ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  algrp1 GIF version

Theorem algrp1 11738
Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at (𝐾 + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
algrp1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))

Proof of Theorem algrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . . 4 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
21fveq1i 5422 . . 3 (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1))
3 simpr 109 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾𝑍)
4 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrdi 2232 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 algrf.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
76adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐴𝑆)
84, 7ialgrlemconst 11735 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
9 algrf.5 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
109adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐹:𝑆𝑆)
1110ialgrlem1st 11734 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
125, 8, 11seq3p1 10247 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
132, 12syl5eq 2184 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
141fveq1i 5422 . . . 4 (𝑅𝐾) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)
1514oveq1i 5784 . . 3 ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)))
16 algrf.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
174, 1, 16, 6, 9algrf 11737 . . . . 5 (𝜑𝑅:𝑍𝑆)
1817ffvelrnda 5555 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅𝐾) ∈ 𝑆)
194peano2uzs 9391 . . . . . 6 (𝐾𝑍 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
20 fvconst2g 5634 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
216, 19, 20syl2an 287 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
2221, 7eqeltrd 2216 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆)
23 algrflemg 6127 . . . 4 (((𝑅𝐾) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
2418, 22, 23syl2anc 408 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
2515, 24syl5reqr 2187 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
2613, 25eqtr4d 2175 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  {csn 3527   × cxp 4537  ccom 4543  wf 5119  cfv 5123  (class class class)co 5774  1st c1st 6036  1c1 7633   + caddc 7635  cz 9066  cuz 9338  seqcseq 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231
This theorem is referenced by:  alginv  11739  algcvg  11740  algcvga  11743  algfx  11744
  Copyright terms: Public domain W3C validator