Theorem ivthinclemloc 14415

Description: Lemma for ivthinc 14417. Locatedness. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemloc	⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑟   𝐵,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑤,𝑞

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑞)   𝐵(𝑞)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑟,𝑞)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑤,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem ivthinclemloc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 < 𝑟)
2		breq2 4019	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑟))
3		fveq2 5527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑟))
4	3	breq2d 4027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
5	2, 4	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑟 → ((𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))))
6		breq1 4018	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑞 < 𝑦))
7		fveq2 5527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑞))
8	7	breq1d 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦) ↔ (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
9	6, 8	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
10	9	ralbidv 2487	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)) ↔ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦))))
11		ivthinc.i	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
12	11	expr 375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
13	12	ralrimiva 2560	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
14	13	ralrimiva 2560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
15	14	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑥 < 𝑦 → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦)))
16		simplrl 535	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 15, 16	rspcdva 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑦 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑦)))
18		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	5, 17, 18	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 < 𝑟 → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟)))
20	1, 19	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟))
21	7	eleq1d 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ))
22		ivth.8	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
23	22	ralrimiva 2560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24	23	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
25	21, 24, 16	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑞) ∈ ℝ)
26		fveq2 5527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑟))
27	26	eleq1d 2256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ))
28	27, 24, 18	rspcdva 2858	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ)
29		ivth.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
30	29	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → 𝑈 ∈ ℝ)
31		axltwlin 8039	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑞) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑟) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
32	25, 28, 30, 31	syl3anc 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < (𝐹‘𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟))))
33	20, 32	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
34	16	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → (𝐹‘𝑞) < 𝑈)
36		fveq2 5527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑞))
37	36	breq1d 4025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑞 → ((𝐹‘𝑤) < 𝑈 ↔ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
38		ivthinclem.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
39	37, 38	elrab2 2908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈))
40	34, 35, 39	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ (𝐹‘𝑞) < 𝑈) → 𝑞 ∈ 𝐿)
41	40	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → ((𝐹‘𝑞) < 𝑈 → 𝑞 ∈ 𝐿))
42	18	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))
43		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑈 < (𝐹‘𝑟))
44		fveq2 5527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝐹‘𝑤) = (𝐹‘𝑟))
45	44	breq2d 4027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑟 → (𝑈 < (𝐹‘𝑤) ↔ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
46		ivthinclem.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
47	45, 46	elrab2 2908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)))
48	42, 43, 47	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → 𝑟 ∈ 𝑅)
49	48	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑈 < (𝐹‘𝑟) → 𝑟 ∈ 𝑅))
50	41, 49	orim12d 787	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (((𝐹‘𝑞) < 𝑈 ∨ 𝑈 < (𝐹‘𝑟)) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
51	33, 50	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑞 < 𝑟) → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅))
52	51	ex 115	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
53	52	ralrimivva 2569	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  {crab 2469   ⊆ wss 3141   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824   < clt 8006  [,]cicc 9905  –cn→ccncf 14353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-pre-ltwlin 7938

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-iota 5190  df-fv 5236  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011

This theorem is referenced by:  ivthinclemex  14416