Theorem ltaddpos2d 8487

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpos2d	⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem ltaddpos2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		ltaddpos2 8410	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐴 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  ℝcr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814   < clt 7992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-iota 5179  df-fv 5225  df-ov 5878  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997

This theorem is referenced by:  resqrexlemover  11019  pythagtriplem10  12269