Theorem lenlt 8148

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8118	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  ℝcr 7924  ℝ^*cxr 8106   < clt 8107   ≤ cle 8108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-cnv 4683  df-xr 8111  df-le 8113

This theorem is referenced by:  letri3  8153  ltleletr  8154  letr  8155  leid  8156  eqlelt  8159  ltle  8160  lelttr  8161  ltletr  8162  lenlti  8173  lenltd  8190  lemul1  8666  msqge0  8689  mulge0  8692  ltleap  8705  recgt0  8923  lediv1  8942  dfinfre  9029  nnge1  9059  nnnlt1  9062  avgle1  9278  avgle2  9279  nn0nlt0  9321  zltnle  9418  zleloe  9419  zdcle  9449  recnz  9466  btwnnz  9467  prime  9472  fznlem  10163  nelfzo  10274  fzonlt0  10291  qltnle  10386  bcval4  10897  ccatsymb  11058  swrd0g  11113  resqrexlemgt0  11331  climge0  11636  infpnlem1  12682  efle  15248  logleb  15347  cxple  15389  cxple3  15393  lgsval2lem  15487  lgsneg  15501  lgsdilem  15504  gausslemma2dlem1a  15535  gausslemma2dlem3  15540  supfz  16010  inffz  16011