Theorem lenlt 8097

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8067	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8067	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8086	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ℝcr 7873  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   ≤ cle 8057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-cnv 4668  df-xr 8060  df-le 8062

This theorem is referenced by:  letri3  8102  ltleletr  8103  letr  8104  leid  8105  eqlelt  8108  ltle  8109  lelttr  8110  ltletr  8111  lenlti  8122  lenltd  8139  lemul1  8614  msqge0  8637  mulge0  8640  ltleap  8653  recgt0  8871  lediv1  8890  dfinfre  8977  nnge1  9007  nnnlt1  9010  avgle1  9226  avgle2  9227  nn0nlt0  9269  zltnle  9366  zleloe  9367  zdcle  9396  recnz  9413  btwnnz  9414  prime  9419  fznlem  10110  nelfzo  10221  fzonlt0  10237  qltnle  10316  bcval4  10826  resqrexlemgt0  11167  climge0  11471  infpnlem1  12500  efle  14952  logleb  15051  cxple  15092  cxple3  15096  lgsval2lem  15167  lgsneg  15181  lgsdilem  15184  gausslemma2dlem1a  15215  gausslemma2dlem3  15220  supfz  15631  inffz  15632