Theorem iunex 6029

Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in the class expression substituted for 𝐵, which can be read informally as 𝐵(𝑥). (Contributed by NM, 13-Oct-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
iunex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
iunex	⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		iunex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 2490	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		iunexg 6025	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
5	1, 3, 4	mp2an 423	1 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  Vcvv 2689  ∪ ciun 3821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  abrexex2  6030