Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lediv2a GIF version

Theorem lediv2a 8704
 Description: Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
Assertion
Ref Expression
lediv2a ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))

Proof of Theorem lediv2a
StepHypRef Expression
1 pm3.2 138 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
21pm2.43i 49 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
32adantr 274 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
4 leid 7899 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶𝐶)
54anim2i 340 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐶𝐶 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶))
65ancoms 266 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶))
73, 6jca 304 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
87ad2antlr 481 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
983adantl2 1139 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)))
10 id 19 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1110ad2ant2r 501 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1211adantr 274 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13 simplr 520 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < 𝐴)
1413anim1i 338 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → (0 < 𝐴𝐴𝐵))
1512, 14jca 304 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵)))
16153adantl3 1140 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵)))
17 lediv12a 8703 . 2 ((((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐶𝐶𝐶)) ∧ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴𝐴𝐵))) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
189, 16, 17syl2anc 409 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5785  ℝcr 7670  0cc0 7671   < clt 7851   ≤ cle 7852   / cdiv 8483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-mulrcl 7770  ax-addcom 7771  ax-mulcom 7772  ax-addass 7773  ax-mulass 7774  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-1rid 7778  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-precex 7781  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-apti 7786  ax-pre-ltadd 7787  ax-pre-mulgt0 7788  ax-pre-mulext 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4225  df-po 4228  df-iso 4229  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-reap 8388  df-ap 8395  df-div 8484 This theorem is referenced by:  lediv2ad  9563
 Copyright terms: Public domain W3C validator