. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
(((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = ((๐พ gcd ๐‘€) ยท (๐พ gcd ๐‘)))
 
Theoremqredeq 12098 Two equal reduced fractions have the same numerator and denominator. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
(((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„))
 
Theoremqredeu 12099* Every rational number has a unique reduced form. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
(๐ด โˆˆ โ„š โ†’ โˆƒ!๐‘ฅ โˆˆ (โ„ค ร— โ„•)(((1st โ€˜๐‘ฅ) gcd (2nd โ€˜๐‘ฅ)) = 1 โˆง ๐ด = ((1st โ€˜๐‘ฅ) / (2nd โ€˜๐‘ฅ))))
 
Theoremrpmul 12100 If ๐พ is relatively prime to ๐‘€ and to ๐‘, it is also relatively prime to their product. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐พ gcd ๐‘€) = 1 โˆง (๐พ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐พ gcd (๐‘€ ยท ๐‘)) = 1))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-14917
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >