Theorem lenlt 8183

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8153	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8172	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  ℝcr 7959  ℝ^*cxr 8141   < clt 8142   ≤ cle 8143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-cnv 4701  df-xr 8146  df-le 8148

This theorem is referenced by:  letri3  8188  ltleletr  8189  letr  8190  leid  8191  eqlelt  8194  ltle  8195  lelttr  8196  ltletr  8197  lenlti  8208  lenltd  8225  lemul1  8701  msqge0  8724  mulge0  8727  ltleap  8740  recgt0  8958  lediv1  8977  dfinfre  9064  nnge1  9094  nnnlt1  9097  avgle1  9313  avgle2  9314  nn0nlt0  9356  zltnle  9453  zleloe  9454  zdcle  9484  recnz  9501  btwnnz  9502  prime  9507  fznlem  10198  nelfzo  10309  fzonlt0  10326  qltnle  10423  bcval4  10934  ccatsymb  11096  swrd0g  11151  resqrexlemgt0  11446  climge0  11751  infpnlem1  12797  efle  15363  logleb  15462  cxple  15504  cxple3  15508  lgsval2lem  15602  lgsneg  15616  lgsdilem  15619  gausslemma2dlem1a  15650  gausslemma2dlem3  15655  supfz  16212  inffz  16213