Theorem lenlt 8119

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8089	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8089	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8108	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7895  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078   ≤ cle 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-xr 8082  df-le 8084

This theorem is referenced by:  letri3  8124  ltleletr  8125  letr  8126  leid  8127  eqlelt  8130  ltle  8131  lelttr  8132  ltletr  8133  lenlti  8144  lenltd  8161  lemul1  8637  msqge0  8660  mulge0  8663  ltleap  8676  recgt0  8894  lediv1  8913  dfinfre  9000  nnge1  9030  nnnlt1  9033  avgle1  9249  avgle2  9250  nn0nlt0  9292  zltnle  9389  zleloe  9390  zdcle  9419  recnz  9436  btwnnz  9437  prime  9442  fznlem  10133  nelfzo  10244  fzonlt0  10260  qltnle  10350  bcval4  10861  resqrexlemgt0  11202  climge0  11507  infpnlem1  12553  efle  15096  logleb  15195  cxple  15237  cxple3  15241  lgsval2lem  15335  lgsneg  15349  lgsdilem  15352  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem3  15388  supfz  15802  inffz  15803