Theorem ivthinclemex 15372

Description: Lemma for ivthinc 15373. Existence of a number between the lower cut and the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivthinc.i	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
ivthinclem.l	⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
ivthinclem.r	⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}

Assertion

Ref	Expression
ivthinclemex	⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐴,𝑦,𝑞,𝑟   𝑧,𝐴,𝑞,𝑟   𝐵,𝑞,𝑟,𝑤   𝑥,𝐵,𝑦   𝑧,𝐵   𝑤,𝐹   𝑥,𝐹,𝑦   𝐿,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝐿   𝑅,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝑧,𝑅   𝑤,𝑈   𝜑,𝑞,𝑟,𝑥,𝑦   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑟,𝑞)   𝑅(𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑧,𝑟,𝑞)   𝐿(𝑤)

Proof of Theorem ivthinclemex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ivth.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ivthinclem.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈}
4		ssrab2 3312	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑤) < 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5	3, 4	eqsstri 3259	. . 3 ⊢ 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
6	5	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
7		ivthinclem.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)}
8		ssrab2 3312	. . . 4 ⊢ {𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ 𝑈 < (𝐹‘𝑤)} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	7, 8	eqsstri 3259	. . 3 ⊢ 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
11		ivth.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
12		ivth.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13		ivth.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
14		ivth.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
15		ivth.8	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
16		ivth.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
17		ivthinc.i	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦)) → (𝐹‘𝑥) < (𝐹‘𝑦))
18	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlm 15364	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑞 ∈ 𝐿)
19	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemum 15365	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑟 ∈ 𝑅)
20	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemlr 15367	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑟))
21	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemur 15369	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑟 ∈ 𝑅 ↔ ∃𝑞 ∈ 𝑅 𝑞 < 𝑟))
22	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemdisj 15370	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∩ 𝑅) = ∅)
23	1, 2, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 7	ivthinclemloc 15371	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑞 ∈ (𝐴[,]𝐵)∀𝑟 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝑞 < 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑅)))
24	1, 2, 6, 10, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 12	dedekindicc 15363	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)(∀𝑞 ∈ 𝐿 𝑞 < 𝑧 ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑅 𝑧 < 𝑟))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃!wreu 2512  {crab 2514   ⊆ wss 3200   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031   < clt 8214  (,)cioo 10123  [,]cicc 10126  –cn→ccncf 15300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-rp 9889  df-ioo 10127  df-icc 10130  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-cncf 15301

This theorem is referenced by:  ivthinc  15373