Theorem seq3-1 10629

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3-1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3-1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3-1.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3-1	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3-1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3-1.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 5589	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑀))
3	2	eleq1d 2275	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆))
4		seq3-1.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
5	4	ralrimiva 2580	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)(𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		uzid 9682	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	1, 6	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	3, 5, 7	rspcdva 2886	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝑆)
9		ssv 3219	. . 3 ⊢ 𝑆 ⊆ V
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ V)
11		seq3-1.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
12	4, 11	iseqovex 10625	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
13		iseqvalcbv 10626	. 2 ⊢ frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑤 ∈ 𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
14	1, 13, 4, 11	seq3val 10627	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ≥‘𝑀), 𝑑 ∈ 𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩))
15	1, 8, 10, 12, 13, 14	frecuzrdg0t 10589	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ⊆ wss 3170  ⟨cop 3641  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957   ∈ cmpo 5959  freccfrec 6489  1c1 7946   + caddc 7948  ℤcz 9392  ℤ_≥cuz 9668  seqcseq 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615

This theorem is referenced by:  seq1g  10630  seq3clss  10638  seq3fveq2  10642  seq3fveq  10646  seq3shft2  10648  seq3split  10655  seq3-1p  10657  seq3caopr3  10658  seq3id3  10691  seq3id  10692  seq3homo  10694  seq3z  10695  seqfeq4g  10698  ser3ge0  10703  exp3vallem  10707  exp1  10712  fac1  10896  bcn2  10931  seq3coll  11009  resqrexlemf1  11394  sumsnf  11795  isumrpcl  11880  clim2prod  11925  prodfap0  11931  prodfrecap  11932  prodsnf  11978  ef0lem  12046  ege2le3  12057  efgt1p2  12081  efgt1p  12082  ialgr0  12441  pcmpt  12741  gsumsplit1r  13305  gsumprval  13306  gsumfzz  13402  mulg1  13540