Theorem lenlt 7953

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7923	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 7923	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 7942	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  ℝcr 7731  ℝ^*cxr 7911   < clt 7912   ≤ cle 7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-xr 7916  df-le 7918

This theorem is referenced by:  letri3  7958  ltleletr  7959  letr  7960  leid  7961  ltle  7964  lelttr  7965  ltletr  7966  lenlti  7977  lenltd  7993  lemul1  8468  msqge0  8491  mulge0  8494  ltleap  8507  recgt0  8721  lediv1  8740  dfinfre  8827  nnge1  8856  nnnlt1  8859  avgle1  9073  avgle2  9074  nn0nlt0  9116  zltnle  9213  zleloe  9214  zdcle  9240  recnz  9257  btwnnz  9258  prime  9263  fznlem  9943  fzonlt0  10066  qltnle  10145  bcval4  10626  resqrexlemgt0  10920  climge0  11222  efle  13108  logleb  13207  cxple  13248  cxple3  13252  supfz  13650  inffz  13651