Theorem lenlt 8121

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8091	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8091	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8110	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897  ℝ^*cxr 8079   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-xr 8084  df-le 8086

This theorem is referenced by:  letri3  8126  ltleletr  8127  letr  8128  leid  8129  eqlelt  8132  ltle  8133  lelttr  8134  ltletr  8135  lenlti  8146  lenltd  8163  lemul1  8639  msqge0  8662  mulge0  8665  ltleap  8678  recgt0  8896  lediv1  8915  dfinfre  9002  nnge1  9032  nnnlt1  9035  avgle1  9251  avgle2  9252  nn0nlt0  9294  zltnle  9391  zleloe  9392  zdcle  9421  recnz  9438  btwnnz  9439  prime  9444  fznlem  10135  nelfzo  10246  fzonlt0  10262  qltnle  10352  bcval4  10863  resqrexlemgt0  11204  climge0  11509  infpnlem1  12555  efle  15120  logleb  15219  cxple  15261  cxple3  15265  lgsval2lem  15359  lgsneg  15373  lgsdilem  15376  gausslemma2dlem1a  15407  gausslemma2dlem3  15412  supfz  15828  inffz  15829