Theorem lenlt 8401

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than'. Part of definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lenlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lenlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 8371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 8371	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrlenlt 8390	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ℝcr 8178  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   ≤ cle 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-xr 8364  df-le 8366

This theorem is used by:  letri3  8406  ltleletr  8407  letr  8408  leid  8409  eqlelt  8412  ltle  8413  lelttr  8414  ltletr  8415  lenlti  8426  lenltd  8444  lemul1  8921  msqge0  8944  mulge0  8947  ltleap  8960  recgt0  9180  lediv1  9199  dfinfre  9286  nnge1  9327  nnnlt1  9330  avgle1  9546  avgle2  9547  nn0nlt0  9589  zltnle  9690  zleloe  9691  zdcle  9721  recnz  9739  btwnnz  9740  prime  9745  fznlem  10445  nelfzo  10559  fzonlt0  10576  qltnle  10678  bcval4  11190  ccatsymb  11370  swrd0g  11432  resqrexlemgt0  11786  climge0  12091  infpnlem1  13138  efle  15877  logleb  15976  cxple  16019  cxple3  16023  birthdaylem3  16089  lgsval2lem  16129  lgsneg  16143  lgsdilem  16146  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem3  16182  lealltlt1  16751  lealltlt2  16752  supfz  17121  inffz  17122