Theorem algrp1 11974

Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at (𝐾 + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
algrf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
algrf.2	⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
algrf.5	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)

Assertion

Ref	Expression
algrp1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))

Proof of Theorem algrp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		algrf.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
2	1	fveq1i 5486	. . 3 ⊢ (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1))
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ 𝑍)
4		algrf.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	3, 4	eleqtrdi 2258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		algrf.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
7	6	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ 𝑆)
8	4, 7	ialgrlemconst 11971	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
9		algrf.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
10	9	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → 𝐹:𝑆⟶𝑆)
11	10	ialgrlem1st 11970	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
12	5, 8, 11	seq3p1 10393	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
13	2, 12	syl5eq 2210	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
14		algrf.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
15	4, 1, 14, 6, 9	algrf 11973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝑍⟶𝑆)
16	15	ffvelrnda 5619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘𝐾) ∈ 𝑆)
17	4	peano2uzs 9518	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ 𝑍 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
18		fvconst2g 5698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
19	6, 17, 18	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
20	19, 7	eqeltrd 2242	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆)
21		algrflemg 6194	. . . 4 ⊢ (((𝑅‘𝐾) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))
22	16, 20, 21	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))
23	1	fveq1i 5486	. . . 4 ⊢ (𝑅‘𝐾) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)
24	23	oveq1i 5851	. . 3 ⊢ ((𝑅‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)))
25	22, 24	eqtr3di 2213	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝐹‘(𝑅‘𝐾)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
26	13, 25	eqtr4d 2201	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3575   × cxp 4601   ∘ ccom 4607  ⟶wf 5183  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  1^st c1st 6103  1c1 7750   + caddc 7752  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462  seqcseq 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-seqfrec 10377

This theorem is referenced by:  alginv  11975  algcvg  11976  algcvga  11979  algfx  11980