ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemex GIF version

Theorem ivthinclemex 13962
Description: Lemma for ivthinc 13963. Existence of a number between the lower cut and the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemex (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟𝑅 𝑧 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞,𝑟   𝑧,𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑧,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝐿   𝑅,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝑅   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑧,𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemex
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivthinclem.l . . . 4 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
4 ssrab2 3240 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
53, 4eqsstri 3187 . . 3 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
65a1i 9 . 2 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
7 ivthinclem.r . . . 4 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
8 ssrab2 3240 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
97, 8eqsstri 3187 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
109a1i 9 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11 ivth.3 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
13 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
14 ivth.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
15 ivth.8 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
17 ivthinc.i . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
181, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemlm 13954 . 2 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
191, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemum 13955 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑅)
201, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemlr 13957 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
211, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemur 13959 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑅 ↔ ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
221, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemdisj 13960 . 2 (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
231, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemloc 13961 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑅)))
241, 2, 6, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 12dedekindicc 13953 1 (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟𝑅 𝑧 < 𝑟))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  ∃!wreu 2457  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4001  cfv 5213  (class class class)co 5870  cc 7804  cr 7805   < clt 7986  (,)cioo 9882  [,]cicc 9885  cnccncf 13899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926  ax-pre-suploc 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-frec 6387  df-map 6645  df-sup 6978  df-inf 6979  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-rp 9648  df-ioo 9886  df-icc 9889  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-cncf 13900
This theorem is referenced by:  ivthinc  13963
  Copyright terms: Public domain W3C validator