Theorem lenlt 7970

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 7940	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 7959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ℝcr 7748  ℝ^*cxr 7928   < clt 7929   ≤ cle 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-br 3982  df-opab 4043  df-xp 4609  df-cnv 4611  df-xr 7933  df-le 7935

This theorem is referenced by:  letri3  7975  ltleletr  7976  letr  7977  leid  7978  eqlelt  7981  ltle  7982  lelttr  7983  ltletr  7984  lenlti  7995  lenltd  8012  lemul1  8487  msqge0  8510  mulge0  8513  ltleap  8526  recgt0  8741  lediv1  8760  dfinfre  8847  nnge1  8876  nnnlt1  8879  avgle1  9093  avgle2  9094  nn0nlt0  9136  zltnle  9233  zleloe  9234  zdcle  9263  recnz  9280  btwnnz  9281  prime  9286  fznlem  9972  fzonlt0  10098  qltnle  10177  bcval4  10661  resqrexlemgt0  10958  climge0  11262  infpnlem1  12285  efle  13297  logleb  13396  cxple  13437  cxple3  13441  lgsval2lem  13511  lgsneg  13525  lgsdilem  13528  supfz  13907  inffz  13908