Theorem letr 7981

Description: Transitive law. (Contributed by NM, 12-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
letr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Proof of Theorem letr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axltwlin 7966	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
2	1	3coml 1200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3		orcom 718	. . . 4 ⊢ ((𝐶 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵))
4	2, 3	syl6ib 160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
5	4	con3d 621	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
6		lenlt 7974	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
7	6	3adant3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
8		lenlt 7974	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
9	8	3adant1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
10	7, 9	anbi12d 465	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
11		ioran 742	. . 3 ⊢ (¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
12	10, 11	bitr4di 197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴 ∨ 𝐶 < 𝐵)))
13		lenlt 7974	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
14	13	3adant2 1006	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
15	5, 12, 14	3imtr4d 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  ℝcr 7752   < clt 7933   ≤ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltwlin 7866

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by:  letri  8006  letrd  8022  le2add  8342  le2sub  8359  p1le  8744  lemul12b  8756  lemul12a  8757  zletr  9240  peano2uz2  9298  ledivge1le  9662  fznlem  9976  elfz1b  10025  elfz0fzfz0  10061  fz0fzelfz0  10062  fz0fzdiffz0  10065  elfzmlbp  10067  difelfznle  10070  ssfzo12bi  10160  flqge  10217  fldiv4p1lem1div2  10240  monoord  10411  leexp2r  10509  expubnd  10512  le2sq2  10530  facwordi  10653  faclbnd3  10656  facavg  10659  fimaxre2  11168  fsumabs  11406  cvgratnnlemnexp  11465  cvgratnnlemmn  11466  algcvga  11983  prmdvdsfz  12071  prmfac1  12084  sincosq1lem  13396