ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lenlt GIF version

Theorem lenlt 7833
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
lenlt ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt
StepHypRef Expression
1 rexr 7804 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 7804 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrlenlt 7822 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
41, 2, 3syl2an 287 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3924  cr 7612  *cxr 7792   < clt 7793  cle 7794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-xr 7797  df-le 7799
This theorem is referenced by:  letri3  7838  ltleletr  7839  letr  7840  leid  7841  ltle  7844  lelttr  7845  ltletr  7846  lenlti  7857  lenltd  7873  lemul1  8348  msqge0  8371  mulge0  8374  ltleap  8387  recgt0  8601  lediv1  8620  dfinfre  8707  nnge1  8736  nnnlt1  8739  avgle1  8953  avgle2  8954  nn0nlt0  8996  zltnle  9093  zleloe  9094  zdcle  9120  recnz  9137  btwnnz  9138  prime  9143  fznlem  9814  fzonlt0  9937  qltnle  10016  bcval4  10491  resqrexlemgt0  10785  climge0  11087  efler  11394  supfz  13226  inffz  13227
  Copyright terms: Public domain W3C validator