Theorem lenlt 8218

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8188	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ℝcr 7994  ℝ^*cxr 8176   < clt 8177   ≤ cle 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-cnv 4726  df-xr 8181  df-le 8183

This theorem is referenced by:  letri3  8223  ltleletr  8224  letr  8225  leid  8226  eqlelt  8229  ltle  8230  lelttr  8231  ltletr  8232  lenlti  8243  lenltd  8260  lemul1  8736  msqge0  8759  mulge0  8762  ltleap  8775  recgt0  8993  lediv1  9012  dfinfre  9099  nnge1  9129  nnnlt1  9132  avgle1  9348  avgle2  9349  nn0nlt0  9391  zltnle  9488  zleloe  9489  zdcle  9519  recnz  9536  btwnnz  9537  prime  9542  fznlem  10233  nelfzo  10344  fzonlt0  10361  qltnle  10458  bcval4  10969  ccatsymb  11132  swrd0g  11187  resqrexlemgt0  11526  climge0  11831  infpnlem1  12877  efle  15444  logleb  15543  cxple  15585  cxple3  15589  lgsval2lem  15683  lgsneg  15697  lgsdilem  15700  gausslemma2dlem1a  15731  gausslemma2dlem3  15736  supfz  16398  inffz  16399