Theorem lenlt 8407

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8377	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8377	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8396	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131  ℝcr 8184  ℝ^*cxr 8365   < clt 8366   ≤ cle 8367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-cnv 4784  df-xr 8370  df-le 8372

This theorem is used by:  letri3  8412  ltleletr  8413  letr  8414  leid  8415  eqlelt  8418  ltle  8419  lelttr  8420  ltletr  8421  lenlti  8433  lenltd  8451  lemul1  8929  msqge0  8952  mulge0  8955  ltleap  8968  recgt0  9188  lediv1  9207  dfinfre  9294  nnge1  9336  nnnlt1  9339  avgle1  9557  avgle2  9558  nn0nlt0  9600  zltnle  9701  zleloe  9702  zdcle  9732  recnz  9750  btwnnz  9751  prime  9756  fznlem  10462  nelfzo  10576  fzonlt0  10593  qltnle  10695  bcval4  11212  ccatsymb  11392  swrd0g  11454  resqrexlemgt0  11808  climge0  12116  infpnlem1  13167  efle  16002  logleb  16105  cxple  16152  cxple3  16156  birthdaylem3  16227  ppiqeq0  16280  lgsval2lem  16334  lgsneg  16348  lgsdilem  16351  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem3  16387  lealltlt1  16956  lealltlt2  16957  supfz  17328  inffz  17329