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Theorem prarloclemarch2 7417
Description: Like prarloclemarch 7416 but the integer must be at least two, and there is also 𝐵 added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7501. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemarch2 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem prarloclemarch2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prarloclemarch 7416 . . 3 ((𝐴Q𝐶Q) → ∃𝑧N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
213adant2 1016 . 2 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑧N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
3 pinn 7307 . . . . . . . 8 (𝑧N𝑧 ∈ ω)
4 1pi 7313 . . . . . . . . . . . 12 1oN
54elexi 2749 . . . . . . . . . . 11 1o ∈ V
65sucid 4417 . . . . . . . . . 10 1o ∈ suc 1o
7 df-2o 6417 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
86, 7eleqtrri 2253 . . . . . . . . 9 1o ∈ 2o
9 2onn 6521 . . . . . . . . . . 11 2o ∈ ω
10 nnaword2 6514 . . . . . . . . . . 11 ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
119, 10mpan 424 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ω → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
1211sseld 3154 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ω → (1o ∈ 2o → 1o ∈ (𝑧 +o 2o)))
138, 12mpi 15 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ω → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
143, 13syl 14 . . . . . . 7 (𝑧N → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
15 o1p1e2 6468 . . . . . . . . 9 (1o +o 1o) = 2o
16 addpiord 7314 . . . . . . . . . . 11 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
174, 4, 16mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
18 addclpi 7325 . . . . . . . . . . 11 ((1oN ∧ 1oN) → (1o +N 1o) ∈ N)
194, 4, 18mp2an 426 . . . . . . . . . 10 (1o +N 1o) ∈ N
2017, 19eqeltrri 2251 . . . . . . . . 9 (1o +o 1o) ∈ N
2115, 20eqeltrri 2251 . . . . . . . 8 2oN
22 addpiord 7314 . . . . . . . 8 ((𝑧N ∧ 2oN) → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
2321, 22mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑧N → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
2414, 23eleqtrrd 2257 . . . . . 6 (𝑧N → 1o ∈ (𝑧 +N 2o))
25 addclpi 7325 . . . . . . . 8 ((𝑧N ∧ 2oN) → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
2621, 25mpan2 425 . . . . . . 7 (𝑧N → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
27 ltpiord 7317 . . . . . . . 8 ((1oN ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
284, 27mpan 424 . . . . . . 7 ((𝑧 +N 2o) ∈ N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
2926, 28syl 14 . . . . . 6 (𝑧N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
3024, 29mpbird 167 . . . . 5 (𝑧N → 1o <N (𝑧 +N 2o))
3130adantl 277 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
3231adantrr 479 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
33 nna0 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
34 0lt1o 6440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ∅ ∈ 1o
35 1on 6423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1o ∈ On
3635onsuci 4515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 suc 1o ∈ On
37 ontr1 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 1o ∈ On → ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o)
3934, 6, 38mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ∅ ∈ suc 1o
4039, 7eleqtrri 2253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ∅ ∈ 2o
41 nnaordi 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
429, 41mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
4340, 42mpi 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o))
4433, 43eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
453, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
4645, 23eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o))
47 ltpiord 7317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
4826, 47mpdan 421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
4946, 48mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N𝑧 <N (𝑧 +N 2o))
50 mulidpi 7316 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
51 mulcompig 7329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1oN) → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
524, 51mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
5326, 52syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
54 mulidpi 7316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
5526, 54syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
5653, 55eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → (1o ·N (𝑧 +N 2o)) = (𝑧 +N 2o))
5749, 50, 563brtr4d 4035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧N → (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
58 ordpipqqs 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧N ∧ 1oN) ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
594, 58mpanl2 435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧N ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1oN)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
604, 59mpanr2 438 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
6126, 60mpdan 421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧N → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
6257, 61mpbird 167 . . . . . . . . . . 11 (𝑧N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
6362adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q𝑧N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
64 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1oN) → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
654, 64mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
66 enqex 7358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ~Q ∈ V
6766ecelqsi 6588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6826, 65, 673syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
69 df-nqqs 7346 . . . . . . . . . . . . . 14 Q = ((N × N) / ~Q )
7068, 69eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~QQ)
71 opelxpi 4658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧N ∧ 1oN) → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
724, 71mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
7366ecelqsi 6588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7574, 69eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~QQ)
76 ltmnqg 7399 . . . . . . . . . . . . . 14 (([⟨𝑧, 1o⟩] ~QQ ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
7775, 76syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
7870, 77syl3an2 1272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧N𝑧N𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
79783anidm12 1295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝐶Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
8079ancoms 268 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
8163, 80mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ))
82 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ [⟨𝑧, 1o⟩] ~QQ) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8375, 82sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
84 mulcomnqg 7381 . . . . . . . . . 10 ((𝐶Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~QQ) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8570, 84sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝐶Q𝑧N) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8681, 83, 853brtr3d 4034 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
87863ad2antl3 1161 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
8887adantrr 479 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
89 ltsonq 7396 . . . . . . . . . 10 <Q Or Q
90 ltrelnq 7363 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
9189, 90sotri 5024 . . . . . . . . 9 ((𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
9291ex 115 . . . . . . . 8 (𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9392adantl 277 . . . . . . 7 ((𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9493adantl 277 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
9588, 94mpd 13 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
96 mulclnq 7374 . . . . . . . . . 10 (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~QQ𝐶Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
9770, 96sylan 283 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝐶Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
9897ancoms 268 . . . . . . . 8 ((𝐶Q𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
99983ad2antl3 1161 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
100 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 𝐵Q)
101 ltaddnq 7405 . . . . . . 7 ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q𝐵Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10299, 100, 101syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
103102adantrr 479 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10489, 90sotri 5024 . . . . 5 ((𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵)) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
10595, 103, 104syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
106 addcomnqg 7379 . . . . . . 7 ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q𝐵Q) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
10799, 100, 106syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
108107breq2d 4015 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
109108adantrr 479 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
110105, 109mpbid 147 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
111 simpr 110 . . . . 5 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → 𝑧N)
112 breq2 4007 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (1o <N 𝑥 ↔ 1o <N (𝑧 +N 2o)))
113 opeq1 3778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩)
114113eceq1d 6570 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
115114oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
116115oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
117116breq2d 4015 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
118112, 117anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ((1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) ↔ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
119118rspcev 2841 . . . . . 6 (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
120119ex 115 . . . . 5 ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
121111, 26, 1203syl 17 . . . 4 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ 𝑧N) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
122121adantrr 479 . . 3 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
12332, 110, 122mp2and 433 . 2 (((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) ∧ (𝑧N𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
1242, 123rexlimddv 2599 1 ((𝐴Q𝐵Q𝐶Q) → ∃𝑥N (1o <N 𝑥𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  wss 3129  c0 3422  cop 3595   class class class wbr 4003  Oncon0 4363  suc csuc 4365  ωcom 4589   × cxp 4624  (class class class)co 5874  1oc1o 6409  2oc2o 6410   +o coa 6413  [cec 6532   / cqs 6533  Ncnpi 7270   +N cpli 7271   ·N cmi 7272   <N clti 7273   ~Q ceq 7277  Qcnq 7278   +Q cplq 7280   ·Q cmq 7281   <Q cltq 7283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351
This theorem is referenced by:  prarloc  7501
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