Theorem prarloclemarch2 7734

Description: Like prarloclemarch 7733 but the integer must be at least two, and there is also 𝐵 added to the right hand side. These details follow straightforwardly but are chosen to be helpful in the proof of prarloc 7818. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemarch2	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem prarloclemarch2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prarloclemarch 7733	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
2	1	3adant2 1043	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑧 ∈ N 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
3		pinn 7624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ ω)
4		1pi 7630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1o ∈ N
5	4	elexi 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1o ∈ V
6	5	sucid 4538	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ suc 1o
7		df-2o 6648	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
8	6, 7	eleqtrri 2308	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
9		2onn 6754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnaword2 6747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
11	9, 10	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 2o ⊆ (𝑧 +o 2o))
12	11	sseld 3237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (1o ∈ 2o → 1o ∈ (𝑧 +o 2o)))
13	8, 12	mpi 15	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
14	3, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o ∈ (𝑧 +o 2o))
15		o1p1e2 6701	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o +o 1o) = 2o
16		addpiord 7631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) = (1o +o 1o))
17	4, 4, 16	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o +N 1o) = (1o +o 1o)
18		addclpi 7642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1o ∈ N ∧ 1o ∈ N) → (1o +N 1o) ∈ N)
19	4, 4, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o +N 1o) ∈ N
20	17, 19	eqeltrri 2306	. . . . . . . . 9 ⊢ (1o +o 1o) ∈ N
21	15, 20	eqeltrri 2306	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ N
22		addpiord 7631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 2o ∈ N) → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
23	21, 22	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 2o) = (𝑧 +o 2o))
24	14, 23	eleqtrrd 2312	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o ∈ (𝑧 +N 2o))
25		addclpi 7642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 2o ∈ N) → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
26	21, 25	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 +N 2o) ∈ N)
27		ltpiord 7634	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
28	4, 27	mpan 424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o <N (𝑧 +N 2o) ↔ 1o ∈ (𝑧 +N 2o)))
30	24, 29	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ N → 1o <N (𝑧 +N 2o))
31	30	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
32	31	adantrr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 1o <N (𝑧 +N 2o))
33		nna0 6707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) = 𝑧)
34		0lt1o 6673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ∅ ∈ 1o
35		1on 6654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1o ∈ On
36	35	onsuci 4638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ suc 1o ∈ On
37		ontr1 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 1o ∈ On → ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((∅ ∈ 1o ∧ 1o ∈ suc 1o) → ∅ ∈ suc 1o)
39	34, 6, 38	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ∅ ∈ suc 1o
40	39, 7	eleqtrri 2308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∅ ∈ 2o
41		nnaordi 6741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
42	9, 41	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (∅ ∈ 2o → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o)))
43	40, 42	mpi 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ω → (𝑧 +o ∅) ∈ (𝑧 +o 2o))
44	33, 43	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ ω → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
45	3, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +o 2o))
46	45, 23	eleqtrrd 2312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o))
47		ltpiord 7634	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
48	26, 47	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 <N (𝑧 +N 2o) ↔ 𝑧 ∈ (𝑧 +N 2o)))
49	46, 48	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 <N (𝑧 +N 2o))
50		mulidpi 7633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) = 𝑧)
51		mulcompig 7646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
52	4, 51	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
53	26, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
54		mulidpi 7633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
55	26, 54	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑧 +N 2o) ·N 1o) = (𝑧 +N 2o))
56	53, 55	eqtr3d 2267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → (1o ·N (𝑧 +N 2o)) = (𝑧 +N 2o))
57	49, 50, 56	3brtr4d 4141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ N → (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o)))
58		ordpipqqs 7689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
59	4, 58	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ ((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N)) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
60	4, 59	mpanr2 438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ (𝑧 +N 2o) ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
61	26, 60	mpdan 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ N → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 1o) <N (1o ·N (𝑧 +N 2o))))
62	57, 61	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
63	62	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
64		opelxpi 4781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
65	4, 64	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N))
66		enqex 7675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ~Q ∈ V
67	66	ecelqsi 6823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
68	26, 65, 67	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
69		df-nqqs 7663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
70	68, 69	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q)
71		opelxpi 4781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
72	4, 71	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 ∈ N → ⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N))
73	66	ecelqsi 6823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟨𝑧, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
74	72, 73	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
75	74, 69	eleqtrrdi 2326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ N → [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
76		ltmnqg 7716	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
77	75, 76	syl3an1 1307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
78	70, 77	syl3an2 1308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
79	78	3anidm12 1332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
80	79	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q <Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ↔ (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )))
81	63, 80	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) <Q (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ))
82		mulcomnqg 7698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
83	75, 82	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ) = ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
84		mulcomnqg 7698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
85	70, 84	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐶 ·Q [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
86	81, 83, 85	3brtr3d 4140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
87	86	3ad2antl3 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
88	87	adantrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
89		ltsonq 7713	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q Or Q
90		ltrelnq 7680	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
91	89, 90	sotri 5158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
92	91	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
93	92	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
94	93	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
95	88, 94	mpd 13	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
96		mulclnq 7691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
97	70, 96	sylan 283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
98	97	ancoms 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
99	98	3ad2antl3 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q)
100		simpl2 1028	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 𝐵 ∈ Q)
101		ltaddnq 7722	. . . . . . 7 ⊢ ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
102	99, 100, 101	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
103	102	adantrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
104	89, 90	sotri 5158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 <Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∧ ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵)) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
105	95, 103, 104	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵))
106		addcomnqg 7696	. . . . . . 7 ⊢ ((([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
107	99, 100, 106	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
108	107	breq2d 4121	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
109	108	adantrr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → (𝐴 <Q (([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) +Q 𝐵) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
110	105, 109	mpbid 147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
111		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → 𝑧 ∈ N)
112		breq2 4113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (1o <N 𝑥 ↔ 1o <N (𝑧 +N 2o)))
113		opeq1 3883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ⟨𝑥, 1o⟩ = ⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩)
114	113	eceq1d 6803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → [⟨𝑥, 1o⟩] ~Q = [⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q )
115	114	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶) = ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))
116	115	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) = (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))
117	116	breq2d 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → (𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)) ↔ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
118	112, 117	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑧 +N 2o) → ((1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) ↔ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
119	118	rspcev 2921	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 +N 2o) ∈ N ∧ (1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
120	119	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 +N 2o) ∈ N → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
121	111, 26, 120	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ 𝑧 ∈ N) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
122	121	adantrr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ((1o <N (𝑧 +N 2o) ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨(𝑧 +N 2o), 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶)))))
123	32, 110, 122	mp2and 433	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝐴 <Q ([⟨𝑧, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))
124	2, 123	rexlimddv 2665	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q ∧ 𝐶 ∈ Q) → ∃𝑥 ∈ N (1o <N 𝑥 ∧ 𝐴 <Q (𝐵 +Q ([⟨𝑥, 1o⟩] ~Q ·Q 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   ⊆ wss 3211  ∅c0 3508  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  Oncon0 4484  suc csuc 4486  ωcom 4712   × cxp 4747  (class class class)co 6050  1_oc1o 6640  2_oc2o 6641   +_o coa 6644  [cec 6765   / cqs 6766  Ncnpi 7587   +_N cpli 7588   ·_N cmi 7589   <_N clti 7590   ~_Q ceq 7594  Qcnq 7595   +_Q cplq 7597   ·_Q cmq 7598   <_Q cltq 7600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668

This theorem is referenced by:  prarloc  7818