Type | Label | Description |
Statement |
|
4.3.9 Ordering on reals (cont.)
|
|
Theorem | ltp1 8801 |
A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
|
โข (๐ด โ โ โ ๐ด < (๐ด + 1)) |
|
Theorem | lep1 8802 |
A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by NM,
5-Jan-2006.)
|
โข (๐ด โ โ โ ๐ด โค (๐ด + 1)) |
|
Theorem | ltm1 8803 |
A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) < ๐ด) |
|
Theorem | lem1 8804 |
A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario
Carneiro, 2-Oct-2015.)
|
โข (๐ด โ โ โ (๐ด โ 1) โค ๐ด) |
|
Theorem | letrp1 8805 |
A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by
NM, 5-Aug-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง ๐ด โค ๐ต) โ ๐ด โค (๐ต + 1)) |
|
Theorem | p1le 8806 |
A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by
NM, 16-Aug-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ด + 1) โค ๐ต) โ ๐ด โค ๐ต) |
|
Theorem | recgt0 8807 |
The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol]
p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro,
27-May-2016.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ 0 < (1 / ๐ด)) |
|
Theorem | prodgt0gt0 8808 |
Infer that a multiplicand is positive from a positive multiplier and
positive product. See prodgt0 8809 for the same theorem with 0 < ๐ด
replaced by the weaker condition 0 โค ๐ด. (Contributed by Jim
Kingdon, 29-Feb-2020.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 < ๐ด โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 < ๐ต) |
|
Theorem | prodgt0 8809 |
Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and
positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario
Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 < ๐ต) |
|
Theorem | prodgt02 8810 |
Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and
positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ต โง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 < ๐ด) |
|
Theorem | prodge0 8811 |
Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and
nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario
Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 < ๐ด โง 0 โค (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 โค ๐ต) |
|
Theorem | prodge02 8812 |
Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and
nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 < ๐ต โง 0 โค (๐ด ยท ๐ต))) โ 0 โค ๐ด) |
|
Theorem | ltmul2 8813 |
Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem
I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by
NM, 13-Feb-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | lemul2 8814 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive
number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | lemul1a 8815 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative
number. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies).
(Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | lemul2a 8816 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative
number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
|
Theorem | ltmul12a 8817 |
Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM,
30-Dec-2005.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง ๐ด < ๐ต)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ) โง (0 โค ๐ถ โง ๐ถ < ๐ท))) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) |
|
Theorem | lemul12b 8818 |
Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM,
22-Feb-2008.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ) โง (๐ถ โ โ โง (๐ท โ โ โง 0 โค ๐ท))) โ ((๐ด โค ๐ต โง ๐ถ โค ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท))) |
|
Theorem | lemul12a 8819 |
Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM,
22-Feb-2008.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ) โง ((๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ) โง ๐ท โ โ)) โ ((๐ด โค ๐ต โง ๐ถ โค ๐ท) โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท))) |
|
Theorem | mulgt1 8820 |
The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed
by NM, 13-Feb-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (1 < ๐ด โง 1 < ๐ต)) โ 1 < (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | ltmulgt11 8821 |
Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM,
24-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ด ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ltmulgt12 8822 |
Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM,
24-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ต โ ๐ด < (๐ต ยท ๐ด))) |
|
Theorem | lemulge11 8823 |
Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by
NM, 17-Dec-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | lemulge12 8824 |
Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by
Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
|
โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง 1 โค ๐ต)) โ ๐ด โค (๐ต ยท ๐ด)) |
|
Theorem | ltdiv1 8825 |
Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed
by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | lediv1 8826 |
Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive
number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) โค (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | gt0div 8827 |
Division of a positive number by a positive number. (Contributed by NM,
28-Sep-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โ (0 < ๐ด โ 0 < (๐ด / ๐ต))) |
|
Theorem | ge0div 8828 |
Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by
NM, 28-Sep-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โ (0 โค ๐ด โ 0 โค (๐ด / ๐ต))) |
|
Theorem | divgt0 8829 |
The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM,
12-Oct-1999.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 < (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divge0 8830 |
The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative.
(Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ 0 โค (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | ltmuldiv 8831 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro,
27-May-2016.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | ltmuldiv2 8832 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | ltdivmul 8833 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ledivmul 8834 |
'Less than or equal to' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ltdivmul2 8835 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | lt2mul2div 8836 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
|
โข (((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โง (๐ถ โ โ โง (๐ท โ โ โง 0 < ๐ท))) โ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต))) |
|
Theorem | ledivmul2 8837 |
'Less than or equal to' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | lemuldiv 8838 |
'Less than or equal' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | lemuldiv2 8839 |
'Less than or equal' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
|
โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ถ ยท ๐ด) โค ๐ต โ ๐ด โค (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | ltrec 8840 |
The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM,
26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | lerec 8841 |
The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by
NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด โค ๐ต โ (1 / ๐ต) โค (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | lt2msq1 8842 |
Lemma for lt2msq 8843. (Contributed by Mario Carneiro,
27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง ๐ต โ โ โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)) |
|
Theorem | lt2msq 8843 |
Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed
by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro,
27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ltdiv2 8844 |
Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed
by NM, 27-Apr-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด))) |
|
Theorem | ltrec1 8845 |
Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM,
24-Feb-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ ((1 / ๐ด) < ๐ต โ (1 / ๐ต) < ๐ด)) |
|
Theorem | lerec2 8846 |
Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by
NM, 24-Feb-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โ (๐ด โค (1 / ๐ต) โ ๐ต โค (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | ledivdiv 8847 |
Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed
by NM, 9-Jan-2006.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต)) โง ((๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ) โง (๐ท โ โ โง 0 < ๐ท))) โ ((๐ด / ๐ต) โค (๐ถ / ๐ท) โ (๐ท / ๐ถ) โค (๐ต / ๐ด))) |
|
Theorem | lediv2 8848 |
Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'.
(Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ถ / ๐ต) โค (๐ถ / ๐ด))) |
|
Theorem | ltdiv23 8849 |
Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM,
3-Oct-1999.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
|
Theorem | lediv23 8850 |
Swap denominator with other side of 'less than or equal to'. (Contributed
by NM, 30-May-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด / ๐ต) โค ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) โค ๐ต)) |
|
Theorem | lediv12a 8851 |
Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM,
31-Dec-2005.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ) โง (0 โค ๐ด โง ๐ด โค ๐ต)) โง ((๐ถ โ โ โง ๐ท โ โ) โง (0 < ๐ถ โง ๐ถ โค ๐ท))) โ (๐ด / ๐ท) โค (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | lediv2a 8852 |
Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative
number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
|
โข ((((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 < ๐ต) โง (๐ถ โ โ โง 0 โค ๐ถ)) โง ๐ด โค ๐ต) โ (๐ถ / ๐ต) โค (๐ถ / ๐ด)) |
|
Theorem | reclt1 8853 |
The reciprocal of a positive number less than 1 is greater than 1.
(Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (๐ด < 1 โ 1 < (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | recgt1 8854 |
The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1.
(Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ (1 < ๐ด โ (1 / ๐ด) < 1)) |
|
Theorem | recgt1i 8855 |
The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1.
(Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 1 < ๐ด) โ (0 < (1 / ๐ด) โง (1 / ๐ด) < 1)) |
|
Theorem | recp1lt1 8856 |
Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed
by NM, 30-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1) |
|
Theorem | recreclt 8857 |
Given a positive number ๐ด, construct a new positive number
less than
both ๐ด and 1. (Contributed by NM,
28-Dec-2005.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 < ๐ด) โ ((1 / (1 + (1 / ๐ด))) < 1 โง (1 / (1 + (1 /
๐ด))) < ๐ด)) |
|
Theorem | le2msq 8858 |
The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by
NM, 3-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ด) โค (๐ต ยท ๐ต))) |
|
Theorem | msq11 8859 |
The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed
by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | ledivp1 8860 |
Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper
bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.)
(Contributed
by NM, 28-Sep-2005.)
|
โข (((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด) โง (๐ต โ โ โง 0 โค ๐ต)) โ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โค ๐ด) |
|
Theorem | squeeze0 8861* |
If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero.
(Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
|
โข ((๐ด โ โ โง 0 โค ๐ด โง โ๐ฅ โ โ (0 < ๐ฅ โ ๐ด < ๐ฅ)) โ ๐ด = 0) |
|
Theorem | ltp1i 8862 |
A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM,
20-Aug-2001.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข ๐ด < (๐ด + 1) |
|
Theorem | recgt0i 8863 |
The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of
[Apostol] p. 21. (Contributed by NM,
15-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ
โ โข (0 < ๐ด โ 0 < (1 / ๐ด)) |
|
Theorem | recgt0ii 8864 |
The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of
[Apostol] p. 21. (Contributed by NM,
15-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข 0 < ๐ด โ โข 0 < (1 / ๐ด) |
|
Theorem | prodgt0i 8865 |
Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and
positive product. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 < (๐ด ยท ๐ต)) โ 0 < ๐ต) |
|
Theorem | prodge0i 8866 |
Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and
nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 < ๐ด โง 0 โค (๐ด ยท ๐ต)) โ 0 โค ๐ต) |
|
Theorem | divgt0i 8867 |
The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM,
16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 < (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | divge0i 8868 |
The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative.
(Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 < ๐ต) โ 0 โค (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | ltreci 8869 |
The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM,
15-Sep-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | lereci 8870 |
The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed
by NM, 16-Sep-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 < ๐ด โง 0 < ๐ต) โ (๐ด โค ๐ต โ (1 / ๐ต) โค (1 / ๐ด))) |
|
Theorem | lt2msqi 8871 |
The square function on nonnegative reals is strictly monotonic.
(Contributed by NM, 3-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))) |
|
Theorem | le2msqi 8872 |
The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by
NM, 2-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต) โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ด) โค (๐ต ยท ๐ต))) |
|
Theorem | msq11i 8873 |
The square of a nonnegative number is a one-to-one function.
(Contributed by NM, 29-Jul-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ
โ โ โข ((0 โค ๐ด โง 0 โค ๐ต) โ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ ๐ด = ๐ต)) |
|
Theorem | divgt0i2i 8874 |
The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM,
16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข 0 < ๐ต โ โข (0 < ๐ด โ 0 < (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | ltrecii 8875 |
The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM,
15-Sep-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข 0 < ๐ด & โข 0 < ๐ต โ โข (๐ด < ๐ต โ (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)) |
|
Theorem | divgt0ii 8876 |
The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM,
18-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข 0 < ๐ด & โข 0 < ๐ต โ โข 0 < (๐ด / ๐ต) |
|
Theorem | ltmul1i 8877 |
Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number.
Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.
(Contributed by NM, 16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | ltdiv1i 8878 |
Division of both sides of 'less than' by a positive number.
(Contributed by NM, 16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | ltmuldivi 8879 |
'Less than' relationship between division and multiplication.
(Contributed by NM, 12-Oct-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ ๐ด < (๐ต / ๐ถ))) |
|
Theorem | ltmul2i 8880 |
Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number.
Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.
(Contributed by NM, 16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ (๐ด < ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | lemul1i 8881 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive
number. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ))) |
|
Theorem | lemul2i 8882 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive
number. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข (0 < ๐ถ โ (๐ด โค ๐ต โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต))) |
|
Theorem | ltdiv23i 8883 |
Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM,
26-Sep-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ
โ โ โข ((0 < ๐ต โง 0 < ๐ถ) โ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)) |
|
Theorem | ltdiv23ii 8884 |
Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM,
26-Sep-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข 0 < ๐ต & โข 0 < ๐ถ โ โข ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ (๐ด / ๐ถ) < ๐ต) |
|
Theorem | ltmul1ii 8885 |
Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number.
Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.
(Contributed by NM, 16-May-1999.)
(Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข 0 < ๐ถ โ โข (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | ltdiv1ii 8886 |
Division of both sides of 'less than' by a positive number.
(Contributed by NM, 16-May-1999.)
|
โข ๐ด โ โ & โข ๐ต โ โ & โข ๐ถ โ โ & โข 0 < ๐ถ โ โข (๐ด < ๐ต โ (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)) |
|
Theorem | ltp1d 8887 |
A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro,
28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ๐ด < (๐ด + 1)) |
|
Theorem | lep1d 8888 |
A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ ๐ด โค (๐ด + 1)) |
|
Theorem | ltm1d 8889 |
A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro,
28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ด โ 1) < ๐ด) |
|
Theorem | lem1d 8890 |
A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ)
โ โข (๐ โ (๐ด โ 1) โค ๐ด) |
|
Theorem | recgt0d 8891 |
The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of
[Apostol] p. 21. (Contributed by
Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด) โ โข (๐ โ 0 < (1 / ๐ด)) |
|
Theorem | divgt0d 8892 |
The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 < ๐ด)
& โข (๐ โ 0 < ๐ต) โ โข (๐ โ 0 < (๐ด / ๐ต)) |
|
Theorem | mulgt1d 8893 |
The product of two numbers greater than 1 is greater than 1.
(Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 1 < ๐ด)
& โข (๐ โ 1 < ๐ต) โ โข (๐ โ 1 < (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | lemulge11d 8894 |
Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed
by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด)
& โข (๐ โ 1 โค ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ด โค (๐ด ยท ๐ต)) |
|
Theorem | lemulge12d 8895 |
Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed
by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด)
& โข (๐ โ 1 โค ๐ต) โ โข (๐ โ ๐ด โค (๐ต ยท ๐ด)) |
|
Theorem | lemul1ad 8896 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a
nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ถ)) |
|
Theorem | lemul2ad 8897 |
Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a
nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต) โ โข (๐ โ (๐ถ ยท ๐ด) โค (๐ถ ยท ๐ต)) |
|
Theorem | ltmul12ad 8898 |
Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario
Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด)
& โข (๐ โ ๐ด < ๐ต)
& โข (๐ โ 0 โค ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ถ < ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท)) |
|
Theorem | lemul12ad 8899 |
Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by
Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด)
& โข (๐ โ 0 โค ๐ถ)
& โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ถ โค ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท)) |
|
Theorem | lemul12bd 8900 |
Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by
Mario Carneiro, 28-May-2016.)
|
โข (๐ โ ๐ด โ โ) & โข (๐ โ ๐ต โ โ) & โข (๐ โ ๐ถ โ โ) & โข (๐ โ ๐ท โ โ) & โข (๐ โ 0 โค ๐ด)
& โข (๐ โ 0 โค ๐ท)
& โข (๐ โ ๐ด โค ๐ต)
& โข (๐ โ ๐ถ โค ๐ท) โ โข (๐ โ (๐ด ยท ๐ถ) โค (๐ต ยท ๐ท)) |