Theorem prarloclemarch2 7531

Description: Like prarloclemarch 7530 but the integer must be at least two, and there is also 𝐵 added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7615. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemarch2	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem prarloclemarch2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemarch 7530	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
2	1	3adant2 1018	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
3		pinn 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
4		1pi 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ N
5	4	elexi 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
6	5	sucid 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ suc 1o
7		df-2o 6502	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
8	6, 7	eleqtrri 2280	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
9		2onn 6606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnaword2 6599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
12	11	sseld 3191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (1o ∈ 2o → 1o ∈ (𝑧 +o 2o)))
13	8, 12	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
14	3, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
15		o1p1e2 6553	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o +o 1o) = 2o
16		addpiord 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
17	4, 4, 16	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
18		addclpi 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
19	4, 4, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
20	17, 19	eqeltrri 2278	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o +o 1o) ∈ N
21	15, 20	eqeltrri 2278	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ N
22		addpiord 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 2o ∈ N) → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
23	21, 22	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
24	14, 23	eleqtrrd 2284	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o ∈ (𝑧 +N 2o))
25		addclpi 7439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 2o ∈ N) → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
26	21, 25	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
27		ltpiord 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
28	4, 27	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
30	24, 29	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o <N (𝑧 +N 2o))
31	30	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
32	31	adantrr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
33		nna0 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
34		0lt1o 6525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∅ ∈ 1o
35		1on 6508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1o ∈ On
36	35	onsuci 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ suc 1o ∈ On
37		ontr1 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 1o ∈ On → ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o)
39	34, 6, 38	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
40	39, 7	eleqtrri 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∅ ∈ 2o
41		nnaordi 6593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
42	9, 41	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
43	40, 42	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o))
44	33, 43	eqeltrrd 2282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
45	3, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
46	45, 23	eleqtrrd 2284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o))
47		ltpiord 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
48	26, 47	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
49	46, 48	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 <N (𝑧 +N 2o))
50		mulidpi 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
51		mulcompig 7443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
52	4, 51	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
53	26, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
54		mulidpi 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
55	26, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
56	53, 55	eqtr3d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o ·N (𝑧 +N 2o)) = (𝑧 +N 2o))
57	49, 50, 56	3brtr4d 4075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
58		ordpipqqs 7486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
59	4, 58	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
60	4, 59	mpanr2 438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
61	26, 60	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
64		opelxpi 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
65	4, 64	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
66		enqex 7472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ~Q ∈ V
67	66	ecelqsi 6675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
68	26, 65, 67	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
69		df-nqqs 7460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
70	68, 69	eleqtrrdi 2298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
71		opelxpi 4706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
72	4, 71	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
73	66	ecelqsi 6675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
75	74, 69	eleqtrrdi 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
76		ltmnqg 7513	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
77	75, 76	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
78	70, 77	syl3an2 1283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
79	78	3anidm12 1307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
80	79	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
81	63, 80	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ))
82		mulcomnqg 7495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
83	75, 82	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
84		mulcomnqg 7495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
85	70, 84	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
86	81, 83, 85	3brtr3d 4074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
87	86	3ad2antl3 1163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
88	87	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
89		ltsonq 7510	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
90		ltrelnq 7477	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
91	89, 90	sotri 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
92	91	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
93	92	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
94	93	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
95	88, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
96		mulclnq 7488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
97	70, 96	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
98	97	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
99	98	3ad2antl3 1163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
100		simpl2 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 𝐵 ∈ Q)
101		ltaddnq 7519	. . . . . . 7 ⊢ ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
102	99, 100, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
103	102	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
104	89, 90	sotri 5077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵)) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
105	95, 103, 104	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
106		addcomnqg 7493	. . . . . . 7 ⊢ ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
107	99, 100, 106	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
108	107	breq2d 4055	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
109	108	adantrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
110	105, 109	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
111		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 𝑧 ∈ N)
112		breq2 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (1o <N 𝑥 ↔ 1o <N (𝑧 +N 2o)))
113		opeq1 3818	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩)
114	113	eceq1d 6655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
115	114	oveq1d 5958	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
116	115	oveq2d 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
117	116	breq2d 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
118	112, 117	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ((1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) ↔ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
119	118	rspcev 2876	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
120	119	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
121	111, 26, 120	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
122	121	adantrr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
123	32, 110, 122	mp2and 433	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
124	2, 123	rexlimddv 2627	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∃wrex 2484   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  ⟨cop 3635   class class class wbr 4043  Oncon0 4409  suc csuc 4411  ωcom 4637   × cxp 4672  (class class class)co 5943  1_oc1o 6494  2_oc2o 6495   +_o coa 6498  [cec 6617   / cqs 6618  Ncnpi 7384   +_N cpli 7385   ·_N cmi 7386   <_N clti 7387   ~_Q ceq 7391  Qcnq 7392   +_Q cplq 7394   ·_Q cmq 7395   <_Q cltq 7397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4335  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-pli 7417  df-mi 7418  df-lti 7419  df-plpq 7456  df-mpq 7457  df-enq 7459  df-nqqs 7460  df-plqqs 7461  df-mqqs 7462  df-1nqqs 7463  df-rq 7464  df-ltnqqs 7465

This theorem is referenced by:  prarloc  7615