ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letr GIF version

Theorem letr 7811
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)
Assertion
Ref Expression
letr ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem letr
StepHypRef Expression
1 axltwlin 7796 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
213coml 1171 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
3 orcom 700 . . . 4 ((𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
42, 3syl6ib 160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
54con3d 603 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
6 lenlt 7804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
763adant3 984 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8 lenlt 7804 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
983adant1 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
107, 9anbi12d 462 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
11 ioran 724 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
1210, 11syl6bbr 197 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
13 lenlt 7804 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
14133adant2 983 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
155, 12, 143imtr4d 202 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  w3a 945  wcel 1463   class class class wbr 3897  cr 7583   < clt 7764  cle 7765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltwlin 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770
This theorem is referenced by:  letri  7835  letrd  7850  le2add  8170  le2sub  8187  p1le  8567  lemul12b  8579  lemul12a  8580  zletr  9057  peano2uz2  9112  ledivge1le  9464  fznlem  9772  elfz1b  9821  elfz0fzfz0  9854  fz0fzelfz0  9855  fz0fzdiffz0  9858  elfzmlbp  9860  difelfznle  9863  ssfzo12bi  9953  flqge  10006  fldiv4p1lem1div2  10029  monoord  10200  leexp2r  10298  expubnd  10301  le2sq2  10319  facwordi  10437  faclbnd3  10440  facavg  10443  fimaxre2  10949  fsumabs  11185  cvgratnnlemnexp  11244  cvgratnnlemmn  11245  algcvga  11639  prmdvdsfz  11726  prmfac1  11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator