Theorem lenlt 7840

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 7811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 7811	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 7829	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  ℝcr 7619  ℝ^*cxr 7799   < clt 7800   ≤ cle 7801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-xr 7804  df-le 7806

This theorem is referenced by:  letri3  7845  ltleletr  7846  letr  7847  leid  7848  ltle  7851  lelttr  7852  ltletr  7853  lenlti  7864  lenltd  7880  lemul1  8355  msqge0  8378  mulge0  8381  ltleap  8394  recgt0  8608  lediv1  8627  dfinfre  8714  nnge1  8743  nnnlt1  8746  avgle1  8960  avgle2  8961  nn0nlt0  9003  zltnle  9100  zleloe  9101  zdcle  9127  recnz  9144  btwnnz  9145  prime  9150  fznlem  9821  fzonlt0  9944  qltnle  10023  bcval4  10498  resqrexlemgt0  10792  climge0  11094  efler  11405  supfz  13237  inffz  13238