Theorem lenlt 8033

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8003	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8003	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8022	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ℝcr 7810  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992   ≤ cle 7993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-cnv 4635  df-xr 7996  df-le 7998

This theorem is referenced by:  letri3  8038  ltleletr  8039  letr  8040  leid  8041  eqlelt  8044  ltle  8045  lelttr  8046  ltletr  8047  lenlti  8058  lenltd  8075  lemul1  8550  msqge0  8573  mulge0  8576  ltleap  8589  recgt0  8807  lediv1  8826  dfinfre  8913  nnge1  8942  nnnlt1  8945  avgle1  9159  avgle2  9160  nn0nlt0  9202  zltnle  9299  zleloe  9300  zdcle  9329  recnz  9346  btwnnz  9347  prime  9352  fznlem  10041  fzonlt0  10167  qltnle  10246  bcval4  10732  resqrexlemgt0  11029  climge0  11333  infpnlem1  12357  efle  14200  logleb  14299  cxple  14340  cxple3  14344  lgsval2lem  14414  lgsneg  14428  lgsdilem  14431  supfz  14821  inffz  14822