Theorem ivthinclemex 15301

Description: Lemma for ivthinc 15302. Existence of a number between the lower cut and the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemex	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞,𝑟   𝑧,𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑧,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝐿   𝑅,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝑅   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑧,𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
4		ssrab2 3309	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5	3, 4	eqsstri 3256	. . 3 ⊢ 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
7		ivthinclem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
8		ssrab2 3309	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	7, 8	eqsstri 3256	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11		ivth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
14		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
15		ivth.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17		ivthinc.i	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
18	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlm 15293	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
19	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemum 15294	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)
20	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlr 15296	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemur 15298	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
22	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemdisj 15299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)
23	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemloc 15300	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
24	1, 2, 6, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 12	dedekindicc 15292	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃!wreu 2510  {crab 2512   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4082  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  ℝcr 7986   < clt 8169  (,)cioo 10072  [,]cicc 10075  –cn→ccncf 15229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-map 6787  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-rp 9838  df-ioo 10076  df-icc 10079  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-cncf 15230

This theorem is referenced by:  ivthinc  15302