Theorem ivthinclemex 15499

Description: Lemma for ivthinc 15500. Existence of a number between the lower cut and the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemex	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞,𝑟   𝑧,𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑧,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝐿   𝑅,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝑅   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑧,𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
4		ssrab2 3322	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5	3, 4	eqsstri 3269	. . 3 ⊢ 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
7		ivthinclem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
8		ssrab2 3322	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	7, 8	eqsstri 3269	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11		ivth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
14		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
15		ivth.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17		ivthinc.i	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
18	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlm 15491	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
19	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemum 15492	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)
20	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlr 15494	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemur 15496	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
22	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemdisj 15497	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)
23	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemloc 15498	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
24	1, 2, 6, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 12	dedekindicc 15490	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃!wreu 2522  {crab 2524   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  ℝcr 8125   < clt 8307  (,)cioo 10220  [,]cicc 10223  –cn→ccncf 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246  ax-pre-suploc 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-map 6883  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-ioo 10224  df-icc 10227  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-cncf 15428

This theorem is referenced by:  ivthinc  15500