Theorem algrp1 11520

Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at (𝐾 + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
algrf.2	⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
algrf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
algrp1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))

Proof of Theorem algrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
2	1	fveq1i 5354	. . 3 ⊢ (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1))
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		algrf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	syl6eleq 2192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		algrf.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	4, 7	ialgrlemconst 11517	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
9		algrf.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
10	9	adantr 272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
11	10	ialgrlem1st 11516	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
12	5, 8, 11	seq3p1 10076	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
13	2, 12	syl5eq 2144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
14	1	fveq1i 5354	. . . 4 ⊢ (𝑅‘𝐾) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)
15	14	oveq1i 5716	. . 3 ⊢ ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)))
16		algrf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
17	4, 1, 16, 6, 9	algrf 11519	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑍⟶𝑆)
18	17	ffvelrnda 5487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘𝐾) ∈ 𝑆)
19	4	peano2uzs 9229	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
20		fvconst2g 5566	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
21	6, 19, 20	syl2an 285	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
22	21, 7	eqeltrd 2176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆)
23		algrflemg 6057	. . . 4 ⊢ (((𝑅‘𝐾) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))
24	18, 22, 23	syl2anc 406	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))
25	15, 24	syl5reqr 2147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑅‘𝐾)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
26	13, 25	eqtr4d 2135	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  {csn 3474   × cxp 4475   ∘ ccom 4481  ⟶wf 5055  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  1^st c1st 5967  1c1 7501   + caddc 7503  ℤcz 8906  ℤ_≥cuz 9176  seqcseq 10059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-seqfrec 10060

This theorem is referenced by:  alginv  11521  algcvg  11522  algcvga  11525  algfx  11526