Theorem letr 8128

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 8113	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	3coml 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3		orcom 729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
4	2, 3	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
5	4	con3d 632	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
6		lenlt 8121	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	6	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		lenlt 8121	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
9	8	3adant1 1017	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
10	7, 9	anbi12d 473	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
11		ioran 753	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
12	10, 11	bitr4di 198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
13		lenlt 8121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
14	13	3adant2 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
15	5, 12, 14	3imtr4d 203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ℝcr 7897   < clt 8080   ≤ cle 8081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-pre-ltwlin 8011

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086

This theorem is referenced by:  letri  8153  letrd  8169  le2add  8490  le2sub  8507  p1le  8895  lemul12b  8907  lemul12a  8908  zletr  9394  peano2uz2  9452  ledivge1le  9820  fznlem  10135  elfz1b  10184  elfz0fzfz0  10220  fz0fzelfz0  10221  fz0fzdiffz0  10224  elfzmlbp  10226  difelfznle  10229  ssfzo12bi  10320  flqge  10391  fldiv4p1lem1div2  10414  monoord  10596  leexp2r  10704  expubnd  10707  le2sq2  10726  facwordi  10851  faclbnd3  10854  facavg  10857  fimaxre2  11411  fsumabs  11649  cvgratnnlemnexp  11708  cvgratnnlemmn  11709  algcvga  12246  prmdvdsfz  12334  prmfac1  12347  4sqlem11  12597  sincosq1lem  15169  gausslemma2dlem1a  15407  lgsquadlem1  15426