Theorem lenlt 8233

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8203	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  ℝcr 8009  ℝ^*cxr 8191   < clt 8192   ≤ cle 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-xr 8196  df-le 8198

This theorem is referenced by:  letri3  8238  ltleletr  8239  letr  8240  leid  8241  eqlelt  8244  ltle  8245  lelttr  8246  ltletr  8247  lenlti  8258  lenltd  8275  lemul1  8751  msqge0  8774  mulge0  8777  ltleap  8790  recgt0  9008  lediv1  9027  dfinfre  9114  nnge1  9144  nnnlt1  9147  avgle1  9363  avgle2  9364  nn0nlt0  9406  zltnle  9503  zleloe  9504  zdcle  9534  recnz  9551  btwnnz  9552  prime  9557  fznlem  10249  nelfzo  10360  fzonlt0  10377  qltnle  10475  bcval4  10986  ccatsymb  11150  swrd0g  11207  resqrexlemgt0  11546  climge0  11851  infpnlem1  12897  efle  15465  logleb  15564  cxple  15606  cxple3  15610  lgsval2lem  15704  lgsneg  15718  lgsdilem  15721  gausslemma2dlem1a  15752  gausslemma2dlem3  15757  supfz  16499  inffz  16500