Theorem breq2d 4143

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem breq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq2 4135	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  breqtrd  4157  sbcbr1g  4188  pofun  4459  csbfv12g  5739  isorel  6017  isocnv  6020  isotr  6025  caovordig  6258  caovordg  6260  caovord  6264  xporderlem  6471  th3qlem2  6917  phplem3g  7163  supsnti  7351  inflbti  7370  difinfinf  7447  enqdc1  7735  ltanqg  7773  ltmnqg  7774  archnqq  7790  prarloclemarch2  7792  prloc  7864  addnqprllem  7900  addlocprlemgt  7907  appdivnq  7936  mulnqprl  7941  1idprl  7963  ltexprlemloc  7980  caucvgprlemcanl  8017  cauappcvgprlemm  8018  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlemladdrl  8030  cauappcvgprlem1  8032  cauappcvgprlemlim  8034  cauappcvgpr  8035  archrecnq  8036  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemm  8041  caucvgprlemcl  8049  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgpr  8055  caucvgprprlemell  8058  caucvgprprlemelu  8059  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemval  8061  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemml  8067  caucvgprprlemmu  8068  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemopu  8072  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexbt  8079  caucvgprprlem1  8082  caucvgprprlem2  8083  caucvgprpr  8085  ltposr  8136  ltasrg  8143  mulgt0sr  8151  mulextsr1lem  8153  mulextsr1  8154  prsrlt  8160  caucvgsrlemcl  8162  caucvgsrlemfv  8164  caucvgsrlembound  8167  caucvgsrlemgt1  8168  caucvgsrlemoffres  8173  caucvgsr  8175  map2psrprg  8178  pitonnlem2  8220  pitonn  8221  recidpipr  8229  axpre-ltadd  8259  axpre-mulgt0  8260  axpre-mulext  8261  axarch  8264  nntopi  8267  axcaucvglemval  8270  axcaucvglemcau  8271  axcaucvglemres  8272  axpre-suploclemres  8274  ltaddneg  8759  ltsubadd2  8768  lesubadd2  8770  ltaddsub  8771  leaddsub  8773  ltaddpos2  8788  posdif  8790  lesub1  8791  ltsub1  8793  ltnegcon1  8798  lenegcon1  8801  addge02  8808  leaddle0  8812  ltordlem  8817  possumd  8905  sublt0d  8906  apreap  8923  prodgt02  9191  prodge02  9193  ltmulgt12  9203  lemulge12  9205  ltdivmul  9214  ledivmul  9215  ltdivmul2  9216  lt2mul2div  9217  ledivmul2  9218  ltrec  9221  ltrec1  9226  ltdiv23  9230  lediv23  9231  nnge1  9336  halfpos  9547  lt2halves  9552  addltmul  9553  avglt2  9556  avgle2  9558  nnrecl  9572  zltlem1  9711  difgtsumgt  9723  nn0le2is012  9737  gtndiv  9751  qapne  10054  nnledivrp  10183  xltnegi  10253  xltadd1  10294  xsubge0  10299  xposdif  10300  xlesubadd  10301  xleaddadd  10305  divelunit  10420  eluzgtdifelfzo  10631  qtri3or  10691  exbtwnzlemstep  10698  exbtwnzlemshrink  10699  exbtwnzlemex  10700  exbtwnz  10701  rebtwn2zlemstep  10703  rebtwn2zlemshrink  10704  rebtwn2z  10705  flqlelt  10728  flaplelt  10729  flqbi  10745  2tnp1ge0ge0  10756  q2submod  10842  frec2uzltd  10860  frec2uzlt2d  10861  frec2uzf1od  10863  monoord  10942  ser3mono  10944  ser3ge0  10993  expnbnd  11121  nn0ltexp2  11168  facwordi  11199  hashunlem  11265  ssenneg  11301  zfz1isolemiso  11312  seq3coll  11315  swrdccat3blem  11532  caucvgrelemcau  11767  caucvgre  11768  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  recvguniq  11782  resqrexlemover  11797  resqrexlemgt0  11807  resqrexlemoverl  11808  resqrexlemglsq  11809  resqrexlemsqa  11811  resqrexlemex  11812  maxleastlt  12003  minmax  12019  lemininf  12023  ltmininf  12024  xrmaxleastlt  12046  xrmaxltsup  12048  xrminmax  12055  xrmin1inf  12057  xrmin2inf  12058  xrltmininf  12060  xrlemininf  12061  climserle  12135  summodclem3  12171  summodclem2a  12172  summodc  12174  zsumdc  12175  fsum3  12178  fsum00  12253  fsumabs  12256  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratnnlemmn  12316  zproddc  12370  fprodseq  12374  fprodle  12431  sin01bnd  12548  cos01bnd  12549  summodnegmod  12613  modmulconst  12614  dvdsaddr  12628  dvdssub  12629  dvdssubr  12630  dvdslelemd  12634  dvdsfac  12651  dvdsmod  12653  oddp1even  12667  ltoddhalfle  12684  opoe  12686  omoe  12687  divalg2  12717  divalgmod  12718  ndvdssub  12721  ndvdsadd  12722  bitsfval  12733  bitsval  12734  bits0  12739  bitsp1  12742  bitsfzolem  12745  bitsfzo  12746  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  bezoutlembi  12806  dvdssqim  12825  dvdsmulgcd  12826  dvdssq  12832  nn0seqcvgd  12843  coprmdvds  12894  coprmdvds2  12895  rpmul  12900  cncongr1  12905  divgcdodd  12946  isprm6  12950  prmdvdsexp  12951  prmdvdsexpr  12953  prmfac1  12955  nnmaxpwlemxy  12972  nnmaxpwlemnfac  12975  sqpweven  12979  2sqpwodd  12980  sqne2sq  12981  hashdvds  13027  phiprmpw  13028  eulerthlemh  13037  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  odzval  13048  odzcllem  13049  odzdvds  13052  pythagtriplem11  13081  pythagtriplem13  13083  pythagtrip  13090  pceulem  13101  pczndvds2  13125  pcdvdsb  13127  pc2dvds  13137  pcz  13139  pcprmpw2  13140  dvdsprmpweq  13142  dvdsprmpweqle  13144  difsqpwdvds  13145  pcmpt  13150  prmpwdvds  13162  pockthlem  13163  4sqlem11  13208  ballotfilemfc0  13289  ballotfilemfcc  13290  ballotfileme  13293  ballotfilemefi  13294  ballotfilemodife  13297  ballotfilem4  13298  ballotfilem1c  13308  ballotfilemsval  13309  ballotfilemieq  13317  ballotfilemfrcn0  13330  ballotfi  13339  exmidunben  13374  nninfdclemlt  13399  mulgval  13983  dvdsrtr  14516  dvdsrmul1  14517  unitnegcl  14545  unitpropdg  14563  elrhmunit  14592  zndvds0  15093  znunit  15102  mplvalg  15222  psmettri2  15571  ismet2  15597  xmettri2  15604  comet  15742  ivthinclemum  15878  ivthinclemlopn  15879  ivthinclemlr  15880  ivthinclemuopn  15881  ivthinclemur  15882  ivthinclemdisj  15883  ivthinclemloc  15884  ivthinc  15886  ivthreinc  15888  limccl  15902  ellimc3apf  15903  sin0pilem2  16026  pilem3  16027  sincosq1sgn  16070  sincosq2sgn  16071  sincosq4sgn  16073  logltb  16121  logle1b  16139  loglt1b  16140  logbgt0b  16219  wilthlem1  16249  sgmval  16269  dvdsppwf1o  16300  chtublem  16312  chtqub  16313  perfect1  16315  bcmono  16321  bclbnd  16324  bposlem1  16328  bposlem5  16332  lgslem1  16341  lgsval  16345  lgsdilem  16368  lgsne0  16379  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1f1o  16401  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgsquadlem1  16418  lgsquadlem2  16419  lgsquadlem3  16420  lgsquad2lem2  16423  m1lgs  16426  2lgslem1a1  16427  2lgslem1a  16429  2lgsoddprmlem2  16447  2lgsoddprmlem3  16452  2sqlem4  16459  2sqlem8a  16463  eupth2lem3lem3fi  16933  eupth2lem3lem6fi  16934  eupth2lem3lem4fi  16936  eupth2lem3lem7fi  16937  eupth2lemsfi  16941  eupth2fi  16942  konigsberglem4  16954