ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  algrp1 GIF version

Theorem algrp1 12049
Description: The value of the algorithm iterator 𝑅 at (𝐾 + 1). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
algrf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
algrf.2 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
algrf.3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
algrf.4 (𝜑𝐴𝑆)
algrf.5 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
Assertion
Ref Expression
algrp1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))

Proof of Theorem algrp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 algrf.2 . . . 4 𝑅 = seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))
21fveq1i 5518 . . 3 (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1))
3 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾𝑍)
4 algrf.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4eleqtrdi 2270 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
6 algrf.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑆)
76adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐴𝑆)
84, 7ialgrlemconst 12046 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑍 × {𝐴})‘𝑥) ∈ 𝑆)
9 algrf.5 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑆𝑆)
109adantr 276 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → 𝐹:𝑆𝑆)
1110ialgrlem1st 12045 . . . 4 (((𝜑𝐾𝑍) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥(𝐹 ∘ 1st )𝑦) ∈ 𝑆)
125, 8, 11seq3p1 10465 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
132, 12eqtrid 2222 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
14 algrf.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
154, 1, 14, 6, 9algrf 12048 . . . . 5 (𝜑𝑅:𝑍𝑆)
1615ffvelcdmda 5654 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅𝐾) ∈ 𝑆)
174peano2uzs 9587 . . . . . 6 (𝐾𝑍 → (𝐾 + 1) ∈ 𝑍)
18 fvconst2g 5733 . . . . . 6 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐾 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
196, 17, 18syl2an 289 . . . . 5 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) = 𝐴)
2019, 7eqeltrd 2254 . . . 4 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆)
21 algrflemg 6234 . . . 4 (((𝑅𝐾) ∈ 𝑆 ∧ ((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)) ∈ 𝑆) → ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
2216, 20, 21syl2anc 411 . . 3 ((𝜑𝐾𝑍) → ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
231fveq1i 5518 . . . 4 (𝑅𝐾) = (seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)
2423oveq1i 5888 . . 3 ((𝑅𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1)))
2522, 24eqtr3di 2225 . 2 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝐹‘(𝑅𝐾)) = ((seq𝑀((𝐹 ∘ 1st ), (𝑍 × {𝐴}))‘𝐾)(𝐹 ∘ 1st )((𝑍 × {𝐴})‘(𝐾 + 1))))
2613, 25eqtr4d 2213 1 ((𝜑𝐾𝑍) → (𝑅‘(𝐾 + 1)) = (𝐹‘(𝑅𝐾)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  {csn 3594   × cxp 4626  ccom 4632  wf 5214  cfv 5218  (class class class)co 5878  1st c1st 6142  1c1 7815   + caddc 7817  cz 9256  cuz 9531  seqcseq 10448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449
This theorem is referenced by:  alginv  12050  algcvg  12051  algcvga  12054  algfx  12055
  Copyright terms: Public domain W3C validator