Theorem ixpconst 6868

Description: Infinite Cartesian product of a constant 𝐵. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixpconst.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ixpconst.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ixpconst	⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpconst.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ixpconst.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ixpconstg 6867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴))
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ X𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = (𝐵 ↑𝑚 𝐴)

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808  Xcixp 6858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-map 6810  df-ixp 6859

This theorem is referenced by:  prdsvallem  13326