Theorem ivthinclemloc 15833

Description: Lemma for ivthinc 15835. Locatedness. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑟, 𝑞)   𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑟, 𝑞)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑞)   𝐹(𝑟, 𝑞)   𝐿(𝑥, 𝑦, 𝑤, 𝑟, 𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
2		breq2 4134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
3		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
4	3	breq2d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
5	2, 4	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
6		breq1 4133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
7		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
8	7	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
10	9	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
11		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
12	11	expr 375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
13	12	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
14	13	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
15	14	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
16		simplrl 541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 15, 16	rspcdva 2934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
18		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	5, 17, 18	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
20	1, 19	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
21	7	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
22		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
25	21, 24, 16	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
26		fveq2 5695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
27	26	eleq1d 2307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
28	27, 24, 18	rspcdva 2934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
29		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 492	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
31		axltwlin 8394	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
33	20, 32	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
34	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
36		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
37	36	breq1d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
38		ivthinclem.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
39	37, 38	elrab2 2985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
40	34, 35, 39	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ 𝐿)
41	40	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 → 𝑞 ∈ 𝐿))
42	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑟))
44		fveq2 5695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
45	44	breq2d 4142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
46		ivthinclem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
47	45, 46	elrab2 2985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
48	42, 43, 47	sylanbrc 421	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ 𝑅)
49	48	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑈 < (𝐹‘𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑅))
50	41, 49	orim12d 798	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
51	33, 50	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅))
52	51	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
53	52	ralrimivva 2632	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  {crab 2532   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  ℝcr 8179   < clt 8361  [,]cicc 10304  –cn→ccncf 15762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltwlin 8293

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-iota 5337  df-fv 5385  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  ivthinclemex  15834