Theorem lenlt 8297

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8267	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ℝcr 8074  ℝ^*cxr 8255   < clt 8256   ≤ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-xr 8260  df-le 8262

This theorem is referenced by:  letri3  8302  ltleletr  8303  letr  8304  leid  8305  eqlelt  8308  ltle  8309  lelttr  8310  ltletr  8311  lenlti  8322  lenltd  8339  lemul1  8815  msqge0  8838  mulge0  8841  ltleap  8854  recgt0  9072  lediv1  9091  dfinfre  9178  nnge1  9208  nnnlt1  9211  avgle1  9427  avgle2  9428  nn0nlt0  9470  zltnle  9569  zleloe  9570  zdcle  9600  recnz  9617  btwnnz  9618  prime  9623  fznlem  10321  nelfzo  10432  fzonlt0  10449  qltnle  10549  bcval4  11060  ccatsymb  11228  swrd0g  11290  resqrexlemgt0  11643  climge0  11948  infpnlem1  12995  efle  15570  logleb  15669  cxple  15711  cxple3  15715  lgsval2lem  15812  lgsneg  15826  lgsdilem  15829  gausslemma2dlem1a  15860  gausslemma2dlem3  15865  supfz  16787  inffz  16788