HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 89 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8801-8900   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
4.3.9  Ordering on reals (cont.)
 
Theoremltp1 8801 A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
 
Theoremlep1 8802 A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + 1))
 
Theoremltm1 8803 A number minus 1 is less than itself. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ๐ด)
 
Theoremlem1 8804 A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremletrp1 8805 A transitive property of 'less than or equal' and plus 1. (Contributed by NM, 5-Aug-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต + 1))
 
Theoremp1le 8806 A transitive property of plus 1 and 'less than or equal'. (Contributed by NM, 16-Aug-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
 
Theoremrecgt0 8807 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremprodgt0gt0 8808 Infer that a multiplicand is positive from a positive multiplier and positive product. See prodgt0 8809 for the same theorem with 0 < ๐ด replaced by the weaker condition 0 โ‰ค ๐ด. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremprodgt0 8809 Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremprodgt02 8810 Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
 
Theoremprodge0 8811 Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
 
Theoremprodge02 8812 Infer that a multiplier is nonnegative from a positive multiplicand and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ต โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
 
Theoremltmul2 8813 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul2 8814 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 16-Mar-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1a 8815 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremlemul2a 8816 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremltmul12a 8817 Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ถ < ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12b 8818 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremlemul12a 8819 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ) โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
 
Theoremmulgt1 8820 The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (1 < ๐ด โˆง 1 < ๐ต)) โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremltmulgt11 8821 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ด ยท ๐ต)))
 
Theoremltmulgt12 8822 Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ด)))
 
Theoremlemulge11 8823 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge12 8824 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 1 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
 
Theoremltdiv1 8825 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 10-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlediv1 8826 Division of both sides of a less than or equal to relation by a positive number. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremgt0div 8827 Division of a positive number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (0 < ๐ด โ†” 0 < (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremge0div 8828 Division of a nonnegative number by a positive number. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต)))
 
Theoremdivgt0 8829 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivge0 8830 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltmuldiv 8831 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldiv2 8832 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltdivmul 8833 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 18-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremledivmul 8834 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdivmul2 8835 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlt2mul2div 8836 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))
 
Theoremledivmul2 8837 'Less than or equal to' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemuldiv 8838 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremlemuldiv2 8839 'Less than or equal' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltrec 8840 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
 
Theoremlerec 8841 The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremlt2msq1 8842 Lemma for lt2msq 8843. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต))
 
Theoremlt2msq 8843 Two nonnegative numbers compare the same as their squares. (Contributed by Roy F. Longton, 8-Aug-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremltdiv2 8844 Division of a positive number by both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 27-Apr-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) < (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremltrec1 8845 Reciprocal swap in a 'less than' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((1 / ๐ด) < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < ๐ด))
 
Theoremlerec2 8846 Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค (1 / ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremledivdiv 8847 Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ท) โ†” (๐ท / ๐ถ) โ‰ค (๐ต / ๐ด)))
 
Theoremlediv2 8848 Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด)))
 
Theoremltdiv23 8849 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremlediv23 8850 Swap denominator with other side of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 30-May-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด / ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) โ‰ค ๐ต))
 
Theoremlediv12a 8851 Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 31-Dec-2005.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต)) โˆง ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ถ โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด / ๐ท) โ‰ค (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremlediv2a 8852 Division of both sides of 'less than or equal to' into a nonnegative number. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)
((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ถ)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด))
 
Theoremreclt1 8853 The reciprocal of a positive number less than 1 is greater than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด < 1 โ†” 1 < (1 / ๐ด)))
 
Theoremrecgt1 8854 The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 < ๐ด โ†” (1 / ๐ด) < 1))
 
Theoremrecgt1i 8855 The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ด) โ†’ (0 < (1 / ๐ด) โˆง (1 / ๐ด) < 1))
 
Theoremrecp1lt1 8856 Construct a number less than 1 from any nonnegative number. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โ†’ (๐ด / (1 + ๐ด)) < 1)
 
Theoremrecreclt 8857 Given a positive number ๐ด, construct a new positive number less than both ๐ด and 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 / (1 + (1 / ๐ด))) < 1 โˆง (1 / (1 + (1 / ๐ด))) < ๐ด))
 
Theoremle2msq 8858 The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremmsq11 8859 The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremledivp1 8860 Less-than-or-equal-to and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 28-Sep-2005.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด / (๐ต + 1)) ยท ๐ต) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremsqueeze0 8861* If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„ (0 < ๐‘ฅ โ†’ ๐ด < ๐‘ฅ)) โ†’ ๐ด = 0)
 
Theoremltp1i 8862 A number is less than itself plus 1. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   ๐ด < (๐ด + 1)
 
Theoremrecgt0i 8863 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremrecgt0ii 8864 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    โ‡’   0 < (1 / ๐ด)
 
Theoremprodgt0i 8865 Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative multiplier and positive product. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ต)
 
Theoremprodge0i 8866 Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 โ‰ค (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
 
Theoremdivgt0i 8867 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremdivge0i 8868 The ratio of nonnegative and positive numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltreci 8869 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด)))
 
Theoremlereci 8870 The reciprocal of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
 
Theoremlt2msqi 8871 The square function on nonnegative reals is strictly monotonic. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) < (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremle2msqi 8872 The square function on nonnegative reals is monotonic. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ด) โ‰ค (๐ต ยท ๐ต)))
 
Theoremmsq11i 8873 The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท ๐ด) = (๐ต ยท ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ต))
 
Theoremdivgt0i2i 8874 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ต    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremltrecii 8875 The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 15-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    &   0 < ๐ต    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (1 / ๐ต) < (1 / ๐ด))
 
Theoremdivgt0ii 8876 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    &   0 < ๐ต    โ‡’   0 < (๐ด / ๐ต)
 
Theoremltmul1i 8877 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremltdiv1i 8878 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmuldivi 8879 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < ๐ต โ†” ๐ด < (๐ต / ๐ถ)))
 
Theoremltmul2i 8880 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) < (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremlemul1i 8881 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ)))
 
Theoremlemul2i 8882 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a positive number. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ถ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต)))
 
Theoremltdiv23i 8883 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ต โˆง 0 < ๐ถ) โ†’ ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต))
 
Theoremltdiv23ii 8884 Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ต    &   0 < ๐ถ    โ‡’   ((๐ด / ๐ต) < ๐ถ โ†” (๐ด / ๐ถ) < ๐ต)
 
Theoremltmul1ii 8885 Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.) (Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ถ    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremltdiv1ii 8886 Division of both sides of 'less than' by a positive number. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   0 < ๐ถ    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด / ๐ถ) < (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremltp1d 8887 A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < (๐ด + 1))
 
Theoremlep1d 8888 A number is less than or equal to itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด + 1))
 
Theoremltm1d 8889 A number minus 1 is less than itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) < ๐ด)
 
Theoremlem1d 8890 A number minus 1 is less than or equal to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ’ 1) โ‰ค ๐ด)
 
Theoremrecgt0d 8891 The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 / ๐ด))
 
Theoremdivgt0d 8892 The ratio of two positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ด / ๐ต))
 
Theoremmulgt1d 8893 The product of two numbers greater than 1 is greater than 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 1 < (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge11d 8894 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ด ยท ๐ต))
 
Theoremlemulge12d 8895 Multiplication by a number greater than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ต ยท ๐ด))
 
Theoremlemul1ad 8896 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremlemul2ad 8897 Multiplication of both sides of 'less than or equal to' by a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โ‰ค (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremltmul12ad 8898 Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ < ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12ad 8899 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
 
Theoremlemul12bd 8900 Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14834
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >