Theorem lenlt 8147

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8117	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ℝcr 7923  ℝ^*cxr 8105   < clt 8106   ≤ cle 8107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4680  df-cnv 4682  df-xr 8110  df-le 8112

This theorem is referenced by:  letri3  8152  ltleletr  8153  letr  8154  leid  8155  eqlelt  8158  ltle  8159  lelttr  8160  ltletr  8161  lenlti  8172  lenltd  8189  lemul1  8665  msqge0  8688  mulge0  8691  ltleap  8704  recgt0  8922  lediv1  8941  dfinfre  9028  nnge1  9058  nnnlt1  9061  avgle1  9277  avgle2  9278  nn0nlt0  9320  zltnle  9417  zleloe  9418  zdcle  9448  recnz  9465  btwnnz  9466  prime  9471  fznlem  10162  nelfzo  10273  fzonlt0  10289  qltnle  10384  bcval4  10895  ccatsymb  11056  resqrexlemgt0  11302  climge0  11607  infpnlem1  12653  efle  15219  logleb  15318  cxple  15360  cxple3  15364  lgsval2lem  15458  lgsneg  15472  lgsdilem  15475  gausslemma2dlem1a  15506  gausslemma2dlem3  15511  supfz  15972  inffz  15973