Theorem lenlt 8391

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8361	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8361	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8380	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  ℝcr 8168  ℝ^*cxr 8349   < clt 8350   ≤ cle 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-xr 8354  df-le 8356

This theorem is referenced by:  letri3  8396  ltleletr  8397  letr  8398  leid  8399  eqlelt  8402  ltle  8403  lelttr  8404  ltletr  8405  lenlti  8416  lenltd  8434  lemul1  8911  msqge0  8934  mulge0  8937  ltleap  8950  recgt0  9170  lediv1  9189  dfinfre  9276  nnge1  9306  nnnlt1  9309  avgle1  9525  avgle2  9526  nn0nlt0  9568  zltnle  9669  zleloe  9670  zdcle  9700  recnz  9718  btwnnz  9719  prime  9724  fznlem  10424  nelfzo  10537  fzonlt0  10554  qltnle  10656  bcval4  11168  ccatsymb  11348  swrd0g  11410  resqrexlemgt0  11764  climge0  12069  infpnlem1  13116  efle  15800  logleb  15899  cxple  15942  cxple3  15946  lgsval2lem  16043  lgsneg  16057  lgsdilem  16060  gausslemma2dlem1a  16091  gausslemma2dlem3  16096  lealltlt1  16665  lealltlt2  16666  supfz  17026  inffz  17027