Theorem lenlt 8402

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8372	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8372	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8391	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8179  ℝ^*cxr 8360   < clt 8361   ≤ cle 8362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8365  df-le 8367

This theorem is used by:  letri3  8407  ltleletr  8408  letr  8409  leid  8410  eqlelt  8413  ltle  8414  lelttr  8415  ltletr  8416  lenlti  8428  lenltd  8446  lemul1  8924  msqge0  8947  mulge0  8950  ltleap  8963  recgt0  9183  lediv1  9202  dfinfre  9289  nnge1  9330  nnnlt1  9333  avgle1  9551  avgle2  9552  nn0nlt0  9594  zltnle  9695  zleloe  9696  zdcle  9726  recnz  9744  btwnnz  9745  prime  9750  fznlem  10456  nelfzo  10570  fzonlt0  10587  qltnle  10689  bcval4  11206  ccatsymb  11386  swrd0g  11448  resqrexlemgt0  11802  climge0  12110  infpnlem1  13161  efle  15968  logleb  16069  cxple  16114  cxple3  16118  birthdaylem3  16188  ppiqeq0  16241  lgsval2lem  16295  lgsneg  16309  lgsdilem  16312  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem3  16348  lealltlt1  16917  lealltlt2  16918  supfz  17288  inffz  17289