ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ivthinclemex GIF version

Theorem ivthinclemex 14281
Description: Lemma for ivthinc 14282. Existence of a number between the lower cut and the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivthinc.i (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
ivthinclem.l 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
Assertion
Ref Expression
ivthinclemex (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟𝑅 𝑧 < 𝑟))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞,𝑟   𝑧,𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑧,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝐿   𝑅,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝑅   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑧,𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemex
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ivth.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 ivthinclem.l . . . 4 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈}
4 ssrab2 3242 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑤) < 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
53, 4eqsstri 3189 . . 3 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
65a1i 9 . 2 (𝜑𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
7 ivthinclem.r . . . 4 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)}
8 ssrab2 3242 . . . 4 {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹𝑤)} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
97, 8eqsstri 3189 . . 3 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
109a1i 9 . 2 (𝜑𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11 ivth.3 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
12 ivth.4 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
13 ivth.5 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
14 ivth.7 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
15 ivth.8 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
17 ivthinc.i . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹𝑥) < (𝐹𝑦))
181, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemlm 14273 . 2 (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞𝐿)
191, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemum 14274 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟𝑅)
201, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemlr 14276 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟𝐿 𝑞 < 𝑟))
211, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemur 14278 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟𝑅 ↔ ∃𝑞𝑅 𝑞 < 𝑟))
221, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemdisj 14279 . 2 (𝜑 → (𝐿𝑅) = ∅)
231, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7ivthinclemloc 14280 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑅)))
241, 2, 6, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 12dedekindicc 14272 1 (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟𝑅 𝑧 < 𝑟))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  ∃!wreu 2457  {crab 2459  wss 3131   class class class wbr 4005  cfv 5218  (class class class)co 5878  cc 7812  cr 7813   < clt 7995  (,)cioo 9891  [,]cicc 9894  cnccncf 14218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-rp 9657  df-ioo 9895  df-icc 9898  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-cncf 14219
This theorem is referenced by:  ivthinc  14282
  Copyright terms: Public domain W3C validator