Theorem breq2d 3941

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem breq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq2 3933	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1331   class class class wbr 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930

This theorem is referenced by:  breqtrd  3954  sbcbr1g  3984  pofun  4234  csbfv12g  5457  isorel  5709  isocnv  5712  isotr  5717  caovordig  5936  caovordg  5938  caovord  5942  xporderlem  6128  th3qlem2  6532  phplem3g  6750  supsnti  6892  inflbti  6911  difinfinf  6986  enqdc1  7170  ltanqg  7208  ltmnqg  7209  archnqq  7225  prarloclemarch2  7227  prloc  7299  addnqprllem  7335  addlocprlemgt  7342  appdivnq  7371  mulnqprl  7376  1idprl  7398  ltexprlemloc  7415  caucvgprlemcanl  7452  cauappcvgprlemm  7453  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  cauappcvgprlem1  7467  cauappcvgprlemlim  7469  cauappcvgpr  7470  archrecnq  7471  caucvgprlemnkj  7474  caucvgprlemnbj  7475  caucvgprlemm  7476  caucvgprlemcl  7484  caucvgprlemladdrl  7486  caucvgpr  7490  caucvgprprlemell  7493  caucvgprprlemelu  7494  caucvgprprlemcbv  7495  caucvgprprlemval  7496  caucvgprprlemnkeqj  7498  caucvgprprlemml  7502  caucvgprprlemmu  7503  caucvgprprlemopl  7505  caucvgprprlemlol  7506  caucvgprprlemopu  7507  caucvgprprlemloc  7511  caucvgprprlemclphr  7513  caucvgprprlemexbt  7514  caucvgprprlem1  7517  caucvgprprlem2  7518  caucvgprpr  7520  ltposr  7571  ltasrg  7578  mulgt0sr  7586  mulextsr1lem  7588  mulextsr1  7589  prsrlt  7595  caucvgsrlemcl  7597  caucvgsrlemfv  7599  caucvgsrlembound  7602  caucvgsrlemgt1  7603  caucvgsrlemoffres  7608  caucvgsr  7610  map2psrprg  7613  pitonnlem2  7655  pitonn  7656  recidpipr  7664  axpre-ltadd  7694  axpre-mulgt0  7695  axpre-mulext  7696  axarch  7699  nntopi  7702  axcaucvglemval  7705  axcaucvglemcau  7706  axcaucvglemres  7707  axpre-suploclemres  7709  ltaddneg  8186  ltsubadd2  8195  lesubadd2  8197  ltaddsub  8198  leaddsub  8200  ltaddpos2  8215  posdif  8217  lesub1  8218  ltsub1  8220  ltnegcon1  8225  lenegcon1  8228  addge02  8235  leaddle0  8239  ltordlem  8244  possumd  8331  sublt0d  8332  apreap  8349  prodgt02  8611  prodge02  8613  ltmulgt12  8623  lemulge12  8625  ltdivmul  8634  ledivmul  8635  ltdivmul2  8636  lt2mul2div  8637  ledivmul2  8638  ltrec  8641  ltrec1  8646  ltdiv23  8650  lediv23  8651  nnge1  8743  halfpos  8951  lt2halves  8955  addltmul  8956  avglt2  8959  avgle2  8961  nnrecl  8975  zltlem1  9111  nn0le2is012  9133  gtndiv  9146  qapne  9431  nnledivrp  9553  xltnegi  9618  xltadd1  9659  xsubge0  9664  xposdif  9665  xlesubadd  9666  xleaddadd  9670  divelunit  9785  eluzgtdifelfzo  9974  qtri3or  10020  exbtwnzlemstep  10025  exbtwnzlemshrink  10026  exbtwnzlemex  10027  exbtwnz  10028  rebtwn2zlemstep  10030  rebtwn2zlemshrink  10031  rebtwn2z  10032  flqlelt  10049  flqbi  10063  2tnp1ge0ge0  10074  q2submod  10158  frec2uzltd  10176  frec2uzlt2d  10177  frec2uzf1od  10179  monoord  10249  ser3mono  10251  ser3ge0  10290  expnbnd  10415  facwordi  10486  hashunlem  10550  zfz1isolemiso  10582  seq3coll  10585  caucvgrelemcau  10752  caucvgre  10753  cvg1nlemcau  10756  cvg1nlemres  10757  recvguniq  10767  resqrexlemover  10782  resqrexlemgt0  10792  resqrexlemoverl  10793  resqrexlemglsq  10794  resqrexlemsqa  10796  resqrexlemex  10797  maxleastlt  10987  minmax  11001  lemininf  11005  ltmininf  11006  xrmaxleastlt  11025  xrmaxltsup  11027  xrminmax  11034  xrmin1inf  11036  xrmin2inf  11037  xrltmininf  11039  xrlemininf  11040  climserle  11114  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  summodc  11152  zsumdc  11153  fsum3  11156  fsum00  11231  fsumabs  11234  cvgratnnlemnexp  11293  cvgratnnlemmn  11294  sin01bnd  11464  cos01bnd  11465  summodnegmod  11524  modmulconst  11525  dvdsaddr  11537  dvdssub  11538  dvdssubr  11539  dvdslelemd  11541  dvdsfac  11558  dvdsmod  11560  oddp1even  11573  ltoddhalfle  11590  opoe  11592  omoe  11593  divalg2  11623  divalgmod  11624  ndvdssub  11627  ndvdsadd  11628  bezoutlembi  11693  dvdssqim  11712  dvdsmulgcd  11713  dvdssq  11719  nn0seqcvgd  11722  coprmdvds  11773  coprmdvds2  11774  rpmul  11779  cncongr1  11784  divgcdodd  11821  isprm6  11825  prmdvdsexp  11826  prmdvdsexpr  11828  prmfac1  11830  oddpwdclemxy  11847  oddpwdclemodd  11850  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854  sqne2sq  11855  hashdvds  11897  phiprmpw  11898  exmidunben  11939  psmettri2  12497  ismet2  12523  xmettri2  12530  comet  12668  ivthinclemum  12782  ivthinclemlopn  12783  ivthinclemlr  12784  ivthinclemuopn  12785  ivthinclemur  12786  ivthinclemdisj  12787  ivthinclemloc  12788  ivthinc  12790  limccl  12797  ellimc3apf  12798  sin0pilem2  12863  pilem3  12864  sincosq1sgn  12907  sincosq2sgn  12908  sincosq4sgn  12910