ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3-1 GIF version

Theorem seq3-1 9877
Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3-1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3-1.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3-1.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3-1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3-1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑧 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3-1.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 5305 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑀))
32eleq1d 2156 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆))
4 seq3-1.f . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
54ralrimiva 2446 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 uzid 9033 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
71, 6syl 14 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
83, 5, 7rspcdva 2727 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
9 ssv 3046 . . 3 𝑆 ⊆ V
109a1i 9 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ V)
11 seq3-1.pl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
124, 11iseqovex 9870 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑦𝑆)) → (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦) ∈ 𝑆)
13 iseqvalcbv 9872 . 2 frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩) = frec((𝑥 ∈ (ℤ𝑀), 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ (ℤ𝑀), 𝑤𝑆 ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩)
141, 13, 4, 11seq3val 9874 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) = ran frec((𝑎 ∈ (ℤ𝑀), 𝑏 ∈ V ↦ ⟨(𝑎 + 1), (𝑎(𝑐 ∈ (ℤ𝑀), 𝑑𝑆 ↦ (𝑑 + (𝐹‘(𝑐 + 1))))𝑏)⟩), ⟨𝑀, (𝐹𝑀)⟩))
151, 8, 10, 12, 13, 14frecuzrdg0t 9829 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  wss 2999  cop 3449  cfv 5015  (class class class)co 5652  cmpt2 5654  freccfrec 6155  1c1 7351   + caddc 7353  cz 8750  cuz 9019  seqcseq 9852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854
This theorem is referenced by:  seq3clss  9887  seq3fveq2  9892  seq3fveq  9895  seq3split  9907  seq3-1p  9909  seq3homo  9944  ser3ge0  9952  exp3vallem  9956  exp1  9961  resqrexlemf1  10441  isumrpcl  10888  ef0lem  10950  ege2le3  10961  efgt1p2  10985  efgt1p  10986
  Copyright terms: Public domain W3C validator