ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgpropdg GIF version

Theorem mulgpropdg 13030
Description: Two structures with the same group-nature have the same group multiple function. ๐พ is expected to either be V (when strong equality is available) or ๐ต (when closure is available). (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgpropdg.m (๐œ‘ โ†’ ยท = (.gโ€˜๐บ))
mulgpropdg.n (๐œ‘ โ†’ ร— = (.gโ€˜๐ป))
mulgpropdg.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘‰)
mulgpropdg.h (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
mulgpropd.b1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
mulgpropd.b2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
mulgpropd.i (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ ๐พ)
mulgpropd.k ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
mulgpropd.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
Assertion
Ref Expression
mulgpropdg (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐บ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ป,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐พ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ยท (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘Š(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem mulgpropdg
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgpropd.b1 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐บ))
2 mulgpropd.b2 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐ป))
3 mulgpropdg.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ ๐‘‰)
4 mulgpropdg.h . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)
5 mulgpropd.i . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โІ ๐พ)
6 ssel 3151 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โІ ๐พ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐พ))
7 ssel 3151 . . . . . . . . . . 11 (๐ต โІ ๐พ โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
86, 7anim12d 335 . . . . . . . . . 10 (๐ต โІ ๐พ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
95, 8syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)))
109imp 124 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ))
11 mulgpropd.e . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
1210, 11syldan 282 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
131, 2, 3, 4, 12grpidpropdg 12798 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
14133ad2ant1 1018 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐ป))
15 1zzd 9282 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
16 nnuz 9565 . . . . . . . . 9 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
1753ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ต โІ ๐พ)
18 simp3 999 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐ต)
1917, 18sseldd 3158 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐พ)
2016, 19ialgrlemconst 12045 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((โ„• ร— {๐‘})โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ ๐พ)
21 mulgpropd.k . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
22213ad2antl1 1159 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐พ)
23113ad2antl1 1159 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐พ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐พ)) โ†’ (๐‘ฅ(+gโ€˜๐บ)๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜๐ป)๐‘ฆ))
2415, 20, 22, 23seqfeq3 10514 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘})) = seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘})))
2524fveq1d 5519 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž))
261, 2, 3, 4, 12grpinvpropdg 12950 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
27263ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐ป))
2824fveq1d 5519 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž) = (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))
2927, 28fveq12d 5524 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))
3025, 29ifeq12d 3555 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))) = if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))
3114, 30ifeq12d 3555 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต) โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3231mpoeq3dva 5941 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
33 eqidd 2178 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โ„ค = โ„ค)
34 eqidd 2178 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3533, 1, 34mpoeq123dv 5939 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
36 eqidd 2178 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))) = if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž)))))
3733, 2, 36mpoeq123dv 5939 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
3832, 35, 373eqtr3d 2218 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
39 mulgpropdg.m . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.gโ€˜๐บ))
40 eqid 2177 . . . . 5 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
41 eqid 2177 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
42 eqid 2177 . . . . 5 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
43 eqid 2177 . . . . 5 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
44 eqid 2177 . . . . 5 (.gโ€˜๐บ) = (.gโ€˜๐บ)
4540, 41, 42, 43, 44mulgfvalg 12990 . . . 4 (๐บ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
463, 45syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.gโ€˜๐บ) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
4739, 46eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยท = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐บ), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐บ)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐บ), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
48 mulgpropdg.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ร— = (.gโ€˜๐ป))
49 eqid 2177 . . . . 5 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
50 eqid 2177 . . . . 5 (+gโ€˜๐ป) = (+gโ€˜๐ป)
51 eqid 2177 . . . . 5 (0gโ€˜๐ป) = (0gโ€˜๐ป)
52 eqid 2177 . . . . 5 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
53 eqid 2177 . . . . 5 (.gโ€˜๐ป) = (.gโ€˜๐ป)
5449, 50, 51, 52, 53mulgfvalg 12990 . . . 4 (๐ป โˆˆ ๐‘Š โ†’ (.gโ€˜๐ป) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
554, 54syl 14 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (.gโ€˜๐ป) = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
5648, 55eqtrd 2210 . 2 (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘Ž โˆˆ โ„ค, ๐‘ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ if(๐‘Ž = 0, (0gโ€˜๐ป), if(0 < ๐‘Ž, (seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜๐‘Ž), ((invgโ€˜๐ป)โ€˜(seq1((+gโ€˜๐ป), (โ„• ร— {๐‘}))โ€˜-๐‘Ž))))))
5738, 47, 563eqtr4d 2220 1 (๐œ‘ โ†’ ยท = ร— )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โІ wss 3131  ifcif 3536  {csn 3594   class class class wbr 4005   ร— cxp 4626  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   โˆˆ cmpo 5879  0cc0 7813  1c1 7814   < clt 7994  -cneg 8131  โ„•cn 8921  โ„คcz 9255  seqcseq 10447  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  0gc0g 12710  invgcminusg 12883  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-0g 12712  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulgass3  13259
  Copyright terms: Public domain W3C validator