Theorem ivthinclemloc 13030

Description: Lemma for ivthinc 13032. Locatedness. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
2		breq2 3969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
3		fveq2 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
4	3	breq2d 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
5	2, 4	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
6		breq1 3968	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
7		fveq2 5468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
8	7	breq1d 3975	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
10	9	ralbidv 2457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
11		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
12	11	expr 373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
13	12	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
14	13	ralrimiva 2530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
15	14	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
16		simplrl 525	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 15, 16	rspcdva 2821	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
18		simplrr 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	5, 17, 18	rspcdva 2821	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
20	1, 19	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
21	7	eleq1d 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
22		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	ralrimiva 2530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
25	21, 24, 16	rspcdva 2821	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
26		fveq2 5468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
27	26	eleq1d 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
28	27, 24, 18	rspcdva 2821	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
29		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
31		axltwlin 7945	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1220	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
33	20, 32	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
34	16	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
36		fveq2 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
37	36	breq1d 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
38		ivthinclem.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
39	37, 38	elrab2 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
40	34, 35, 39	sylanbrc 414	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ 𝐿)
41	40	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 → 𝑞 ∈ 𝐿))
42	18	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑟))
44		fveq2 5468	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
45	44	breq2d 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
46		ivthinclem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
47	45, 46	elrab2 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
48	42, 43, 47	sylanbrc 414	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ 𝑅)
49	48	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑈 < (𝐹‘𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑅))
50	41, 49	orim12d 776	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
51	33, 50	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅))
52	51	ex 114	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
53	52	ralrimivva 2539	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  {crab 2439   ⊆ wss 3102   class class class wbr 3965  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  ℝcr 7731   < clt 7912  [,]cicc 9795  –cn→ccncf 12968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-pre-ltwlin 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-iota 5135  df-fv 5178  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  13031