Theorem breq2d 4046

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
breq2d	⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Proof of Theorem breq2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq2 4038	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝑅𝐴 ↔ 𝐶𝑅𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  breqtrd  4060  sbcbr1g  4090  pofun  4348  csbfv12g  5599  isorel  5858  isocnv  5861  isotr  5866  caovordig  6093  caovordg  6095  caovord  6099  xporderlem  6298  th3qlem2  6706  phplem3g  6926  supsnti  7080  inflbti  7099  difinfinf  7176  enqdc1  7448  ltanqg  7486  ltmnqg  7487  archnqq  7503  prarloclemarch2  7505  prloc  7577  addnqprllem  7613  addlocprlemgt  7620  appdivnq  7649  mulnqprl  7654  1idprl  7676  ltexprlemloc  7693  caucvgprlemcanl  7730  cauappcvgprlemm  7731  cauappcvgprlemladdru  7742  cauappcvgprlemladdrl  7743  cauappcvgprlem1  7745  cauappcvgprlemlim  7747  cauappcvgpr  7748  archrecnq  7749  caucvgprlemnkj  7752  caucvgprlemnbj  7753  caucvgprlemm  7754  caucvgprlemcl  7762  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgpr  7768  caucvgprprlemell  7771  caucvgprprlemelu  7772  caucvgprprlemcbv  7773  caucvgprprlemval  7774  caucvgprprlemnkeqj  7776  caucvgprprlemml  7780  caucvgprprlemmu  7781  caucvgprprlemopl  7783  caucvgprprlemlol  7784  caucvgprprlemopu  7785  caucvgprprlemloc  7789  caucvgprprlemclphr  7791  caucvgprprlemexbt  7792  caucvgprprlem1  7795  caucvgprprlem2  7796  caucvgprpr  7798  ltposr  7849  ltasrg  7856  mulgt0sr  7864  mulextsr1lem  7866  mulextsr1  7867  prsrlt  7873  caucvgsrlemcl  7875  caucvgsrlemfv  7877  caucvgsrlembound  7880  caucvgsrlemgt1  7881  caucvgsrlemoffres  7886  caucvgsr  7888  map2psrprg  7891  pitonnlem2  7933  pitonn  7934  recidpipr  7942  axpre-ltadd  7972  axpre-mulgt0  7973  axpre-mulext  7974  axarch  7977  nntopi  7980  axcaucvglemval  7983  axcaucvglemcau  7984  axcaucvglemres  7985  axpre-suploclemres  7987  ltaddneg  8470  ltsubadd2  8479  lesubadd2  8481  ltaddsub  8482  leaddsub  8484  ltaddpos2  8499  posdif  8501  lesub1  8502  ltsub1  8504  ltnegcon1  8509  lenegcon1  8512  addge02  8519  leaddle0  8523  ltordlem  8528  possumd  8615  sublt0d  8616  apreap  8633  prodgt02  8899  prodge02  8901  ltmulgt12  8911  lemulge12  8913  ltdivmul  8922  ledivmul  8923  ltdivmul2  8924  lt2mul2div  8925  ledivmul2  8926  ltrec  8929  ltrec1  8934  ltdiv23  8938  lediv23  8939  nnge1  9032  halfpos  9241  lt2halves  9246  addltmul  9247  avglt2  9250  avgle2  9252  nnrecl  9266  zltlem1  9402  difgtsumgt  9414  nn0le2is012  9427  gtndiv  9440  qapne  9732  nnledivrp  9860  xltnegi  9929  xltadd1  9970  xsubge0  9975  xposdif  9976  xlesubadd  9977  xleaddadd  9981  divelunit  10096  eluzgtdifelfzo  10292  qtri3or  10349  exbtwnzlemstep  10356  exbtwnzlemshrink  10357  exbtwnzlemex  10358  exbtwnz  10359  rebtwn2zlemstep  10361  rebtwn2zlemshrink  10362  rebtwn2z  10363  flqlelt  10385  flqbi  10399  2tnp1ge0ge0  10410  q2submod  10496  frec2uzltd  10514  frec2uzlt2d  10515  frec2uzf1od  10517  monoord  10596  ser3mono  10598  ser3ge0  10647  expnbnd  10774  nn0ltexp2  10820  facwordi  10851  hashunlem  10915  zfz1isolemiso  10950  seq3coll  10953  caucvgrelemcau  11164  caucvgre  11165  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  recvguniq  11179  resqrexlemover  11194  resqrexlemgt0  11204  resqrexlemoverl  11205  resqrexlemglsq  11206  resqrexlemsqa  11208  resqrexlemex  11209  maxleastlt  11399  minmax  11414  lemininf  11418  ltmininf  11419  xrmaxleastlt  11440  xrmaxltsup  11442  xrminmax  11449  xrmin1inf  11451  xrmin2inf  11452  xrltmininf  11454  xrlemininf  11455  climserle  11529  summodclem3  11564  summodclem2a  11565  summodc  11567  zsumdc  11568  fsum3  11571  fsum00  11646  fsumabs  11649  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemmn  11709  zproddc  11763  fprodseq  11767  fprodle  11824  sin01bnd  11941  cos01bnd  11942  summodnegmod  12006  modmulconst  12007  dvdsaddr  12021  dvdssub  12022  dvdssubr  12023  dvdslelemd  12027  dvdsfac  12044  dvdsmod  12046  oddp1even  12060  ltoddhalfle  12077  opoe  12079  omoe  12080  divalg2  12110  divalgmod  12111  ndvdssub  12114  ndvdsadd  12115  bitsfval  12126  bitsval  12127  bits0  12132  bitsp1  12135  bitsfzolem  12138  bitsfzo  12139  bitscmp  12142  bitsinv1lem  12145  bezoutlembi  12199  dvdssqim  12218  dvdsmulgcd  12219  dvdssq  12225  nn0seqcvgd  12236  coprmdvds  12287  coprmdvds2  12288  rpmul  12293  cncongr1  12298  divgcdodd  12338  isprm6  12342  prmdvdsexp  12343  prmdvdsexpr  12345  prmfac1  12347  oddpwdclemxy  12364  oddpwdclemodd  12367  sqpweven  12370  2sqpwodd  12371  sqne2sq  12372  hashdvds  12416  phiprmpw  12417  eulerthlemh  12426  prmdiv  12430  prmdiveq  12431  odzval  12437  odzcllem  12438  odzdvds  12441  pythagtriplem11  12470  pythagtriplem13  12472  pythagtrip  12479  pceulem  12490  pczndvds2  12514  pcdvdsb  12516  pc2dvds  12526  pcz  12528  pcprmpw2  12529  dvdsprmpweq  12531  dvdsprmpweqle  12533  difsqpwdvds  12534  pcmpt  12539  prmpwdvds  12551  pockthlem  12552  4sqlem11  12597  exmidunben  12670  nninfdclemlt  12695  mulgval  13330  dvdsrtr  13735  dvdsrmul1  13736  unitnegcl  13764  unitpropdg  13782  elrhmunit  13811  zndvds0  14284  znunit  14293  mplsubgfilemcl  14333  psmettri2  14672  ismet2  14698  xmettri2  14705  comet  14843  ivthinclemum  14979  ivthinclemlopn  14980  ivthinclemlr  14981  ivthinclemuopn  14982  ivthinclemur  14983  ivthinclemdisj  14984  ivthinclemloc  14985  ivthinc  14987  ivthreinc  14989  limccl  15003  ellimc3apf  15004  sin0pilem2  15126  pilem3  15127  sincosq1sgn  15170  sincosq2sgn  15171  sincosq4sgn  15173  logltb  15218  logle1b  15236  loglt1b  15237  logbgt0b  15310  wilthlem1  15324  sgmval  15327  dvdsppwf1o  15333  perfect1  15342  lgslem1  15349  lgsval  15353  lgsdilem  15376  lgsne0  15387  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem1f1o  15409  lgseisenlem1  15419  lgseisenlem2  15420  lgsquadlem1  15426  lgsquadlem2  15427  lgsquadlem3  15428  lgsquad2lem2  15431  m1lgs  15434  2lgslem1a1  15435  2lgslem1a  15437  2lgsoddprmlem2  15455  2lgsoddprmlem3  15460  2sqlem4  15467  2sqlem8a  15471