Theorem breq2d 4143

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem breq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  breqtrd  4157  sbcbr1g  4188  pofun  4459  csbfv12g  5739  isorel  6017  isocnv  6020  isotr  6025  caovordig  6258  caovordg  6260  caovord  6264  xporderlem  6471  th3qlem2  6916  phplem3g  7161  supsnti  7351  inflbti  7370  difinfinf  7447  enqdc1  7735  ltanqg  7773  ltmnqg  7774  archnqq  7790  prarloclemarch2  7792  prloc  7864  addnqprllem  7900  addlocprlemgt  7907  appdivnq  7936  mulnqprl  7941  1idprl  7963  ltexprlemloc  7980  caucvgprlemcanl  8017  cauappcvgprlemm  8018  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlemladdrl  8030  cauappcvgprlem1  8032  cauappcvgprlemlim  8034  cauappcvgpr  8035  archrecnq  8036  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemm  8041  caucvgprlemcl  8049  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgpr  8055  caucvgprprlemell  8058  caucvgprprlemelu  8059  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemval  8061  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemml  8067  caucvgprprlemmu  8068  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemopu  8072  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexbt  8079  caucvgprprlem1  8082  caucvgprprlem2  8083  caucvgprpr  8085  ltposr  8136  ltasrg  8143  mulgt0sr  8151  mulextsr1lem  8153  mulextsr1  8154  prsrlt  8160  caucvgsrlemcl  8162  caucvgsrlemfv  8164  caucvgsrlembound  8167  caucvgsrlemgt1  8168  caucvgsrlemoffres  8173  caucvgsr  8175  map2psrprg  8178  pitonnlem2  8220  pitonn  8221  recidpipr  8229  axpre-ltadd  8259  axpre-mulgt0  8260  axpre-mulext  8261  axarch  8264  nntopi  8267  axcaucvglemval  8270  axcaucvglemcau  8271  axcaucvglemres  8272  axpre-suploclemres  8274  ltaddneg  8759  ltsubadd2  8768  lesubadd2  8770  ltaddsub  8771  leaddsub  8773  ltaddpos2  8788  posdif  8790  lesub1  8791  ltsub1  8793  ltnegcon1  8798  lenegcon1  8801  addge02  8808  leaddle0  8812  ltordlem  8817  possumd  8905  sublt0d  8906  apreap  8923  prodgt02  9191  prodge02  9193  ltmulgt12  9203  lemulge12  9205  ltdivmul  9214  ledivmul  9215  ltdivmul2  9216  lt2mul2div  9217  ledivmul2  9218  ltrec  9221  ltrec1  9226  ltdiv23  9230  lediv23  9231  nnge1  9336  halfpos  9547  lt2halves  9552  addltmul  9553  avglt2  9556  avgle2  9558  nnrecl  9572  zltlem1  9713  difgtsumgt  9725  nn0le2is012  9739  gtndiv  9752  qapne  10055  nnledivrp  10184  xltnegi  10254  xltadd1  10295  xsubge0  10300  xposdif  10301  xlesubadd  10302  xleaddadd  10306  divelunit  10421  eluzgtdifelfzo  10632  qtri3or  10692  exbtwnzlemstep  10699  exbtwnzlemshrink  10700  exbtwnzlemex  10701  exbtwnz  10702  rebtwn2zlemstep  10704  rebtwn2zlemshrink  10705  rebtwn2z  10706  flqlelt  10729  flaplelt  10730  flqbi  10746  2tnp1ge0ge0  10757  q2submod  10843  frec2uzltd  10861  frec2uzlt2d  10862  frec2uzf1od  10864  monoord  10943  ser3mono  10945  ser3ge0  10994  expnbnd  11122  nn0ltexp2  11169  facwordi  11200  hashunlem  11266  ssenneg  11302  zfz1isolemiso  11313  seq3coll  11316  swrdccat3blem  11533  caucvgrelemcau  11768  caucvgre  11769  cvg1nlemcau  11772  cvg1nlemres  11773  recvguniq  11783  resqrexlemover  11798  resqrexlemgt0  11808  resqrexlemoverl  11809  resqrexlemglsq  11810  resqrexlemsqa  11812  resqrexlemex  11813  maxleastlt  12004  minmax  12020  lemininf  12024  ltmininf  12025  xrmaxleastlt  12047  xrmaxltsup  12049  xrminmax  12056  xrmin1inf  12058  xrmin2inf  12059  xrltmininf  12061  xrlemininf  12062  climserle  12136  summodclem3  12172  summodclem2a  12173  summodc  12175  zsumdc  12176  fsum3  12179  fsum00  12254  fsumabs  12257  cvgratnnlemnexp  12316  cvgratnnlemmn  12317  zproddc  12371  fprodseq  12375  fprodle  12432  sin01bnd  12549  cos01bnd  12550  summodnegmod  12614  modmulconst  12615  dvdsaddr  12629  dvdssub  12630  dvdssubr  12631  dvdslelemd  12635  dvdsfac  12652  dvdsmod  12654  oddp1even  12668  ltoddhalfle  12685  opoe  12687  omoe  12688  divalg2  12718  divalgmod  12719  ndvdssub  12722  ndvdsadd  12723  bitsfval  12734  bitsval  12735  bits0  12740  bitsp1  12743  bitsfzolem  12746  bitsfzo  12747  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  bezoutlembi  12807  dvdssqim  12826  dvdsmulgcd  12827  dvdssq  12833  nn0seqcvgd  12844  coprmdvds  12895  coprmdvds2  12896  rpmul  12901  cncongr1  12906  divgcdodd  12947  isprm6  12951  prmdvdsexp  12952  prmdvdsexpr  12954  prmfac1  12956  nnmaxpwlemxy  12973  nnmaxpwlemnfac  12976  sqpweven  12980  2sqpwodd  12981  sqne2sq  12982  hashdvds  13028  phiprmpw  13029  eulerthlemh  13038  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  odzval  13049  odzcllem  13050  odzdvds  13053  pythagtriplem11  13082  pythagtriplem13  13084  pythagtrip  13091  pceulem  13102  pczndvds2  13126  pcdvdsb  13128  pc2dvds  13138  pcz  13140  pcprmpw2  13141  dvdsprmpweq  13143  dvdsprmpweqle  13145  difsqpwdvds  13146  pcmpt  13151  prmpwdvds  13163  pockthlem  13164  4sqlem11  13209  ballotfilemfc0  13290  ballotfilemfcc  13291  ballotfileme  13294  ballotfilemefi  13295  ballotfilemodife  13298  ballotfilem4  13299  ballotfilem1c  13309  ballotfilemsval  13310  ballotfilemieq  13318  ballotfilemfrcn0  13331  ballotfi  13340  exmidunben  13375  nninfdclemlt  13400  mulgval  13984  dvdsrtr  14517  dvdsrmul1  14518  unitnegcl  14546  unitpropdg  14564  elrhmunit  14593  zndvds0  15094  znunit  15103  mplsubgfilemcl  15215  psmettri2  15554  ismet2  15580  xmettri2  15587  comet  15725  ivthinclemum  15861  ivthinclemlopn  15862  ivthinclemlr  15863  ivthinclemuopn  15864  ivthinclemur  15865  ivthinclemdisj  15866  ivthinclemloc  15867  ivthinc  15869  ivthreinc  15871  limccl  15885  ellimc3apf  15886  sin0pilem2  16009  pilem3  16010  sincosq1sgn  16053  sincosq2sgn  16054  sincosq4sgn  16056  logltb  16104  logle1b  16122  loglt1b  16123  logbgt0b  16202  wilthlem1  16232  sgmval  16252  dvdsppwf1o  16283  chtublem  16295  chtqub  16296  perfect1  16298  bcmono  16304  bclbnd  16307  bposlem1  16311  bposlem5  16315  lgslem1  16324  lgsval  16328  lgsdilem  16351  lgsne0  16362  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1f1o  16384  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgsquadlem1  16401  lgsquadlem2  16402  lgsquadlem3  16403  lgsquad2lem2  16406  m1lgs  16409  2lgslem1a1  16410  2lgslem1a  16412  2lgsoddprmlem2  16430  2lgsoddprmlem3  16435  2sqlem4  16442  2sqlem8a  16446  eupth2lem3lem3fi  16916  eupth2lem3lem6fi  16917  eupth2lem3lem4fi  16919  eupth2lem3lem7fi  16920  eupth2lemsfi  16924  eupth2fi  16925  konigsberglem4  16937