Theorem ialgrlem1st 12074

Description: Lemma for ialgr0 12076. Expressing algrflemg 6255 in a form suitable for theorems such as seq3-1 10491 or seqf 10492. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
ialgrlem1st.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ialgrlem1st	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ialgrlem1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrflemg 6255	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) = (𝐹‘𝑥))
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) = (𝐹‘𝑥))
3		ialgrlem1st.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
5		simprl 529	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
6	4, 5	ffvelcdmd 5673	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
7	2, 6	eqeltrd 2266	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∘ ccom 4648  ⟶wf 5231  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  1^st c1st 6163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fo 5241  df-fv 5243  df-ov 5899  df-1st 6165

This theorem is referenced by:  ialgr0  12076  algrp1  12078